3_8065042_3.计数的基本方法

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 333 中国 高考数学母题 (第 109 号 ) 计数的基本方法 计数问题就是“数数”问题 ,不需要高深的理论知识 ,却需要独特的方法和思想 ,除基本原理和基 本 模型外 ,解决 计数问题 还有哪些基本方法 ? 母题结构 :解决 计数问题的 基本方法 :枚举方法、模型方法和整体思想 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2012 年 陕西 高考 试题 )两人进行乒乓球比赛 ,先赢三局着获胜 ,决出胜负为 止 ,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形 )共有 ( ) (A)10 种 (B)15 种 (C)20 种 (D)30 种 解析 :由题意知 ,比赛场数可能有 3,4,5;只考虑甲胜 : 当比赛场数为 3 时 ,即甲连胜 3 场 ,只有 1 种情况 ; 当比赛场数为 4 时 ,第 4 场甲必胜 ,且前 3 场 中 ,负 1 场 ,有 3 种情况 ; 当比赛场数为 5 时 ,第 5 场甲必胜 ,且前 4 场 中 ,负 2 场 ,有 种情况 甲胜 的有 1+3+6=10 种情况 ,同理可得乙 胜 的也有 10 种情况 ,因此 ,共有 20 种情况 (C). 点评 :枚举是解决计数问题的最基本的方法 要做到这一点较好的方法是使用每步主元整体树图 举方法是 高考命题的目的之一 ,因此 ,枚举 是 高考的方法 型 母 题 . 同 类 试题 : 1.(2004 年浙江高考 试题 )设坐标平面内有一个质点从原点出发 ,沿 x 轴跳动 ,每次向正方向或负方向跳 1 个单位 ,经过 5次跳动质点落在点 (3,0)(允许重复过此点 )处 ,则质点不同的运动方法有 种 . 2.(2008 年 全国 高考试题 )将 1,2,3 填入 3 3 的方格中 ,要求每行、每列都没有重复 数字 ,如图是一 种填法 ,则不同的填写方法共有 ( ) (A)6 种 (B)12 种 (C)24 种 (D)48 种 子题类型 :(1993 年全国高考 试 题 )同室四人各写一张贺年卡 ,先集中起来 ,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡 ) (A)6 种 (B)9 种 (C)11 种 (D)23 种 解析 :设 四人 分别 为 A、 B、 C、 D,相应贺年卡为 1、 2、 3、 4;本题 等价于 :在四面体 点 A、 B、 C、 D 处 分别 不 标数字 1、 2、 3、 4 的不同 标数方 法 ;显然 点 A 处 可标 写 数字 2、 3、 4,有 3种 , 数字 1 可标 写 B、 C、 D 处 ,有 3种 ,当 点 A 处 标 写 数字 ,且 数字 1 确定后 ,其它二 点 处 的标写是唯一的 标数方 法 =3 3 1=B). 点评 :解决 计数 问题的根本方法是 模型 方法 ;模型 方法包括三个层次 :通过对问题进 行 分 类和分步的拆解 ,转化为两个基 本模型 ; 通过巧妙构造适当的模型 ,使待 求问题 转化为 构建 的模型 问题 . 同 类 试题 : 3.(2006 年 天津 高考试题 )将 4 个颜色互不相同的球全部放入编 号 为 1 和 2 的两个盒子里 ,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号 ,则不同的放球方法有 ( ) (A)10 种 (B)20 种 (C)36 种 (D)52 种 4.(2005 年 江 苏 高考试题 )四棱锥的 8 条棱分别代表 8 种不同的化工产品 ,有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的 ,没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的 、的 4 个仓库存放这 8 种化工产品 ,那么安全存放的 不同方法种数为 ( ) (A)96 (B)48 (C)24 (D)0 子题类型 :(2011 年 大纲 高考试题 )某同学有同样的画册 2 本 ,同样的集邮册 3 本 ,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友 ,每位朋友 1 本 ,则不同的赠送方法共有 ( ) (A)4 种 (B)10种 (C)18 种 (D)20种 解析 :本题等价于把 5 本 分送给 5 人 (其中一人是该 同学 ),故有332255 (B). 点评 :整体思想体现在排列组合解题中 ,就是不着眼于问题的某些细节 ,而是 从全局 分析问题 ,整体地把握条件和结论的联 系 ,以探求解题思路或优化和简化解题过程的思想方法 . 