3_8065009_3.隔项递推数列的基本类型

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 449 中国 高考数学母题 (第 140 号 ) 隔项递推数列的基本类型 若数列 足 :a1=a,a2=b,=f(=g(或 =2 )1(1 nf(2 )1(1 ng(则称数列 隔项递推数列 ;隔项递推数列具有三种最简单也是最基本的形式 ,讨论三种隔项递推数列 的通项公式是其核心问题 . 母题结构 :( )(隔项等差 数列 )若 数列 足 :a1=a,a2=b, ,则 a+ (b+ (当且仅当 = 2( ,数列 等差 数列 ; ( )(隔项等比 数列 )若 数列 足 :a1=a,a2=b,= an( 0),则 a b 且仅当 =(时 ,数列 等 比 数列 ; ( )(隔项差比 数列 )若 数列 足 :a1=a,a2=b,=2 )1(1 n+1(1 n )1(1 nd,则 a+(d,b 母题 解 析 :( )当 n=2由 公差为 的 等 差数列 a+ (当 n= 2k 时 ,由 公差为 的 等 差数列 b+ (又 由 等差 数列 2= =2( ( )当 n=2由 = = 公 比 为 的 等 比 数列 a 当 n=2由 = = 公 比 为 的 等 比 数列 b 由 等 比 数列 = =(; ( )当 n=2由 =2 )1(1 n+1(1 n )1(1 nd =d 公差为 差数列 a+()d;当 n=2k 时 ,由 =2 )1(1 n+1(1 n )1(1 nd =公 比 为 q 的 等 比 数列 b 子题类型 :(2014 年课标 高考试题 )已知 数列 前 n 项和 为 Sn,0,= 中为常数 . ( )证明 : ; ( )是否存在 ,使得 等 差数列 ？并说明理由 . 解析 :( )由 = = 式相减得 :( ( 0) ; ( )由 ,= 由 是公差为 的 等 差数列 1, 21n 1=2 n+ 22 (, ;所以 , 等 差数列 22 = =4,故 存在 =4,使得 等 差 数列 . 点评 :递推关系式 :有许多等价式 ,如 : an+= n+b; = Sn+t;利用数列恒等式 ,可解决有关 f(n)的数列问题 . 同 类 试题 : 1.(2002 年 全国 高考试题 )已知 由非负整数组成的数列 ,满足 ,)(),n=3,4,5, . ( )求 ( )证明 :an=,n=3,4,5, ; ( )求 通项公式及其前 n 项和 子题类型 :(2007年 湖北 高考试题 )已知数列 足 :,n N*),且 以 ( )证明 := 450 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )若 cn=明数列 等比数列 ; ( )求和 :11a +21a +31a +41a + +121na+ 解析 :( )由 以 q 为公比的等比数列 =1 nn aa=q1=( )当 n=2 ,由 =公 比 为 比 数列 q2)当 n=2由 = =公 比 为 比 数列 (q2)cn=(q2)首项为 5,以 ( )由12121 (1a +21a +31a +41a + +121na+23n (q=1)或 23 )1( 1222 2 qq qn n . 点评 :递推关 系式 := 许多等价式 ,如 :若 以 为公比的等比数列 ;利用数列恒等式 ,可解决有关 =n)的数列问题 . 同 类 试题 : 2.(2015 年 湖南 高考试题 )设数列 前 n 项和为 知 ,且 =3+3,n N*. ( )证明 :=3 ( )求 子题类型 :(2008 年 湖 南 高考试题 )数列 足 :,=(1+n)an+n,n=1,2,3, . ( )求 a3,求数列 通项公式 ; ( )设 bn=Sn=b1+ +当 n 6 时 ,|n(n+2). 点评 :易知 ,n=2 )1(1 n,n=2 )1(1 n;故隔项差比数列 的递 推关 系式 有多种表达形式 ;隔项差比数列 可综合考查等 差 数列 与等 比数列 . 同 类 试题 : 3.