3_8064984_3.立体几何中的体积问题

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 543 中国 高考数学母题 (第 161 号 ) 立体几何中的体积 问题 几何体的体积 问题是立体几何所特有的问题 ,也是文科高考 立体几何 解答题中的重点问题 ,其中的 问题 类型有 :利用 体积 公式 ,求 规则几何体的体积 、 能割善补 ,求不规则几何体的体积 和两 几何体的体积 问题 等 . 母题结构 :( )(体积 公式 )若 台 体的 上、下底面面积分别为 为 h,则体积 V=31(12)h; ( )(能割善补 )求不规则几何体体积的基本方法是能割善补 ,基本途径有 :分 割 方 法 :把不规则的几何体分 割 为一些 规则几何体 ;补形 方 法 :把不规则的几何体补形为一个 规则几何体 ; ( )(体积比定理 ):若从点 O 所作的不在同一平面内的三条射线 ,分别有点 1、 222111=222 111 . 母题 解 析 :略 . 式 子题类型 :(2013 年课标 高考试题 )如图 ,三棱柱 B, 00. ( )证明 : ( )若 B=2,6 ,求 三棱柱 解析 :( )取 中点 O,连接 1B;由 B 00 等边三 角形 平面 ( )由 的等边三角形 3 ;又 6 平面 又 面积 S 3 三棱柱 =S A 1=3. 点评 :在台体的体积公式中 ,当 2=S 时 ,得柱体的体积公式 V= , 时 ,得 锥 体的体积公式 V=1/3四面体 四面体体积的 关键 一 是 巧妙 换底 ,换底的原则是该底面三角形的面积及该底上的高易求 ;二 是转换求高 :寻找或作出过顶点且与底面平行的直线 ,并着意于该直线与底面垂直平面的交点 ,易于作高 ,或利用比例 转换求高 . 同 类 试题 : 1.(2014 年 北京 高考试题 )如图 ,在 三棱柱 侧 棱 垂直于 底面 , C=2,E、 F 分别 为 中 点 . ( )求证 :平面 平面 ( )求证 :平面 ( )求三棱锥 体积 . 2.(2011年安徽高考试题 )如图 ,平面 点 , 是正三角形 .( )证明 :直线 ( )求棱 锥 体积 . 子题类型 :(2009 年安徽高考试题 )如图 ,边长为 2 的正方形 ,直线 l 与平面 行 ,是 l 上的两个不同点 ,且 D, F是平面 的两点 ,和 与平面 直 .() 证明 :直线 EF垂直且平分线段 () 若 00,求 多面体 体积 . 解析 :( )由 平面 设直线 EF交 M,由 D 平面 F 平面 平面 F; ( )(法一 )如图 ,设 点为 M,由 D, 00 D B,又 00 四棱锥 四棱锥 ,四面体 四面体 多面体 正四面体 2 ;(法 二 )过 E点作 别交直线 544 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 点 M、 N,过 F点作 别交直线 点 S、 K,则 多面体 分割为一个直三棱柱 两个四棱锥 此求解 ;(法 三 )作平面 平面 直线 l 于点 P,作平面 平面 平面 N,则 多面体 补形为一个直三棱柱 此求解 . 点评 :能割善补 是求不规则几何体体积的 根本 手段 ,能割善补的 目标是 把 不规则几何体 切 割 或 补形 成 规则几何体 . 同 类 试题 : 3.(2002 年 北京 高考试题 )如图 ,在多面体 上、下底面平行且均为矩形 ,相对 的侧面与同一底面所成的二面角大小相等 ,侧棱延长后相交于 E,F 两点 ,上、下底面矩形的长、 宽分别为 c,d 与 a,b,且 ac,bd,两底面间的距离为 h. ( )求侧面 切值 ; ( )证明 : ( )在估测该多面体的 体积时 ,经常运用近似公式 V 估 =S 中截面 h 来计算 =6h(S 上底面 +4S 中截面 +S 下底面 )估 与 并加以证明 (注 :与两个底面平行 ,且到两个底面距离相 等的截面称为该多面体的中截面 ). 4.(2007 年 江西 高考试题 )如图是一个直三 棱柱 (以 被一平面所截 得到的几何体 ,截面为 11C1=l. 00,. ( )设点 O 是 中点 ,求证 :平面 ( )求 此几何体的体积 . 子题类型 :(2014 年 安徽 高考试题 )如图 ,四棱柱 底面 梯形 , 1,C, , 的交点为 Q.( )证明 : ( )求此四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积之比 ; 解析 :( )延长 B 交于点 P,则 B:C:2 2 Q 为 ( )设底面 面积为 S,侧棱长 h,则 4S,31S,h 多面体 体积 =三棱锥 体积 体积 = 31341S2h=187多面体 体积 =811上下两部分的体积之比 =1811871:7; 点评 :求体积比 ,不一定需要求出每个几何 体的体积 ,可以把体积的 比看成一整体来加以处理 ;整体 分析法 的 实质是 利用体积比的性质 ,由此 可有效避免繁琐的计算 ,而使问题迅速获解 . 