1_6354518_5.关于f(x)的一元二次方程的图解法

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 关于 f(x)的一元二次方程的图解法 解决 一类 函数 零点 问题 的 通 法 关于 方程 bf(x)+c=0的实根 问题 是高考的一典型母题 ,因其中函数 f(x)与 实 数 a,b,c 都有选择的灵 活 性 ,因此 , 其子 题 具有广泛 的生长 空间 ,母题的 解题程 序 是 : 母题结构 :已知 函数 f(x),研究 关于 x 的 方程 x)+bf(x)+c=0 的实根 问题 . 解 题 程序 :作出所函数 f(x)的图像 ;研究 关于 t 的 一元二次方程 bt+c=0,并把方程 x)+bf(x)+c=0 根的问题等价转化为函数 f(x)图像与直线 y=y=利用韦达定理得 :t1+ab,此解决相关问题 . 子题类型 :(2005 年上海高考试题 )设定义域为 f(x)= 1,0 1|,1|x 关于 f2(x)+bf(x)+c=0有 7 个不同实数解的充要条件是 ( ) (A) (B)b0,且 b1,如 ,1,k= 足 条 件 ,所以 正确 ;由 图 知 ,方程恰有 4 个实 根 y1=1,k=41所以正确 ;由 图知 ,方程恰有 5 个实 根 ,k=0 所以正确 ;由 图 知 ,方程恰有 8 个实 根 (0,1),如1,2,k=92满 足 条 件 ,所以正确 ,正确命 题 的 个数为 4,假命 题 的 个数为 0,故 选 (A). 点评 :常见问题有 : 根的个数 (或已知根的个数 ,求参数的取值范围 ); 求参数 (或求 所有 根的 和 ). 数 子题类型 :(2013 年安徽高考试题 )(理 )若函数 f(x)=x3+bx+c 有极值点 x1, f(关于 x 的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0 的不同实根个数是 ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析 :不妨设 x1 f(x)=x3+bx+c 有极值点 x1, f(x1 函数的图像如图 ,又由极值点的定义及 方程 3(f(x)2+2af(x)+b=0 f(x)=或 f(x)=图知 ,方程 f(x)=,方程 f(x)=个数是 1,故选 (A). 点评 :利用 三次 函数的 导函数是二次 函数 ,并由 极值来限定函数的图像 ,使得母题的生成达到了极致 . 1,(2003 年 全国 高考试题 )已知 方程 (m)(n)=0 的四个根组成一个首项为41的等差数列 ,则 |于 ( ) (A)1 (B)43(C)21(D)832.(2009 年 福建 高考试题 )函数 f(x)=bx+c(a 0)的图象关于直线 x=据此可推测 ,对任意的非零实数 a,b, c,m,n,p,关于 x 的方程 mf(x)2+nf(x)+p=0 的解集都不可能是 ( ) (A)1,2 (B)1,4 (C)1,2,3,4 (D)1,4,16,64 3.(2010 年全国高中数学联赛 广西 预 赛试题 )已知定义域为 f(x)=)2(1)2(|2| 1若关于 x 的方程 f2(x)+bf(x) +c=0 恰有 5 个不同的实数解 x1,x2,x3,x4, f(x1+x2+x3+x4+于 ( ) (A)21(B)41(C)81(D)1614.(2013年安徽高考试题 )(文 )若函数 f(x)=x3+bx+x1, f(x1关于 (f(x)2+2af(x)+ b=0 的不同实根个数是 ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 5.(2014 年 全国 高中数学联赛四川预赛试题 )已知 a,b,c,d 均为实数 ,函数 f(x)=3cx+d(a0)有两个极值点 x1,x1满足 f(方程 af(x)2+bf(x)+c=0 的实根个数是 ( ) (A)0 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4个 设 f(x)= (m)(n)=0 f2(x)+(m+n)f(x)+;设 f(x)= 根 分 别为 x1,x2,f(x)=根 分 别为 x3,x4,1,则 3 y1=f(41)=y2=f(43) =m+n=-(y1+811,mn=671615 | )( 2 =C). 设 关于 f(x)的方程 mf(x)2+nf(x)+p=0的 两根 分 别为 f(x)=y1,f(x)= f(x)=根 分 别为 x1,x2,f(x) =根 分 别为 x3, x1+ab,x3+x1+x2=x3+证知 ,(D)不符合 D). 作 f(x)的图像知 如图 ,f(x)的图像关于直线 x=2 对称 ,所以 ,方程 f2(x)+bf(x)+c=0 恰有 5 个 不同的实数解 f(x)= 个不同的实数解 ,其中一根 x=2,另两根的和 =4,且 f(x)= 个不同的实数解 ,其两根的和 =4 x1+x2+x3+x4+0 f(x1+x2+x3+x4+C). 由 f(x)=x3+bx+c 有极值点 x1, f(x1函数的图像如图 , 又由极值点的定义及 方程 3(f(x)2+2af(x)+b=0 f(x)= f(x)=图知 , 方程 f(x)=,方程 f(x)=,故选 (A). 由 a0