3_8065005_7.数列通项与求和公式的关系

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 465 中国 高考数学母题 (第 144 号 ) 数列通项与求和公式的关系 若 数列 前 n,则 : 1;当 n 2时 ,是数列通项与求和公式的基本关系 ,利用该基本关系 ,可得等差与等比数列的两个母题和相关问题的两种解法 . 母题结构 :( )(等比数列 母题 ) 数列 公 比 q 1 的 等比数列 前 n 项和 若 数列 足 :a1=a,且 前 n 项和 n 2),其中 q 1,则 n 1)不是等比数列 ,但 n 2)是 以 的 等比数列 ; ( )(等差数列母题 ): 若 数列 足 :2n 1),且 an+ 0,则 数列 等差数列 ,且 an=a+(d或 an=a+(d; 若 数列 足 :2Sn= a2=a+d,则 数列 等差数列 ,且 an=a+(d; ( )(两种基本解法 ): (相减消元 ):由 Sn=f( f(两式相减 ,消去 an=f(f( (代入消元 ):把 (n)=0 可消去 (n)=0,把 通项 ,通过求该数列的通项解决问题 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2016 年 浙江 高考试题 )设数列 前 2=4,=2,n N*. ( )求通项公式 ( )求数列 |的前 n 项和 . 解析 :( )由 a1+, ,;又 当 n 2 时 ,由 2)-(2)=2=3( )设 ,;当 n 3 时 ,1+2) +2n+2 bn=1(3数列 n+2的前 n=21n(n+5);当 n=1时 ,数列 前 2;当 n=2时 ,数列 前 3;当 n 3 时 ,数列 前 n 项和 =3+221(321n(n+5)+6=21(31). 点评 :关于等比数列的母题有两个 ,一要注意它们之 间的区别 ;二要掌握 它们 统一的相减消元法的解题程序 . 同 类 试题 : 1.(2015 年 四 川 高考试题 )设数列 n=1,2,3, )的前 n 项和 n=2 a1, ( )求数列 通项公式 ; ( )记数列 的前项和 使得 |且 6)()(n1).( )求 通项公式 ; ( )设数列 足： 前 n 项和 3). 解析 :( )由 6)() 6)() 6)() ;当 n 2 时 ,6(1)()-()() (an+0 ( )由 1 231n bn= 3) 3n+2) 1n;令数列 前 n=31n,则 1 n 2时 ,1(n)=313 1 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 适合该式 ,所以 ,13 因 bn13 (13313 23273n+2) (3 6n2 成立 ,所以 ,bnn. 点评 :等 差 数列有两个 基本 的母题 ,关于 等 差 数列 有许 多 种 ,它们 具有统一的相减消元法的解题程序 . 同 类 试题 : 3.(2006 年陕西高考试题 )已知正项数列 其前 n 项和 10Sn=,且 a1,a3,求数列 通项 4.(2013 年广东高考文 科 试题 )设各项均为正数的数列 前 n 项和为 足 4Sn=2n N+,且 a2,a5,( )证明 :541a; ( )求数列 通项公式 ; ( )证明 :对一切正整数 n,有211321 +11因 1+2+ +12=78,故 3 行第 3 列 14 1413214 q=2;所以 ,第 k(k 3)行所有 项 的和 =)21()1( 21 )1( . 点评 :对逆推关系 :F(n)=0;如果由 F(n)=0,无法解出 Sn=f( ,则使用 代入消元 法 ,否则 ,使用相减消元法 . 同 类 试题 : 5.(2013 年广东高考理 科 试题 )设各项均为正数的数列 前 n 项和为 知 ,n N+. ( )求 ( )求数列 通项公式 ; ( )证明 :对一切正整数 n,有11a +21a + +,且 a 1)的图象上一点 ,等比数列 前 n 项和为 f(n)的首项为 c,且前 n 项和 S(n 2).( )求 数 列 通 项 公式 ; ( )若数列 11前 n 项和为 满足 09100的最小正整数 n 是多少？ 7.(2013 年湖南高考试题 )设 前 n 项和 ,已知 0,21Sn,n N+. 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 467 ( )求 a1,求数列 通项公式 ; ( )求 数列 前 n 项和 . 8.(2006 年四川高考试题 )数 列 前 n 项 和 记为 sn,=2(n 1). ( )求 通 项 公式 ( )等差 数 列 各 项为 正 ,其前 为 5,又 a1+b1,a2+b2,a3+ 数 列 ,求 9.(2005 年北京高考试题 )数 列 前 n 项 和 为 ,= ( )a2,a3, 及 数 列 通 项 公式 ; ( )a2+a4+ + 10.(2007 年福建高考试题 )数 列 前 n 项 和 为 Sn,=2Sn(n 1). ( )求 数 列 通 项 ( )求 数 列 n 项 和 11.(1994 全国高考试题 )设 正 数组 成的 数 列 ,其前 n 项 和 为 且 对 于所有的自然 数 n, 的等差中 项 等于 的等比中 项 .( )写 出 数 列 前 3 项 ; ( )求 数 列 通 项 公式 (写 出推 证过 程 ). 12.(2014 年 广东 高考试题 )设数列 前 n 和为 足 n N+,且 5. ( )求 a1,a2, ( )求数列 通项公式 ; 13.(2012 年广东高考文 科 试题 )设数列 前 n 项和为 列 前 n 项和为 足 n N+. ( )求 ( )求 数列 通项公式 . 14.(2012 年 大纲 高考试题 )已知数列 ,前 n 项和 2( )求 a2, ( )求 通项公式 . 15.(2006 年全国 高考试题 )设数 列 前 n 项 和 为 方程 有一根 为 n=1,2,3, . ( )求 a1, ( )求 通 项 公式 . ( )由 2(2 n 2) 数列 以 2为公比 的 等 比 数列 an=2又由 a1+() 5(2) n; ( )由 n(21 )n -(21 )n;所以 ,|n 的最小值 =10. ( )由 = a2= 当 n 2 时 ,r(=(1+r)an=+r)+r)而 a1=a 不适合该式 ,所以 , )2()1( )1( 2 na n; ( )由 =+r)Sn=a(1+r)以 ,k+2成等差数列 +=2a(1+r)k+a(1+r)k+1=2a(1+ r)(1+r)+(1+r)2=2 r=0,或 r=当 r=0,且 m 2 时 , ,am,成等差数列 ;当 r= m 2 时 ,2)+=2)2)m=-2)-2)m=2),am,成等差数列 . 由 10Sn= 10S1= a1=或 ;且 10(n2) ;由 - 得 :106(1) (an+0(an+) (n2 );当 时 ,3,3,a1,a3,当 时 ,2,2,有 ( )当 n=1 时 ,4S1=) 541a; ( )当 n 2 时 ,422=()2 = 数列 n 2)是 公差 d=2 的 等差数列 ;由 a2,a5, ()2=a2(4) ;由 541a ( )由111(121n)211321 +111(1n)209100 n91000 最小正整数 n 为 112. ( )由 2112 a1=;212+;当 n 2 时 ,(2(2( )由 n 2前 n 项和 =(n+1. ( )由 =3( )由 n+11 Tn=n. ( )由 ,=311,=34an(n 2) 1(34)n 2); ( )a2+a4+ +3(34)2 ( )由 =2 =3 3n 2); ( ) 31. 由22na=1()2;当 n=1时 ,1=81()2 ; =1(+2)2)2 (+(0(an+) 数 列 等差数列 ( )由 1=2a1+2=4a1+a2+3=55 a1+ ,; ( )当 n 2