334 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 同 类 试题 : 5.(2015 年 四川 高考试题 )用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数 ,其中比 40000 大的偶数共有 ( ) (A)144 个 (B)120 个 (C)96 个 (D)72 个 6.(2005 年全国 高考试题 )在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中 ,不能被 5 整除的数共有 个 . 7.(2008 年 福建 高考试题 )某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务 ,如果要求至少有 1 名女生 ,那么不同的选派方案种数为 ( ) (A)14 (B)24 (C)28 (D)48 8.(2009 年全国 高考试题 )甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门 ,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 ( ) (A)6 种 (B)12 种 (C)24种 (D)30 种 9.(2005 年 湖 南 高考试题 )4 位同学参加某种形式的竞赛 ,竞赛规则规定 :每位同学必须从甲 ,乙两道题中任选一题作答 ,选甲题答对得 100 分 ,答错得 ;选乙题 答对得 90 分 ,答错得 位同学的总分为 0,则这 4 位同学不同得分情况的种数是 ( ) (A)48 (B)36 (C)24 (D)18 10.(2010 年全国 高考 试题 )将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中 张 ,其中标号为1,2的卡片放入同一信封 ,则不同的 放法共有 ( ) (A)12种 (B)18种 (C)36种 (D)54种 11.(2004 年 浙 江 高考试题 )设坐标平面内有一个质点从原点出发 ,沿 x 轴跳动 ,每次向正方向或负方向跳 1 个单位 ,经过 5 次跳动质点落在点 (3,0)(允许重复过此点 )处 ,则质点不同的运动方法共有 种 (用数字作答 ). 12.(2006 年 江 苏 高考试题 )今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球 ,同色球不加以区分 ,将这 9个球排成一列有 种不同 的方法 (用数字作答 ). 三个位置排黄球有 共有 260 种不同 的方法 . 13.(2012 年全国高中 数学联赛山东 初赛试 题 )某科室安排国庆节放假期间 (共放假 8 天 )甲、乙、丙、丁四人的值日表 ,已知甲、乙各值班四天 ,甲不能在第一天值班且甲、乙不在同一天值班 ;丙需要值班 3 天 ,且不能连续值班 ,丁需要值班 5 天 ;规定每天必须两人值班 ) (A)400 种 (B)700 种 (C)840 种 (D)960 种 14.(2003 年 北京 春招 试题 )某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单 ,开演前又增加了两个新节目 那么不同插法的种数为 ( ) (A)42 (B)30 (C)20 (D)12 15.(2016年 四川 高考试题 )用数字 1,2,3,4,5构成没有重复数字的五位数 ,其中奇数的个数为 ( ) (A)24 (B)48 (C)60 (D)72 16.(1990年 全国 高考试题 )A,B,C,D,如果 的右边 (A,那么不同的排法共有( ) (A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种 17.(2010 年全国 高考试题 )某校开设 A 类选修课 3 门 ,B 类选修课 4 门 ,一位同学从中共选 3 门 则不同的选法共有 ( ) (A)30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 18.(2009 年全国 高考试题 )甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门 ,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有( ) (A)6 种 (B)12种 (C)30 种 (D)36 种 19.(2014 年 浙江 高考试题 )在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张 ,其余 5 张无奖 张奖券分配给 4 个人 ,每人 2 张 ,不同的获奖情况有 种 (用数字作答 ). 20.