(2007 年 湖南 高考 文科 试题 )设 列 n N*)的前 a1=a,且 0,n=2,3,4, . ( )证明 :数列 n 2)是常数数列 ; ( )试找出一个奇数 a,使以 18为首项 ,7为公比的等比数列 n N*)中的所有项都是数列 的项 ,并指出 的第几项 . 4.(2007 年 陕西 高考试题 )已知各项全不为零的数列 前 k 项和为 1(k N*),其中 . ( )求数列 通项公式 ; ( )对任意给定的正整数 n(n 2),数列 足=1k=1,2, ,.求 b1+ + 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 451 5.(2015 年 天津 高考试题 )已知数列 足 =q 为实数 ,且 q1 ),n N*,且 a2+a3,a3+a4+( )求 q 的值和 通项公式 ;( )设 222n N*,求数列 前 n 项和 . 6.(2004 年 全国 高考试题 )已知数列 ,且 -1)k,=k,其中 k=1,2,3, . ( )求 a3, ( )求 通项公式 . 7.(2007 年 湖南 高考 理科 试题 )已知 An(an,n N*)是曲线 y=a1=a,列 前 n 项和 ,且满足 0,n=2,3,4, . ( )证明 :数列 (n 2)是常数数列 ; ( )确定 a 的取值集合 M,使 a M 时 ,数列 单调递增数列 ; ( )证明 :当 a M 时 ,弦 (n N*)的斜率随 n 单调递增 . 8.(2005年 江西 高考 理科 试题 )已知数列 前 (n 3),且 ,23,求数 列 通项公式 . ( )由 )() 0,且 ,2,5,10;若 ,则 0,3, 与题设矛盾 ;若 ,则 ,35,与题设矛盾 ;若 0,则 ,0,3,与题设矛盾 ; ( )用数学归纳法证明 :当 n=3时 ,a3=,等式成立 ; 假设当 n=k(k 3)时等式成立 ,即 ak=,由题设 ) () =,即当 n=k+1 时 ,等式成立 ,故 an=,n=3,4,5, ; ( )当 n=2 ,由 公差为 2 的 等 差数列 (当 n=2k 时 ,由 公差为 2 的 等 差数列 +2( an=n+(-1)n 2 )1( 2 )1(1 n . ( )由 =(3+3)-(3)=3 =3an(n 2);又 =3=3an(n 1); ( )由 =3 3n 3(3 23(5 3 ( )当 n 2 时 ,由 (3+(n+1)2 an+=6n+3 += 6n+9 数列 n 2)是常数数列 ; ( )由 1=12 2 a2+5 +2a;又由 数列 别是以 a2,6为公差的等差数列 (6,(6k+2奇数 ;而 8 7 的项 ;令 b1=18=6 a=3 k=3 a=3 k;令 6k=18 7k=3 7的第 6 7 ( )当 k=1时 ,由 1=21;当 k 2时 ,由 =1( 0) 2n ak=k; ( )由=1- 1k bk=223 1(-1)k 21 )1()2)(1(=(-1)k=1,2, ,n) b1+ +bn=(-1)- (-1)=-(1-1)n=( )由 ,且 =由 (a3+(a2+(a4+(a3+ a2(a3( a2= q=2 n; ( )由 bn=n(21)(21)0+2(21)1+3(21)2+ +n(21) 21(21)1+2(21)2+3(21)3+ +n(21)n ;由 452 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 - 得 :21+(21)1+(21)2+ +(21)1)n -(2n+4)(21)n. ( )由 -1)k,=k ,a3=3,a4=4,a5=2=13; ( )由 -1)k,=k =-1)k+3k -1)k+3k ( +(1+ (+(+ +(-1)3+32+ +32 )1(1 n+233n=2 2)1(3 -1)n=2 2)1(3 ( )当 n 2 时 ,由 (3+(n+1)2 an+=6n+3 += 6n+9 =e nn 2 =数列 (n 2)是常数数列 ; ( )由 1=12 2 a2+5 +2a;又由 数列 别是以 a2,6为公 差的等 差数列 (6,(6k+2 数列 单调递增数列 0 f (x)0 f(x)在 (- , ( )上都是增函数 ;取 x0= f()f()ee 11ee 2