1_6354526_8.利用导数性质.妙解对称问题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 利用导 数性质 称问题 轴对称与中心对称互化 的 母题 函数 图像的 轴对称性与中心对称性是研究函数的重要对象 ,如能 将 它们 进行 相互转化 ,将是十分美妙的 ,也会为解决 函数 的 轴对称性与中心对称性问题带来 一种新的途径 ,导数为 实现 这一目标提供了平台 构造母题如下 : 母题结构 :若 函数 f(x)的 导函数 为 f (x),则 函数 f(x)的图像关于直线 x=a 对称 函数 f (x)的图像关于点 M(a,0)对称 ;特别地 , f(x)是偶函数 f (x)是奇函数 ; f(x)=奇函数 +常数 f (x)是偶函数 . 母题 解 析 :(必要性 )若 函数 f(x)的图像 关于直线 x=则 f(a+x)-f(0 f (a+x)+f (0 函数 f (x)的图像 关于 点 M(a,0)对称 ;特别地 ,f(x)是偶函数 f (x)是奇函数 ; (充分性 )若 函数 f (x)的图像 关于 点 M(a,0)对称 ,则 f (a+x)+f (0 f(a+x)-f( =0 f(a+x)-f(b (常数 );令 x=0 得 :f(a)-f(a)=b b=0 f(a+x)-f(0 函数 f(x)的图像关于直线 x=a 对称 ;特别地 ,f (x)是奇函数 f(x)是偶函数 ; 对于 :f(x)=奇函数 +常数 (设为 b) f(x)的图像 关于 点 (0,b)对称 f(x)+f(2b f(x)+f( =0 f (x)- f (c(常数 )(令 x=0 得 :c=0) f (x)(0 f (x)是偶函数 . 数 中的 参数 子题类型 :(2014 年 湖南 高考试题 )若 f(x)=ln()+偶函数 ,则 a= . 分析 :由 f(x)是偶函数 f (x)是奇函数 ,然后 ,利用 f (0)=0,求 a. 解析 :由 f(x)是偶函数 f (x)=1333a 是奇函数 f (0)=23+a=0 a=点评 :由 原函数 f(x)是偶函数 导函数 f (x)是奇函数 ,从而可利用 f (0)=0 求参数 ;体现了奇偶性相互转化的解题功能 . 数 中的 参数 子题类型 :(2013年 课标 高考试题 )若函数 f(x)=(1x2+ax+b)的图像关于直线 x=则 f(x)的最大值是 . 分析 :由 函数 f(x)的图像关于直线 x=称 f (x)的图像关于 M()对称 ,由此求 a,b,解决问题 . 解析 :由 f(x)的图像关于直线 x=称 f (x)=(1-b)x+a 的图像关于 M()对称 2,f(0 a=8,b=15 f (x)=-4(有零点 x=有因式 x+2)=-4(x+2)(-4(x+2)(x+2+5 )(x+2- 5 ),列表如下 ,由 表 知 ,f(x)的最大值 =f( )=f(5 );注意到 : f(x)=(1x+15) =4x(4x+16)=16(x)=16 f(x)的最大值 =16. 点评 :本题是难题 ,该解法为作者给出 ,远优于流行的“标准答案”中的解法 ;由 f(x)的 图像关于直线 x= f (x)的图像关于点 M(a,0)对称 ,然后利用连 续 函数的对 称中心在函数 图像 上得 f (a)=0,由此 求参数 ,进而解决相关问题 . 数 与其导 函数 的周期关系 子题类型 :(2007 年江西高考试题 )设函数 f(x)是 为周期的可导偶函数 ,则曲线 y=f(x)在 x=5处的切线的斜率为 ( ) (A)0 (C)51(D)5 分析 :由 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数 导 函数 f (x)是 R 上以 5 为周期的 奇 函数 ,由此 解决问题 . 解析 :由 f(x)是 为周期的可导偶函数 导 函数 f (x)是 为周期的 奇 函数 f (5)=f (0)=B) 点评 :f(x)是以 f (x)也是以 反之不成立 ;但有 f (x)是以 且 f(T) =f(0),则 f(x)也是以 1.(2010年山东高考试题 )观察 ( =2x,( =4 = 归纳推理可得 :若定义在 f(x)满足 f(=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数 ,则 g( ) (A)f(x) (B)-f(x) (C)g(x) (D)-g(x) 2.(2001 年新课程高考试题 )若函数 f(x)=是 R 上的偶函数 ,则实数 a= . 3.(2015 年 课 标 高考试题 )若函数 f(x)=x+ 2)为偶函数 ,则 a= . 4.(2006 年湖南高考试题 )若 f(x)=x+4)+3是偶函数 ,则 a= . 5.(2011 年 第 二 十 二 届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题 )已知 f(x)=2 1 是偶函数 ,则 . 6.(2008 年四川高考试题 )设 f(x)= x+ ),其中 0,则 f(x)是偶函数的充要条件是 ( ) (A)f(0)=1 (B)f(0)=0 (C)f (0)=1 (D)f (0)=0 7.(2008 年福建高考试题 )如果函数 y=f(x)的图象如右图 ,那么导函数 y=f (x)的图象可能是 ( ) 8.(2005 年江西高考试题 )己知函数 y=(x)的图象如 图所示 :(其中 f (x)是函数 f(x)的导函数 ),下列四个图象中 ,y= f(x)的图象大致是 ( ) 9.(2009 年北京高考试题 )设 f(x)是偶函数 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线的斜率为 1,则该曲线在点 (-1,f(处的切线的斜率为 . 10.(2010 年江西高考试题 )若函数 f(x)=c 满足 f (1)=2,则 f ( ) (A) (B) (C)2 (D)0 11.(2007 年福建高考试题 )己知对任意实数 x,有 f(-f(x),g(g(x),且当 x0 时 ,f (x)0,g (x)0,则 x0,g (x)0 (B)f (x)0,g (x)0 (D)f (x)A). 由 y=(x)的图象知 ,y=(x)是 奇函数 f (x)是 偶 函数 f(x)=奇函数 +常数 C). 由 f (x)是奇