3_8065043_2.计数的基本模型

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 329 中国 高考数学母题 (第 108 号 ) 计数的基本模型 计数的基本 模型 有 :排列 模型 、 组合 模型 和 分配 模型 ,其中 ,排列 模型 与 组合 模型 是 计数理论的 基本 模型 ,分配 模型 是 排列 模型 与 组合 模型 的 综合与加 深 . 母题结构 :( )(排列 模型 ):从 m(m n)个元素的所有不同排列的个数 n( () =!m)-(n!n; ( )(组合 模型 ):从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同组合的个数 )1()2)(1( m = !m)-！(n !m n(,n+1m); ( )(分配 模型 ):将 n 个不同 的 元素按照某 条件分配给 k 个不同的对象 ,称为分配问题 ;解决分配问题的原则 :“先分组再分配” . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2013 年 大纲 高考试 题 )6 个人排成一行 ,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种 (用数字作答 ). 解析 :(法一 )(插空法 )先排 甲、乙 外的 4 个人 ,有 再把 甲、乙两 插入这 4 个人形成的 5 个空中的 2 个 ,有 所以 ,所有 不同排法共有 80 种 ; (法二 )(捆绑法 )6 个人排成一行 ,不同排法 有 其中 甲、乙两人相邻的 有 所以 ,甲、乙两人不相邻的不同排法共有 80 种 . 点评 :相邻与不 相 邻 问题是排列中 的典型问题 ;对于存在特殊元素或者特殊位置的排列问题 ,我们可以 优 先解决特殊元素或特殊位置 ,再去解决其它元素 或位置 ,这种解法叫做特殊 元素 优先法 . 同 类 试题 : 1.(2014 年 辽宁 高考试题 )6 把椅子摆成一排 ,3 人随机就座 ,任何两人不相邻的 坐 法种数为 ( ) (A)144 (B)120 (C)72 (D)24 2.(2014 年 四川 高考试题 )六个人从左至右排成一行 ,最左端只能排甲或乙 ,最右端不能排甲 ,则不同的排法共有 ( ) (A)192 (B)216 (C)240 (D)288 子题类型 :(2011 年 大纲 高考试题 )4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门 ,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有 ( ) (A)12 种 (B)24种 (C)30 种 (D)36 种 解析 :分 步抽取 : 先从 4 人中选 2 人选修课程甲 ,有 余下的 2 人从乙、丙 3 门课程中选修 1 门 ,每人均有 2种 , 2 人 有 4 种 共有 4=B). 点评 :组合的基本模型 是 :从含有 抽取 有 常见 模型有 :分步抽取 ;分类抽取 ;组合问题的最大特点 ,也是区别于排列问题的标志是 :选出的元素无顺序 排列数除序数得组合数 . 同 类 试题 : 3.(2009 年辽宁高考 试题 )从 5名男医生、 4 名女医生中选 3名医生组成 一个医疗小分队 ,要求其中男、女医生都有 ,则不同的组队方案共有 ( ) (A)70 种 (B)80 种 (C)100 种 (D)140 种 4.(2012 年 陕西 高考试题 )两人进行乒乓球比赛 ,先赢三局 者 获胜 ,决出胜负为止 ,则所有可能出现的情 形 (各人输赢局次的不同视为不同情形 )共有 ( ) (A)10 种 (B)15 种 (C)20 种 (D)30 种 330 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 子题类型 :(2008 年 湖北 高考 试题 )将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作 ,每个场馆至少分配一 名志愿者的方案种数为 ( ) (A)540 (B)300 (C)180 (D)150 解析 :先安分组情况分类 ：一组 3 人 ,二组各一人 :先分组 ,有221112350 种 ;再分配 ,有 种 ,计有 10 6=60 种 ;一组 1人 ,二组各 2人 :先分组 ,有221123255种 ;再分配 ,有 种 ,计有 15 6=90种 方案种数为 D). 点评 :分配与分组有密切关系 ,分组可分为 :平均分组 :对于 平均分成 则不同的分法有 : )1( ; 不平均分组 :对于 分成 各组元素各不相同 ,分别为 :a1, ,且 a1+am=n,则不同的分法有 :11同 类 试题 : 5.(2006 年 全国 高考试题 )5名志愿者分到 3 所学校支教 ,每个学校至少去一名志愿者 ,则不同的分派方法共有 ( ) (A)150 种 (B)180 种 (C)200 种 (D)280 种 6.(2013年 北京 高考试题 )将序号分别为 1,2,3,4,5的 5张参观券全部分给 4人 ,每人至少 1张 ,如果分给同一人的 2张参观券连号 ,那么不同的分法种数是 . 7.(2009 年重庆高考 试题 )5 个人站成一排 ,其中甲、乙两人不相邻的排法有 种 (用数字作答 ). 8.(2014 年 北京 高考试题 )把 5 件不同的产品摆成一排 ,若产品 A 与产品 B 相邻 ,且产品 A 与产品 C 不相邻 ,则不同的摆法有 种 . 9.(2010 年湖北高考 试题 )现安排 甲、 乙、 丙 、 丁 、 戊 5 名 同学参加上海 世 博会志愿者 服 务活动 ,每人从事翻译、导游、礼仪、司机 四 项 工作之一 ,每项 工 作至少有一人参加 不会开车但能从事 其他 三 项 工 作 ,丙、丁、 戊 都 能胜 四项工作 ,则不 同安排方案的种数是 ( ) (A)152 (B)126 (C)90 (D)54 10.