14_5042173_25.长方体的模型功能之底面为直角梯形的四棱锥

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 长方体的模型功能之底面为直角梯形的四棱锥 模型解题法之 四 底面为直角梯形的四棱锥自 2001 年出现于高考试题后 ,逐 渐 成为是高考试题的重要载体 ;由于直角梯形可补形为矩形 ,所 以 ,底面为直角梯形的四棱锥是长方体的子体 ,长方体 模型可衬 托 该 子体的 结构特征 . 母题结构 :在如图所示的 长方体 中 ,若 AB=a,BC=b,AD=c,AP=h,则 :平面 法向量 m= (h(ah,平面 法向量 m=(a,0). 解 题 程序 :由 C(a,b,0),D(0,c,0),P(0,0,h) (a,),(0,c,设平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 y=0,令 y= m=(h(ah,同理可得 :平面法向量 m=(a,0). 底面上的射影点在 直角顶点 子题类型 :(2001年 全国 高考试题 )如图 ,在底面是直角梯形的四棱锥 00, A=C= 1,1. ( )求四棱锥 ( )求面 解析 :( )由 直角梯形 3 四棱锥 =41; ( )以 B 为坐标原点 ,直线 别为 x、 y 轴 ,建立空间直角坐标系 ,如图 ,则 C(0,1,0),D(1,21,0),S(1,0,1) (1,0),(0,21,设平面 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 1y=0,21,令 x=1得 m=(1, 2,1);又 平面 法向量 n=(0,1,0) 6 面 面 成的二面角的正切值 =22. 点评 :高考 对 底面为直角梯形的四棱锥的变化可以顶点在底面上的射影点位置分类研究 ,其中 ,射影点在直角顶点是最常见的载 体模型 ,对该模型极易建系 . 底面上的射影点在非 直角顶点 子题类型 :(2014 年 浙江 高考试题 )如图 ,在四棱锥 , 平面 平面 00,D=2,E=1,2 . ( )证明 :平面 ( )求二面角 大小 . 解析 :( )在直角梯形 由 00,E=1 2 ;在 ,C= 2 平面 平面 平面 平面 ( )以 D 为原点 ,分别以射线 x、 y 轴的正半轴 ,建立空间直角坐标系 ,如图 ,则 A(0,2, 2 ),E(1,0,0),B(1,1,0), 设平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 2y+ 2 z=0,x+y=0,令 x=1 得 m=(1,2 ),同理可得 平面 n=(0,2 ) 3 =6 二面角 大小 为6. 点评 :对 顶点在底面上的射影点恰在直角梯形的非直角顶点 的四棱锥 ,一要掌握 建系 方 法 ;二要充分挖 掘 其中的“鳖臑 ” ,并灵活运用“鳖 臑 ” 的性质 . 底面上的射影点在 底面边上 子题类型 :(2008 年 福 建高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,侧面 面 棱 D= 2 ,底面 直角梯形 ,其中 B D=2,O 为 点 . ( )求证 :面 ( )求异面直线 D 所成角的余弦 值 ; ( )线段 ,使得它到平面 若存在 ,求出若不存在 ,请说明理由 . 解析 :( )在 ,由 D,O 为 点 由侧面 面 面 ( )分别以 直线 别为 x、 y、 z 轴 ,建立空间直角坐标系 ,如图 ,则 B(1,),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1) (,1),(,0) 6 异面直线 D 所成角的余弦 值 =36; ( )假设存在点 Q(0,t,0)(1933 二面角 余 弦值 =31933. ( )如图 ,建立坐标系 ,则 B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0) (,0),E(2,4,0) (2,4,0);设 P(0,0,h),则 (0,0,h) 0, 0 面 ( )因 平面 D =(,0),平面 P =(0,0,h),由 直线 成的角和 |2162016h=216 h= 558 四棱锥 体积 V= 155128 . ( )如图 ,建立坐标系 ,则 B(1,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2) E(1,1,1) (0,1,1),(2,0,0) 0 ( )由 平面 法向量 m=(2,1,1) 3 所成角的正弦值 =33; ( )设 F(2 ,2 ,2 (2 ,2;由 =0 =41 (1,23);设平面 n=(x,y,z),由 n 0,n 0 n=(0,3,平面 t=(0,1,0) 0103 二面角 余弦值 =10103. ( )不妨设 ,分别以直线 x、 建立空间直角坐标系 ,则 A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,4,0),P(4,0, 2k) E(2,2,k),F(0,2,0) (0,4,0),(,k),(,0) 0, 0 平面 ( )设平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=(k,),又 平面 法向量 n=(0,0,1);由 二面角平面角大于 300 ( )设 PA=x,则 棱锥 A 体积 V(x)=61x(4 V (x)=61(4 当 x=332时 ,V(x)最大 ,此时 ,332;( )取 A B 的中点 F,则 A B A B ( )由 B=900 D 由 直二面角 平面 异面直线 公垂线 ; 由, 9 异面直线 C 的距离 =2; ( )分别以 直线 别为 x、 y、 z 轴 ,建立空间直角坐标系 ,如图 ,则 A(0,0,4),C(2,29,0),E(0,3,0) (0,3,(2,23,0);设平面 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 3,4x+3y=0,令 x=m=(, 3),又 平面 法向量 n=(0,0,1) 43 二面角 切值 =35 . ( )由 E 平面 平面 ( )分别以 直线 x、 z 轴 ,建立空间直角坐标系 ,如图 ,则 (, 3 ),设平面 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 3 ,2x+y=0,令 x=m=(, 3 ) 2 平面 成角的大小 =4; ( )设线段 存在点 P(0,a,0)(0a3),则 平面 法向量 n=(21);假设 平面