1_6354454_1.矩形生成二次曲线的类型和本质

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 矩形生成二次曲线的类型和本质 生成二次曲线 的 一个 母题模型 求某动点的轨迹方程是解析几何的基本问题 ,也是高考的热点问题 ,其中 ,矩形 是生成 椭圆 、 双曲线 、 抛物 线 等 的一个母题模型 . 母题结构 :( )如图 ,在矩形 ,a,b(ab0),O 是 矩形 中心 ,E,F,G 分别 是 C, 中点 ,动点 M,N 分别 在 C 上 ,且满足 F=F,则 N 的交点 P 在以 O 为中心 的 椭圆 上 ; ( )如图 ,在矩形 a,b,动点 M, 直线 且满足 C=D, 则 N 的交点 P 在 双曲线 上 ; ( )如图 ,在矩形 a,b,动点 M, 直线 且满足 B=C, E,则 E 的交点 P 在 抛物 线 上 . 母题 解 析 :( )分别以直线 G 为 x,y 轴建立直角坐标系如图 ,则 B(a,C(a,b), D(-a,b),E(0,G(0,b),设 F=F=t,则 M(),N(a, 22 P(x,y),则22; ( )以 中点 O 为坐标原点 ,直线 x 轴建立直角坐标系如图 ,则 A(),B(a,0),C(a,2b),D(b),设 C =D=t,则 M(a,2N(2at+a,2b) 2 P(x,y),则222; ( )分别以直线 D 为 x,则 B(2a,0),C(2a,2b),设 B=C=t,则 M(2),N(2a,2 直线 ME:x=2N:y=x;设 P(x,y),则 x=2 y=x,消去 t 得 :y=22子题类型 :(2013年福建 高考试题 )如图 ,在 正方形 ,O 为坐标原点 ,点 A 的坐标 为 (10,0),点 0,10),分别将线段 分点分别记为 2, ,1, ,接 x 轴的垂线与 i(i N+,1 i 9). ( )求证 :点 Pi(i N+,1 i 9)都在同一条抛物线上 ,并求该抛物线 E 的方程 ; ( )过点 C 作直线 l 与交抛物线 E 于不同的两点 M、 N,若 面积比为 4:1,求直线 l 的方程 . 解析 :( )因 0,i) 直线 0y= 线 x=i 点 Pi(i N+,1 i 9)在抛物线 E:0y 上 ; ( )设 M(x1,N(x2,直线 l:y=0;代入 0y得 x1+0k,100;由 :1 |4|矩形 ,a,O 为 中点 、 F、 G 分别在 移动 ,且,P 为 交点 (如图 ), 问是否存在两个定点 ,使 P 到这两点的距离的和为定值 求出这两点的坐标及此定值 ; 若不存在 ,请说明理由 . 解析 :以 直线 则 A(),B(2,0),C(2,4a),D(a),设 C=D= A=t,则 E(2,4F(2a),G( 2由直线 EG:2 y 轴交于定点 M(0,2a);设 P(x,y),则 22= ,点 P 的轨迹为圆弧 ,不存在符合题意的两点 ;当 轨迹为椭圆的一部分 ,点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 . 点评 :如果能利用直线 ,以 直线 则可得标准方程 :于求焦点 . 质 子题类型 :(2003 年新课程高考试题 )己知常数 a0,向量 c=(0,a),i=(1,0),经过原点 O,以 c+ i 为方向向量的直线与经过定点 A(0,a),以 c 为方向向量的直线相交于点 P,其中 R,试问 :是否存在两个定点 E、 F,使得 |定值 求出 E、 F 的坐标 ;若不存在 ,说明理由 . 解析 :设 P(x,y),由 c+ i=( ,a),c=(1,a) 直线 率之积 =2= 点 P 的轨迹为圆弧 ,不存在符合题意的 两点 ;当 轨迹为椭圆的一部分 ,故存在椭圆的两焦点满足题意 . 点评 :由以上两题不难发现 :过定点 的直线的交点 直线 斜率之积为小于零的常数 ;过定点 的直线的交点 直线 斜率之积为大于零的常数 ;这才是两动直线交点的轨迹为有心圆 锥 曲线 的本质 ;两动直线 即可用矩形包装 ,也可用向量等包装 . 1.(人教 A 版数学 (选修 250 习 题 第 4 题 )如图 ,矩形 ,|8,|6, E,F,G,R,S,R ,S ,T 是线段 分点 R 与 ,S ,T 的交点 L,M,N 都在椭圆162x+92y=1 上 . 2.(1983年全国高考副题 )如图 ,在直角坐标系中 ,己知矩形 A=a,CO=b,点 O 的延长线上 ,OD=a,设 M、 N 分别是 上的动点 ,使 C=C 0,求直线 N 的 交点 P 的轨迹方程 ,并画出图形 . 3.(2014年 浙江省高中数学第二届教师说 题 比 赛 试题 )如图 ,在矩形 ,AB=a,AD=b (a0,b0),E 为 的中点 ,设 P、 Q 分别 上的动点 ,且满足接 于点 M,求动点 M 轨迹方程 ,并指出它的形状 . 4.(2011年安徽高考试题 )设直线 l1:y=,l2:y=中实数 k1,=0. ( )证明 ( )证明 x2+ 上 . 5.(2005 年 全国高中数学联赛安徽预 赛试题 )己知常数 a0,向量 p=(1,0),q=(0,a),经过定点 M(0,方向向量为 p+(0,a),方向向量为 p+2 q 的直线相交于点 R,其中 R. ( )求点 R 的轨迹方程 ; ( )设 a=22,过 F(0,1)的直线 l 交点 R 的轨迹于 A、 B 两点 ,求 的取值范围 . 由 i3,163i(i=1,2,3) 169 点 2