3_8064969_10.直角梯形.圆锥曲线上的基本图

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 609 中国 高考数学母题 (第 176 号 ) 直角梯形 二次曲线的焦点是名 副 其实 的高考命题 的 “ 焦点 ” ,其中 ,焦点 弦 可引发二次曲线的许多性质 ,这些性质常常是高考命题的切入点 ;更奇妙的是该类 高考 试 题 ,可通过构造直角梯形 ,给出解答 . 母题结构 :( )设过 抛物线 G:px(p0)焦点 F 的弦 倾斜 为 ,且 则 : 11; | 21p=p,|21p=p; |2 )1( 2p=2( )设过椭圆 G:222(ab0)右 焦点 F 的弦 倾斜 为 ,且 则 : 11; | 21=e,|21=e; |2 )1( 2=22 e; ( )设过 双曲线 G:22(a0,b0)右 焦点 F 的弦 倾斜 为 ,且 点 A、 B 在 G 的右支上 , 则 : =11; |1=e,|21=e; |2 )1( 2=22 e. 母题 解 析 :( )在 椭圆 G 中 ,分别过 A、 B 两点作右准线 M、 足分别为 M、 N, 过点 A 作 足为 C; 当 00)的焦点 交于 M、 N 两点 ,自 M、 N 向准线 L 作垂线 ,垂足分别为 )求证 :( )记 、 1,3,试判断 并证明你的结论 . 解析 :( )设准线 l 与 x 的交点为 | 800 00 ( )设 |a,|b, ,则 111|=41 (2(2=4点评 :若 过 抛物线 G:px(p0)的焦点 于 A、 自 A、 垂足分别为 M、 N,则 : A、O、 B、 O、 以 直径的圆与 ,以直腰 直径的圆与 切于点 F. 同 类 试题 : 1.(2001年 全国 高考试题 )设抛物线 px(p0)的焦点为 F,经过点 、 点 且 证明 :直线 . 2.(2007 年 重庆 高考试题 )如图 ,倾斜角为 的直线经过抛物线 x 的焦点 F,且与抛物线交于 A、 610 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 B 两点 .( )求抛物线的焦点 l 的方程 ; ( )若 为锐角 ,作线段 垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明 :|FP|定值 ,并求此定值 . 子题类型 :(2015 年 重庆 高考 理科 试题 )如图 ,椭圆222(ab0)的左、右焦点分别为 2,过 P,且 )若 |2+ 2 ,|2- 2 ,求椭圆的标准方程 ; ( )若 |求椭圆的离心率 e. 解析 :( )由 2a=|4 a=2;又由 |=|+|=12 椭圆 :42x+; ( )设 椭圆的 右准线 为 l,|m,|n,则 m+n=2a,m2+m=a+ 222 ,n=22 ;作 ,H H,由 | |e1(|由 c(2 e(c(22 ) 12 2e e= 6 - 3 . 点评 :解 决 椭圆焦点弦问 题 的关键是 构 造 直角梯形 质是椭圆第二定义的应用 ,而 构 造 并灵活运用直角三角形中的三 角函数是该解法的灵 魂 . 同 类 试题 : 3.(2001 年 广东 高考试题 )已知椭圆22x+ 的右准线 l与 x 轴相交于点 E,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、 B 两点 ,点 C 在右准线 l 上 ,且 x 轴 直线 过线段 中点 . 4.(2015 年 湖 南 高考试题 )已知抛物线 C1:y 的焦点 F 也 是 椭圆 22(ab0)的一个焦点 6 的直线 l 与 ,B 两点 ,与 ,且 向 . ( )求 ( )|求直线 l 的斜率 . 子题类型 :(2008 年 全国 高考试题 )双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 上 ,两条渐近线 分别为 过右焦点 F 垂直于 、 B 两点 、 |、 |成等差数列 ,且 向 . ( )求双曲线的离心率 ; ( )设 双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程 . 解析 :( )设双曲线 G:22(a0,b0),直线 倾斜角 分别 为 、 ,则 =2+ , |+ |=2|,又由 |2+|2=|2 3|=4| | |4 21 1 e=25; ( )设直线 双曲线的交点为 M、 N,分别过 M、 N 两点作右准线 l 的垂线 足分别为 D、 C,作 H,交,则 |D|=F|,由 |MF|MF|F|=-|MF| |)ea b, 同理可 得 :|)ea b |22 e;由 21 51 22 e= 38 38 b=3,a=6 双曲线 :362. 