同 类 试题 : 5.(2010 年 山东 高考 试题 )在如图所示的几何体中 ,四边形 正方形 ,平面 D E、 G、 F 分别为 中点 ,且 D=2 )求证 :平面 平面 ( )求三棱锥 四棱锥 体积之比 . 6.(2013 年 重庆 高考试题 )如图 ,四棱锥 ,底面 A=2 3 ,D=2, .( )求证 :面 )若侧棱 的点 F 满足 三棱锥 体积 . 7.(2012 年 辽 宁 高考试题 )如图 ,直三棱柱 B C , 00, C= 2 ,=1,点 M,N 分别为 A B 和 B C 的中点 . ( )证明 :面 A ; ( )求三棱锥 A 体积 . 8.(2014 年 江西 高考试题 )如图 ,三棱柱 1B ( )求证 :( )若 ,3 ,7 ,问 三棱柱 并求此最大值 . B 2009 年课标高考试题 )如图 ,在三棱锥 , 等边三角形 , 00. 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 545 ( )证明 : ( )若 ,且平面 面 三棱锥 积 . 10.(2008 年课标高考试题 )如下的三个图中 ,前 面的是一个长方体截去一个 角所得多面体的直观图 ,它的正视图和侧视图在下面画出 (单位 : ( )在正视图下面 ,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图 ; ( )按照给出的尺寸 ,求该多面体的体积 ; ( )在所给直观图中连结 ,证明 :面 11.(2012 年课标高考试题 )如图 ,在三棱 柱 侧棱垂直底面 , 00,C=21 是棱 ( )证明 :平面 平面 ( )平面 求这两部分体积的比 . 12.(2015 年课标 高考试题 )如图 ,长方体 6,0,点 E,F 分别在 1 1F=,F 的平面 与此长方体的面相交 ,交线围成一个正方形 . ( )在图中画出这个正方形 (不必 说明画法和理由 ); ( )求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 . ( )由 底面 平面 平面 平面 )取 中 点 D,则 平面 )三棱锥 体积 =33. ( )分别取 F 的中点 M,N,分别取 D 的中点 S,T,则 行且等于 N 平行且等于 行且等于 )因 面 平面 直 平面 棱锥 体积 =23. ( )过 垂直平面 ,交底面于 1G 足为 G,如图 :由 平面 面 00 B 过 1H 足为 故四边形 1(又 h ; ( )由 面 面 交线 ( )由 S 上底面 = 下底面 = 中截面 =22 =6h(2222dbh=12h(0 VV 估 . ( )取 ,则 1(3= 四边形 平行四边形 平面 平面 )(法一 )如图 ,过 面 2,12 V=三棱柱 四棱 锥 体积 =1+3122322=23; (法 二 )过 面 面 别交 1,N,则 V=三棱柱 四棱 锥 积 =23. ( )由 平面 D 平面 平面 G、 F 分别为 中点 平面 平面 平面 )不妨设 ,则 D=2 1S 正方 形 8;由 面 为点 P 到平面 距离 12 :4. ( )由 底面 由 D, 面 ( )由 3 ,三棱锥 高 =8111 7. ( )取 A B 的中点 P,由 点 M,N 分别为 A B 和 B C 的中点 A C ,B B 平面 面 A 面 A ; ( )由 三棱锥 A 体积 =三棱锥 体积 =三棱锥 体积 ;三棱锥 B N 546 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 的 体积 =三棱锥 C N 的 体积 =三棱锥 A 积 的 一半 =61;由 三棱柱 B C 的 体积 =1 三棱锥 A 体积 =21(1161. ( )由 1B 平面 ( )作 ,由 平面 平面 ,3 ,7 32;设 h,则 712h 三棱柱 积 V=h=21 7 2712 h h=2142 712 当 h=742,即 42时 ,三棱柱 积 V 最大 ,最大值为773. ( )由 等边三角形 B,又由 00 B;取中点 D,则 D 面 ( )作 ,由 E;又由 平面 面 E=21 面积 S=2;由 面 三棱锥 积 V=31S 8. ( )俯视图如图 ;( )该多面体的体积 V=V 长方体 棱锥 =3284( )由 E,G 分别为 A A,A D 的中点 平