3_8064987_4.统计图表与概率问题

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 523 中国 高考数学母题 (第 157 号 ) 统计图表与概率问题 统计与概率 的结合 是 课标全国 卷 理科概率试题 浓郁 的“情结” ,其 重要表现 是用频率估计概率 ,频率的给出一般有三种方式 :给出一组原始数据 ;给出部分频数或频率分布表 ;给出频率分布直方图 . 母题结构 :统计与概率分布的结合 型试题 : 以 频率 分布 表或 频率 分布直方图 为基础 ; 用各组区间的中点值代表该组的各个值 ,并作为基本 随机变量 X,该 区间的频率作为基本 随机变量 的概率 ;或通过构造 型随机变量 =aX+b,构造 的 概率分布 型 ,或通过 假设 =cX+d 服从标 准 分布 (二项分布和 正态分布 ),解决相关问题 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2007年辽宁 高考试题 )某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000支 ,该公司对这些灯管的使用寿命 (单位 :小时 )进行了统计 ,统计结 果如下表所示 : ( )将各组的频率填入表中 ; ( )根据上述统计结果 ,计算灯管使用寿命不足 1500 小时的频率 ; ( )该公司某办公室新安装了这种型号的灯 管 3 支 ,若将上述频率作为概率 ,试求至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500小时的概率 . 解析 :( )如 表 : ( )由 ( )得 :灯管使用寿 命不足 1500 小时的频率 =( )由 ( )知 ,1支灯管使用寿命不足 1500小时的概率 P=据独立重复试验 的概率公式 得 :至少有 2支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率 P=点评 :用 频率估计概率 ,与 随机变量的 分布列 的结合有 : 直接用 频率 分布 作为 离散型 随机变 量的 概 率 分布 ; 频率估计 成功事件 的 概率 ,构造独立重复 试验和二项分布 ; 频率估计 基本 事件 的 概率 ,由基本 事件构造 随机变量的 概 率 分布 . 同 类 试题 : 1.(2008 年辽宁高考试题 )批发市场对某种商品的周销售量 (单位 :吨 )进行统计 ,最近 100 周的统计结果如下表所示 : ( )根据上面统计结果 ,求周销售量分别为 2 吨 ,3 吨和 4 吨的频率 ; ( )若以上述频率作为概率 ,且各周的销售量相互独立 ,求 :( )4 周中该种商品至少有一 周的销售量为 4 吨的概率 ;( )该种商品 4 周的销售量总和至少为 15 吨的概率 . 2.(2014 年广 东高考试题 )随机观测生产某种零件的某工厂 25名工人的日加工零件数 (单位 :件 ),获得数据如下 :30,42, 41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42, 32,34,46,39, ( )确定样本频率分布表中 n1,n2, ( )根据上述频率分布表 ,画出样本频率分布直方图 ; ( )根据样本频率分布直方图 ,求在该厂任取 4 人 ,至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30,35的概率 . 直方图 子题类型 :(2013 年课标高考试题 )经销商经销某种农产品 ,在一个销 售季度内 ,每售出 1t 该产品获利润 500 元 ,未售出的产品 ,每 1t 亏损 300 元 据历史资料 ,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图 ,如右图所示 商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品 (单位 :t,100 X 150)表示下 一个销售季度内的市场需求量 ,T(单位 :元 )表示 下一个销售季度内经销该农产品的利润 . 524 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )将 T 表示为 X 的函数 ;( )根据直方图 估计利润 T 不少于 57000 的概率 ; ( )在直方图的需求量分组中 ,以各组的区间中点值代表该组的各个值 ,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 (例如 :若 x 100,110),则取 X=105,且 X 105 的概率等于需求量落入 100,110)的 频 率 ) 的数学期望 . 解析 :( )当 X 100,130)时 ,T=50030800 X 130,150时 ,T=500 130=65000; ( )由 T 57000 X 130,150,或 80057000 X 120,150 P(T 57000)=P(120 X 150) = )由 T 的 分布列为 :9400. 点评 :用 频率估计概率 的一个 引伸 题型是 用各组区间的中点值代表该组的各个值 ,并 作为基本 随机变量 X,该区间的频率作为 基本 随机变量 的 概率 ,并 通过构造 型 随机变量 =aX+引伸 . 同 类 试题 : 3.