点评 :在 双曲线中 ,不仅要 注意 双曲线 的焦点在何轴上以及弦过 双曲线 的哪个焦点 ,而且还要 注意 点 A、 B 是否在同一支上 ;当点 F 为 双曲线 左焦点时 ,只须把母题中的 ,换为 即把 即 可得到相应结论 ;当点 A、 B 在双曲线 同法可得相关结果 . 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 611 同 类 试题 : 5.(2000 年 全国 高考试题 )如图 ,已知梯形 ,|2|点 E 分有向线段 成的比为 , 双曲线过 C、 D、 E 三点 ,且以 A、 B 为焦点 43时 ,求双曲线离心率 e 的取值范围 . 6.(2009年 湖北 高考 理科 试题 )过抛物线 px(p0)的对称轴上一点 A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于 M、 自 M、N 向直线 l:x=垂线 ,垂足分别为 )当 a=2求证 :( )记 1、 否存在 ,使得对任意的 a0,都有 若存在 ,求出 的值 ;若不存在 ,说明理由 . 7.(2014年 安徽 高考试题 )设 2分别是椭圆 E:222(ab0)的左、右焦点 ,过点 于 A,|=3|( )若 |4, 6,求 | ( )若 3,求椭圆 E 的离心率 . 8.(2015 年 江苏 高考试题 )如 图 ,在平面直角坐标系 ,已知椭圆222(ab0)的离心率 为22,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.( )求椭圆的标准方程 ; ( )过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点 ,线段 垂直平分线分别交直线 l 和 点 P,C,若 直线 方程 . 9.(2006 年 湖 南 高考试题 )已知椭圆 2x+32y=1,抛物线 (=2px(p0),且 共弦 椭圆 ( )当 x 轴时 ,求 p,m 的值 ,并判断抛物线 B 上 ; ( )若 p=34且抛物线 B 上 ,求 m 的值及直线 10.(2013 年 全国 高考试题 )已知双曲线 C:22(a0,b0)的左、右焦点分别为 心率为 3,直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 6 .( )求 a,b; ( )设过 l 与 C 的左、右两支分别交于 A、 B 两点 ,且 |证明 :|等比数列 . 记 ,过 D l,则 结 点 N,则 | |且 |由 | | | | | 点 与抛物线的顶点 直线 . ( )由 p=4 焦点 F(2,0),准线 l:x= )作 l 于 C, D,由 |F 到 l 的距离 =4, | | 4| | ,同理可 得 :| |21 (| =2| |2|FP|1=228 为定值 . 作 右准线 l 于 D,设 中点为 M,由1 = =由 点 M 与 N 重合 直线 过线段 中点 . ( )由 C1:(0,1) ;又由 6 公共 点 ( 6 ,y) 612 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 2y +82x =1;( )由 | |设直线 夹 角为 ,在 抛物线 |22 椭圆 |28228 113 362 kl=00+ )=46. 如图 ,设双曲线 :222(a0,b0), ,过 G ,则 |2c |c,C(2c, |23c ,|e(2c +=a+ | |23又由 -(1+ ) =223 =212232 43 3221223 e 7 , 10 . ( )如图 ,当 a=2点 设准线 l与 1,由 | | 800 ( )存在 =4,使得对任意的 a0,都有 证明如下 :设 M(2N(2则 a,2a,2 (2(2由 (22222a;由 2a)2=a (22pa(2a)p|n| 2a)(2a)n|=(2+2pa(m2+a2p|a2+pa(m2+a2+pa(+2pa= ( )由 |3|4 |1,|3,由 6 4a=16 a=4,由 |2a=8 |=5;( )设 |n,则 |3n,|4n |22 |=|+|a=3n |=|+| c= 22 a 椭圆 E 的离心率 e= 22 . ( )椭圆 :22x+;( )作 右准线 :x=2于 M,右准线 :x=2于 N,交 ,设 | m,|n,则 | 2 m,| 2 n | 2 (2(m+n) |4m+n);由 | |nm )(2;由 |2(m+n) |PC| 2 (由 |+|=| 2 2 (n- m)2+4m+n)2=2(m+n)2;又由 (22n=(1m(点 F 到 右准线 的距离 =1) m+n= 2 (=2 16(4=8 或 94 (舍去 ) nm )(2 = 22 1 AB:y= ( ( )m=0,p=89