(2013年 浙江 高考试题 )将 A,B,C,D,E,且 A,的同侧 ,则不同的排法有 种 (用数字作答 ). 11.(2007 年重庆高考 试 题 )某校 要求 每位同学 从 7 门课程 中 选修 4 门 ,其中 甲、乙两门课程不能都选 ,则不同的 选 课 方案有 种 (用数值作答 ). 江苏高考 试题 )某校开设 9 门课程供学生选修 ,其中 A,B,C 三门由于上课时间相同 ,至多选一门 ,学校规定每位同学选修 4 门 ,共有 种不同选修方案 (用数值作答 ). 13.(2009 年 大纲 高考试题 )(理 )甲组有 5 名 男 同学 ,3 名女同学 ;乙组有 6 名男同学、 2 名 女同学 两组中各选出 2 名同学 ,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 ( ) (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345种 14.(2008 年 四川 高考试题 )从甲、乙等 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动 ,要求甲、乙中至少有 1 人参加 ,则不同的挑选方法共有 ( ) (A)70 种 (B)112 种 (C)140 种 (D)168 种 15.(2010 年全国 高考试题 )将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中 张 ,其中标号为1,2 的卡片放入同一信封 ,则不同的方法 共有 ( ) (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种 16.(2010 年江西高考 试题 )将 6 位志愿者分成 4 组 ,其中两个组各 2 人 ,另两个组各 1 人 ,赴世博会的四个不同场馆服务 ,不同的分配方案有 种 (用数字作答 ). 17.(2007年陕西高考 试题 )安排 3名支教老师去 6所学校任教 ,每校至多 2人 ,则不同的分配方案共有 种 (用数字作答 ). 18.(2006年重庆高考 试题 )将 5名实习教师分配到高一年级的 3个班实习 ,每班至少 1名 ,最多 2名 ,则不同的分配方案有( ) (A)30 种 (B)90 种 (C)180 种 (D)270 种 19.(2006 年辽宁高考 试题 )5 名乒乓球队员中 ,有 2 名老队员和 3 名新队员 名队员排成 1、 2、 3 号参加团体比赛 ,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员 ,且 1、 2 号中至少有 1 名新队员的排法有 种 .(以数作答 ) 20.(2012 年北京高考 试题 )从 0,2 中选一个数字 ,从 1,3,5 中 选两个数字 ,组成无重复数字的三位数 ) (A)24 (B)18 (C)12 (D)6 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 331 3人全排 ,有 种方法 ,形成 4个空 ,在前 3个或后 3个或中间两个空中插入 3椅子 ,有 4种方法 ,根据 乘法原理可得所求坐法种数为 6 4=24 种 D). 最左端排甲 ,有 法 ; 最左端排乙 ,则 甲 有 4种 排法 ,其它 有 法 共有 16种 排法 B). 3名医生的可能组成可分 :二男一女 :0;一男二女 :0 共有 40+30=A). 甲赢和乙赢的可能情况是一样的 ,甲赢的情况如下 : 若 比赛 3 场 ,则甲全赢 ,有 1 种 ; 若两人进行 4 场比赛 ,第 4场比赛必为甲赢 ,前 3 场任选一场乙赢 ,有 种情况 ; 若两人进行 5 场比赛 ,第 5 场比赛必为甲赢 ,前 4 场任选 二 场乙赢 ,有 种情况 甲赢有 1+3+6=10 种 ,同理 乙赢有 10 种 共有 20 种 C). 人数分配上有两种方式即 1,2,2 与 1,1,3: 若是 1,2,2,先分组 ,有22222415分配 ,有 有222224150 种 ; 若是 1,1,3,先分组 ,有22331415分配 ,有 有223314150 种 ,所以 ,共有 150 种 (A). 连号 有 :1 和 2,2 和 3,3和 4,4 和 5,四种连号 ;分给 4人 ,共有 4 6 种 . 先 甲、乙 排外的其余三人 ,有 再在这三人之间的 4个空中插入 甲、乙 ,有 共有 2. (法一 )先只考虑 A 与产品 B 相邻 ,此时用捆绑法 ,将 作为一个元素考虑 ,与 产品 C 外的 2 个 产品 排列 ,有 这三个 元素产生的 4 个空中只有 3 个空 可插入 C,有 3种方法 共有 36 种 . (法二 )先只考虑 A 与产品 B 相邻 ,此时用捆绑法 ,将 A 和 B 作为一个元素考虑 ,共有 4 种方法 ,而 有 2 种摆放顺序 ,故总计 28 种方法 ;再排除既满足 A 与 B 相邻 ,又满足 相邻的情况 ,此时用捆绑法 ,将 A,B,C 作为一个元素考虑 ,共有 种方法 ,而 A,B, 种可能的摆放顺序 ,故总计 22 种方法 符合题意的摆放共 有 486 种 . 按司机人数分类 : 司机 1 人 :08; 司机 2 人 :8;故选 (B). 在本题中 ,C 是特殊元素 ,优先考虑 C 的位置 : 字母 有 字母 C 排在左边第二个位 置 ,有 字母 C 排在左边第三个位置 ,有 23由对称性可知共有 2(242223480 种 . 含 甲、乙两门 :不含 甲、乙两门 :54=25. 含 A,B,C 三门 :不含 A,B,C 三门 :3164=75. 恰有 1 名女同学 : 女同学 在甲组中选 :25; 女同学 在 乙 组中选 :25+120=345. C). 先将 标号为 1,2的卡片 捆绑后放入信 封 ,有 再将余下 的 4张卡片放入 2个不同的信封中 有 所以 ,不同的方法共有 B). 先分组 :22=45;再分配 :45 24=1080. 各人一组 :20;其中 2 人一组 :0=210. 先分组 ,将 5 名教师分成三组 ,一组 1