(2009 年湖北高考 试题 )将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班 ,每个班至少分到一名学生 ,且甲、乙两名学生不能分到一个班 ,则不同分法的种数为 ( ) (A)18 (B)24 (C)30 (D)36 21.(2009 年湖南高考 试题 )从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理 ,则甲、乙至少有 1 人入选 ,而丙没有入选的不同选法的种数为 ( ) (A)85 (B)56 (C)49 (D)28 22.(2008 年 天津 高考 试题 )有 8 张卡片分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列要求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5,则不同的排法共有 ( ) (A)1344种 (B)1248种 (C)1056种 (D)960种 详解 : 第 5次跳动质点落在点 (3,0) 第 4次跳动质点落在点 (2,0),或 (4,0) 第 3次跳动质点落在点 (1,0),或 (3,0) 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 335 3 次 质点落在点 (1,0)有 (0,1),(0,1,0,1),(0,1,2,1)3 种 ;第 3 次跳动质点落在点 (3,0)有 (0,1,1,1)1 种 ;计 5 种 . 试填知 :当第一列的数确定后第二列有两种填法 (如表第二列还可填 2,3,1),而第三列只有一种填法 (3,1,2),而 第一列的数 有 种 排法 ,由分步计数原理知 ,不同的填写方法共有 6 2 1= (B). 完成分球入 盒 有两步 :首先 分球 有两 种情况 : 各放 2个 ; 1号 放 1个 ,2号 放 3个 ;然后 入 盒 : 各放 2个 ,有 种 ; 1 号 放 1 个 ,2 号 放 3 个 ,有 不同的放球方法 =6+4=10 种 A). 如图分别用 18 标号的棱表示 8 种不同的化工产品 ,易 知可 以两两放入同一 仓库的情况如下 (实质就是异面直线配对 ):故 8 种产品安全存放有 :“ (1,5)、 (2, 6)、 (3,7)、 (4,8)” 和 “ (1,8)、 (2,5)、 (3,6)、 (4,7)” 两种可能 ,故 所求的方法 种数为 28(种 )B). 由 最高位只能是 4,5 比 40000 大的 数有 2比 40000 大的偶数共有21 254=B). 由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数 有 00;其中尾数为 0 和 5 的都能被 5 整除 : 尾数为 0的有 :0 种 ; 尾数为 5的有 不能被 5 整除的数共有 30092 种 . 设 4 名男生 分别为 a,b,c,d,2 名女生 分别为 m,n,按所选 女生 人数分类 : 有 1 名女生 : 有 女生 m,m,a,b,c, m,a,b,d,m,a,c,d,m,b,c,d,计 4种 ; 有 女生 n,n,a,b,c,n,a,b,d,n,a,c,d,n,b,c,d,计 4种 ; 有 2名女生 m,n,m,n,a,b,m,n,a,c,m,n,a,d,m,n,b,c,m,n,b,d,m,n,c,d,计 6 种 共有 4+4+6=14 种 A). 设 4 门课程 分别为 a,b,c,d;若同选 a,则 甲选 a,b,乙选 a,c或 a,d;甲选 a,c,乙选 a,b或 a,d;甲选 a,d,乙选 a,b或 a,c 有 6 种 选法 ;同理可 得 :同选 b,c,d 时 ,各 有 6 种 选法 共有 4 6=24 种 C). 分为 3 种情况 : 4 个人全选甲题 ,则 2 人正确 ,2 人错误 ,有 6 种 ; 4 个人全选乙题 ,则 2 人正确 ,2 人错误 ,有 6 种 ; 4个人 2人选甲题 (有 6种 )(1人正确 ,1人错误 )(有 2种 ),2人选乙题 (1人正确 ,1人错误 )(有 2种 ),有 6 2 2=24种 总数 =6+6+24=B). 先 将 6 张卡片 分成 3 组 ,每组 2 张 ,标号为 1,2 的卡片 在一组有 :(1,2),(3,4),(5,6);(1,2),(3,5),(4,6);(1,2), (3,6),(4,6),计 3 种 ;每组 放入 3 个不同的信封 有 6 种 共有 3 6=B). 若 有 n 次 向正方向 跳动 ,m 次 向负方向 跳动 ,落在点 ()处 等价于 m 个红球、 n 个黄球 的重 复 排列 =Cn+n+于本题 :n+m=5, n=4,m=1 有 种 . 先在 9 个位置中选 4 个位置排白球 ,有 再从剩余的 5 个位置中选 2 个位置排红