14_5042183_15.正方体模型的解题功能

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 正方体模型的解题功能 模型 解题法 之 四 以 正方体 的 4 个顶点 为顶点的四面体有正四 面 体 、 直角四 面 体 等四种 ,而以 以 正方体 中的特殊点 为顶点的多面体 又有多种 ,正方体 模型的解题功能在解决这些 几何体的 有关问题上得到充分体现 ;实质上 ,正方体 中蕴涵着 丰富 的线面位置关系、各种角度和 距 离 ,正方体 模型在解决这类问题上还有用场 . 母题结构 :( )在 正方体 2 条棱 中 与棱 平行的有 条 ;垂直的有 条 ; 异面 的有 条 ; ( )在 正方体 直线 1C 所成角的大小为 ;点 A 到直线 与 正方体 棱长 的比值为 ; 到平面 离的比值为 ; ( )若正四面体的棱长为 a,则 : 正四面体的 外接球的半径 R=46a; 与正四面体的六条棱都相切 的 球的半径 r=42a. 解 题 程序 :( ) 平行的有 3 条 ;垂直的有 8 条 ; 异面 的有 4 条 ;( ) 600; 2 ; 3; ( )作 正四面体的 外接正方体 ,则正方体 的 棱长 b=22a; 正四面体的 外接球的半径 R=23b=46a; 与正四面体的六条棱都相切 的 球的半径 r=21b=42a. 子题类型 :(2012 年 上海 春招 试题 )已 知空间三条直线 l、 m、 n,若 l 与 m 异面 ,且 l 与 n 异面 ,则 ( ) (A)m 与 n 异面 (B)m 与 n 相交 (C)m 与 n 平行 (D)m与 n 异面、相交、平行均有可能 解析 :在 正方体 取 直线 m=BC,n=m与 n 异面 ;当 m=BC,n= ,m与 n 相交 ;当 m=BC,n=m 与 n 平行 D). 点评 :对于线面位置关系的判断题 ,可以利用正方体模型分析判断 ;解题策略是 :构造正方 体 ,在正方体中寻找构造满足条 件 的直线与平面 ,由此分析判 断 . 子题类型 :(2007年 陕西 高考试题 )已知平面 平面 ,直线 m ,直线 n ,点 A m,点 B n,记点 A,B 之间的距离为 a,点 A 到直线 n 的距离为 b,直线 m 和 n 的距离为 c,则 ( ) (A)b c a (B)a c b (C)c a b (D)c b a 解析 :构造 正方体 ,如图 ,由图知 c b (D). 点评 :对于 非几何体中的度量问题 ,可以 依托 正方体模型 ,在正方体中 构造满足条 件 的直线与平面 ,由此分析 求解 . 子题类型 :(2000 年全 国高中数学联赛 试题 )一个球与正四面体的六条棱都相切 ,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是 . 解析 :作 正四面体的 外接正方体 ,则正方体 的 棱长 =22a;由 球与正四面体的六条棱都相切 球 的直径 2R=正方体 的 棱长 =22a R=42a 球的体积 V=34 42 点评 :关于正四面体的外切与内接球的问 题 ,可 依托 正方体模型 ,巧妙解决 方体模型 的解题功能的体现 . 1.(2007 年 湖北 高考试题 )平面外有两条直线 m 和 n,如果 m和 n 在平面内的射影 分别是 m 和 n ,给出下列四个命题 : m n m n; m n m n ; m 与 n 相交 m 与 n 相交或重合 ; m 与 n 平行 m 与 n 平行或重合 ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题 )a,b,直线 ,与 a,b, ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数多 3.(2015 年 四川 高考试题 )如图 ,四边形 为正方形 ,它们所在的平面互相垂直 ,动 点 M 在线段 ,E、 F 分别为 中点 M 与 成的角为 ,则 最大值为 . 4.(2006年 北 京 高考试题 )平面 的斜线 于点 B,过定点 且交 于点 C,则动点 ) (A)一条直线 (B)一个圆 (C)一个椭圆 (D)双曲线的一支 5.(2010 年 重庆 高考试题 )到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 ,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 ( ) (A)直线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 6.(2006 年 第 17 届“希望杯”全国数学邀请赛 试题 )一个球与正四面体 的各个棱都相切 ,且球的表面积为 8 ,则正四面体的棱长为 . 7.(2006 年全 国高中数学联赛陕西 初赛试题 )用 6 根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架 ,铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为 包容此框架的最小球的半径为 21于 8.(2007 年华南理工 大学 保送生考试 试题 )已知 A、 B、 C、 D 是某球面上不共面的四点 ,且 C=2 ,C=2,此球的表面积等于 . 在 正方体 取 m=n=m =AB,n = 错 ;取 m=n=m =AB,n = 错 ;取 m=n=m =AC,n = 错 ;取 n=m =AB,n = 错 D). 在 正方体 取 a=AB,b=c=直线 与直线 设 直 线 ,则直线 a,b,c 都相交 D). 构造 正方体 如图 ,不妨设 正方体 的棱长为 4,取 ,作 ,设 HM=t, 则 2)1(20 t ,232t ,5 ;由 异面直线 F 所 成的角 = 补 角 22)1(2052)1(205)32(=2)1(2053;令t31=x(0x41),则 1836512 2. 构造 正方体 ,取 下底面为 平面 ,B 为一顶点 ,动直线 面 ,则动点 C 的轨迹是直线 A). 在 正方体 不妨设 正方体 的棱长为 1,取 互相垂直的异面直线 建立空 间直角坐标系如图 ,设 平面 M(x,y,0)满足 条件 ,作 1,P,则 M1(x,0,0),P(0,y,1);由 | |=| y2=D). 作 正四面体的 外接正方体 ,则正方体 的 棱长 =球 的直径 2R;由 球的表面积为 8 半径 R= 2 正方体 的 棱 长 =2 2 . 作 正四面