(2010 年山东高考试题 )某食品厂为了检查一条自动包装流水 线的生产情况 ,随 即抽取该流水线上 40 件 产品作为样本算出他们的重量 (单位 :克 )重量的分组区间 为 (490,495,(495,500, ,(510,515,由此得到样本的频率分布直方图 如图所示 : ( )根据频率分布直方图 ,求重量超过 505 克的产品数量 ; ( )在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件 ,设 Y 为重量超过 505克 的产品数量 ,求 Y 的分布列 ; ( )从流水线上任取 5 件产品 ,求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率 . 4.(2010 年湖南高考试题 )如图 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 (单位 :吨 )的 频率分布直方图 .( )求直方图中 x 的值 ; ( )若将频率视为概率 ,从这个城市随机抽取 3 位居民 (看作有放回的抽样 ),求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望 . 子题类型 :(2016 年 高考 全国 乙 卷 试 题 )某公司计划购买 2 台机器 ,该种机器 使用三年后即被淘汰 零件 ,在购进机器时 ,可以额外购买这种零件作 为备件 ,每个 200元 如果备件不足再购买 ,则每个 500元 在购买机器时应同时购买几个易损零件 ,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年 使用期内更换的易损零件数 ,得下面柱状图 ,以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的 概率 ,记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数 ,n 表示购买 2 台机器的同 时购买的易损零件数 .( )求 X 的分布列 ; ( )若要求 P(X n) 定 n 的最小值 ; ( )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 ,在 n=19与 n=20 之中选其一 ,应选用哪个？ 解析 :( )由 每台机器更换的易损零件数 为 8,9,10,11,且 1 台机器更换的易损零件数 为 8,9,10,11 的概 率 X= + ,则 P(X=16)=P( =8)P( =8)=(X=17)=P( =8)P( =9)+P( =9)P( =8)=(X =18)=P( =8)P( =10)+P( =9)P( =9)+P( =10)P( =8)=(X=19)=P( =8)P( =11)+P( =9)P( =10)+P(=10)P( =9)+P( =11)P( =8)=(X=20)=P( =9)P( =11)+P( =10)P( =10)+P( =11)P( =9)=(X=21)= (X=22)=X 的分布列 : ( )由 P(X 18)=(X 18)=n 的最小值 =19; ( )由 购买零件所需费用含两部分 ,一部分为购买机器时购买零 件的费用 ,另一部分为备件不足时额外购买的费用 ;当 n=19 时 ,费用的期望为 19 200+500 000 500040;当 n=20 时 ,费用的期望为 20 200+500 000 080,所以应选用 n=19. 点评 :用 频率估计概率 的一个 基本 题型是 用其它图表体现 频率 ,由此延伸 的 有 : 直接用 频率 分布 作为 离散型 随机变量的 概 率 分布 ; 频率估计 成功事件 的 概率 ,构造独立重复 试验和二项分布 ; 频率估计 基本 事件 的 概率 ,构造 概 率 分布 . 同 类 试题 : 5.(2012 年湖南高考试题 )某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 ,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾 客的相关数据 ,如下表所示 00位 顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. ( )确定 x,y 的值 ,并求顾客一次购物的结算 时间 X 的分布列与数学期望 ; 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 525 ( )若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算 ,且各顾客的结算相互独立 ,求该顾客结算前的等候时间 不超过 注 :将频率视为概率 ). 6.(2008 年辽宁高考试题 )某批发市场对某种商品的周销售量 (单位 :吨 )进行统 计 ,最近 100 周的统计结果如下表所示 : ( )根据上面统计结果 ,求周销售量分别为 2 吨 ,3 吨和 4 吨的频率 ; ( )已知每吨该商品的销售利润为 2 千元 , 表示该种商品两周销售利润的和 (单位 : 千元 ),若以上述频率作为概率 ,且各周的销售量相互独立 ,求 的分布列和数学期望 . 7.