1_6354528_3.一个向量数积等式的应用

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 一个向量数积等式的应用 解决一类向量数积 问题 的 技 法 向量的数量积是现行高中教材中平面向量体系的中心 ,以向量的数量积为背景的问题是高考的热点 ,下面以母题 形式呈现的一个等式 ,可优化一类 以向量数量积为背景问题的 解 题 过程 . 母题结构 :在 ,若 点 P 是 中点 ,则 |2B |2. 母题 解 析 :由 (=+ |2B |2. 子题类型 :(2015 年 山东 高考试题 )过点 P(1, 3 )作圆 x2+ 的两条切线 ,切点分别为 A,B,则 . 分析 :寻找 中点 H,则 |B|2,转化为求 | | 解析 :连接 B,则 垂足点 C,则 C 是 中点 |B|2;由 |=2,|1 00 00 |21,|23 |23,| 3 23. 点评 :求两向量数量积的一般方法是根据定义求两向量的模及其夹角 ,母题中的等式给出了求两向量数量积的一种新方法 :求两向量数量积转化为求两向量始点与两向量终点的中点之间的距离和两向量终点的距离 . 活用 向量数量积 等式 子题类型 (2014年 江苏 高考试题 )如图 ,在平行四边形 已知 ,3 2,则 . 分析 :取 中点 E,则 |B|2=| |=18,由此 求 值 ,可得 值 . 解析 :取 ,则 E,且 |B|2=| 2 | =18 8;在 , 2 222=2011 |2. 点评 :利用向量的数量积等式 |2B |2的关键是 取 中点 P,由此可把向量的数量积转化为线段长度 ,以此解决相关问题 . 何意义 子题类型 :(2013 年 浙江 高考试题 )设 0是边 一定点 ,满足 1对于 任一点 P,恒有 则 ( ) (A)00 (B)00 (C)C (D)C 分析 :恒有 当点 P 在点 得最小值 ;取 中点 D,则 以 , 小值 小值 C. 解析 :恒有 当点 P 在点 得最小值 ;取 中点 D, 则 以 , 小值 小值 中点 H, 则 D). 点评 :恒等式 : |2-|的数量积转化为线段 的长度关系 ,不仅 为计算 向 量的数量积 代来了方便 ,而且 也为寻 找 向 量数量积的 几何意义代 来了 一种新的途 径 ,从而可直观解决 向 量数量积的 最大值和最小值问题 . 1.(2012 年 浙江 高考试题 )在 ,M 是 中点 ,0,则 . 2.(2005 年 湖 南 高考试题 )已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+相交于 A、 B 两点 ,且 | 3 ,则 . 3.(2010年 大纲 高考试题 )已知圆 ,A、 那么 最小值为 ( ) (A)2 (B)2 (C) 2 (D) 2 4.(2015 年 高考 课 标 试题 理科 第 5 题 )已知 M(双曲线 C:22 上的一点 , 上的两个焦点 ,若 1 20,则 ) (A)(- 33 , 33 ) (B)(- 63 , 63 ) (C)(- 322 , 322 ) (D)(- 332 , 332 ) 5.(2013 年 常州 期未 考试 试题 )在平面直角坐标系 ,圆 O:x2+ 分别交 x 轴正半轴与 y 轴负半轴于 M、 N 两点 为圆 O 上任意一点 ,则 最 大 值 为 . 6.(2014 年 南京 期未 考试 试题 )在 ,A=1200,则 最 小 值 为 . 7.(2014 年 绍兴期未 考试 试题 )已知 过 双曲线162 中心的 一条动弦交 双曲线 于 A,B 两 点 ,M 为圆 C:=1 上的一个 动 点 ,则 最 大 值 为 ( ) (A) (B) (C) (D).(2013年全国高中数学联赛 浙江 初 赛 试题 )已知直线 ,若 A ,则下列一定成立的是 ( ) (A) (B)l,其中 l 是抛物线过 (C) (D)1 由 1= 取 中点 M,则 1,由 1=设 于点 C,则 C 是 中点 |B|2=|-|;在 由 |=| | 1 |-|=(|-|)-|=|C|2= (|-|)-|)=(|2(1 1|+2| 22 2 42 时 ,等 号成立 D). 由 1 2| |3;作圆 O:x2+y2=,则圆 曲线 33,A). 取 中点 T,则 |4+4 2 . 取 中点 D,则 由 大 值 (2+1)2=9,此时 M(0,3) 小 值 =16 B = 值 =9C). 如图 ,由 0以 , A 点 到