(2012 年课标高考试题 )某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 ,然后以每枝 10 元的 价格出售 ,如果当天卖不完 ,剩下的玫瑰花作垃圾处理 . ( )若花店一天购进 16 枝玫瑰花 ,求当天的利润 y(单位 :元 )关于当天需求量 n(单位 :枝 ,n N)的函数解析式 ; ( )花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量 (单位 :枝 ),整理得下表 : 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 . (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花 ,X 表示当天的利润 (单位 :元 ),求 X 的分布列 ,数学期望及方差 ; (花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花 ,你认为应购进 16 枝还是 17 枝？ 请说明理由 . 8.(2011 年课标高考试题 )某种产品的质量以其质量指标值衡量 ,质量指标值越大表明质量越好 ,且质量指标值大于或等于 102的产品为优质品 ,现用两种新配方 (分别称为 配方 )做试验 ,各生产了 100件这种产品 ,并测量了每件产品的质量指标值 ,得到下面试验结 果 :( )分别估计用 A 配方 ,优质品率 ; ( )已知用 y(单位 :元 ) 与其质量指标值 t 的关系式为 :y=102,从用 其利润记为 X(单位 :元 ),求 以试验结果中质 量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率 ). 9.(2011 年福建高考试题 )受轿车在保修期内维修费等因素的影响 ,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关 ,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车 ,保修期均为 2年 ,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50辆 ,统计书数 据如下 :将频率视为概率 ,解答下列问题 : ( )从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆 ,求首次出 现故障发生在保修期内的概率 ; ( )若该厂生产的轿车均能售出 ,记住生产一辆甲品牌轿 车的利润为 产一辆乙品牌轿车的利润为 别求 2的分布列 ; ( )该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当 ,由于资金限制 ,只能生产其中一种品牌轿车 ,若从经济效益的角度考虑 ,你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由 . 10.(2009 年 广东 高考试题 )根据空气质量 指数 整数 )的不同 ,可将空气质量 分级如下表 :对某城市一年 (365 天 )的空气质量进行监测 ,获得 据按照区间 0,50,(50, 100,(100,150,(150,200,(200,250,(250,300,进行分组 ,得到频率分布直方图如图 : ( )求直方图中 ( )计算一年 中 空气质量分别为良和轻微污染的天数 ; ( )求该城市某一周至少有 2天的空气质量为良或轻微污染的概率 (结果用分数表示 ). 11.(2011 年福建高考试题 )某产品按行业生产标准分成 8 个等级 ,等级系数 X 依次为 1,2, ,8,其中 ,X 5 为标准 A,X 3 为标准 B,已知甲厂执行标准 产品的零售价为 6元 /件 ;乙厂执行标准 B 生产该产 品 ,产品的零售价为 4 元 /件 ,假定甲、乙两厂得产品都 符合相应的执行标准 . ( )已知甲厂产品的等级系数 且 ,求 a,b 的 值 ; ( )为分析乙厂产品的等级系数 该厂生产的产品中随机抽取 30 件 ,相应的等级系数组成一个样本 ,数据如下 :3,5, 526 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 3,3,8,5,5,6,3,4,6,3,4,7,5,3,4,8,5,3,8,3,4,3,4,4,7,5,6,个样本的频率分布估计总体分布 ,将频 率视为概率 ,求等级系数 ( )在 ( ),( )的条件下 ,若以 “ 性价比 ” 为判断标准 ,则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由 . 注 : 产品的 “ 性价比 ” =产品的零售价 期望产品的等级系数的数学; “ 性价比 ” 大的产品更具可购买性 . ( )周销售量为 2 吨 ,3吨和 4 吨的频率分别为 ( )( )4 周中该种商品至少有一周的销售量为 4 吨的概率 =1-(=( )该种商品 4 周的销售量总和至少为 15 吨的概率 =( ), )样本频率分布直方图为 : ( )由 日加工零件数落在区间 (30,35的人数为 B(4, P( 1)=1 =0)=1-(=( )重量超过 505 克的产品数量 40(5+5)=12 件 ;( )Y 的分布列 为 : ( )从流水线上任取 5件产品 ,求恰有 2件产品合格的重量超过 505克的概率 =54021232803231. ( )依题意及频率分布 直方图知 ,.1+x+ x=( )由 X B(3, P(X=k)=X 的分布列为 :( )由 x=15,y=20 X 的分布列为 :( )P=P(X=1)P(X=1)+P(X=1)P(X=P(X=(X=1)=( )周销售量为 2 吨 ,3吨和 4 吨的频率分别为 ( )设 周销售量为 2吨 ,3吨和 4吨的事件分别为 A,B,C,则 P(A)=(B)=(C)=的可能值为 8,10,12,14,16