16_4256773_30.三弄函数不等式e^x≥x+1

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 三弄函数不等式 x+1 由 不等式 x+1 生成高考试题 的 视角 函数不等式 x+1 简单易证 ,不仅具有明显的几何意义 ,而且蕴涵着微积分的“以直代曲”基本思想 ,由她已生成一类绝妙的高考试题 ,我们 现在 关心的是 由她生成高考试题的 可能视角 . 母题结构 :( )求证 :x+1,当且仅当 x=0 时 ,等号成立 ; ( ) 当 x R 时 ,若 不等式 : 恒成立 ,则 a=1; 当 x 0 时 ,若 不 等式 : 恒成立 ,则 a 1. 母题 解 析 :( )令 f(x)=x+1),则 f (x)=当 x (- ,0)时 ,f (x)0 f(x)在 (0,+ )上单调递增 ;综上 ,x)=f(0)=0 f(x) 0 x+1,当且仅当 x=0时 ,等号成立 ;不 等式 x+1 的几何意义 是函数 y=y=x+1 的下方 ; ( ) 令 g(x)=)(x R),则 g (x)=当 a 0 时 ,g (x)0 g(x)在 (- ,0)上 递增 g(x)0时 ,g(x) 0 g(x) g(0) 当 x=0时 ,g(x)取得 最小值 ;由 g (x)= x= a=1; 令 g(x)=)(x 0),则 g (x)=当 a1 时 ,g(x)在 (0,单调递减 g(x)k 时 ,g(x)在闭区间 a,b上是减函数 ; ( )证明 :f(x)23. 解析 :( )由 g(x)=)+x g (x)=2=ex+又 由 2ex+2 2 当 g(x)在 R 上是增函数 ; ( )由 g(x)在闭区间 a,b上是减函数 当 x a,b时 ,g (x) 0 2ex+0;令 h(x)=2ex+ h (x)=2 h(x)在 (- ,单调递减 ,在 ( )上单调递 增 ,故只需取 k=h(a),h(b); ( )由 f(x)23 2ex+x)t+0 =4(ex+x)2-8( 0 ( 1;由 x+1 1 ( 1 f(x)23; 点评 :指数不等式 x+1不仅具有放缩功能 ,更重要的是把 指数式 的一次式 x+1;因此 ,她在证明有关 等式中 ,具有化繁为简 的关键作用 ;构造以 不等式 x+1为基础 的 证明 不等式 试题是高考的一个命题视角 . 不等式 恒成立 子题类型 :(2010 年课标高考试题 )设函数 f(x)=x( )若 a=21,求 f(x)的单调区间 ; ( )若当 x 0 时 ,f(x) 0,求 a 的取值范围 . 解析 :( )当 a=21时 ,由 f(x)=x(21f (x)=x+1)(由此列表如下 :由表知 ,f(x)在 (- , (0,+ )上 单调 递增 ,在 ()上 单调 递减 ; ( )当 x 0时 ,f(x) 0 当 x 0时 ,x( 0 当 x 0时 ,0 ;令 曲线 C:y=线 l:y=,则直线 l 与曲线 C 恒交于点 A(0,1),曲线 C 在点 A 处的切线 :y=x+1 a 1 a 的取值范围 是 (- ,1. 点评 :以 指数不等式 x+1 为背景的不等式恒成立问题有 : 当 x R 时 , 恒成立 ,则 a=1; 当 x R 时 ,exx+则 b 1; 当 x 0时 ,恒成立 ,则 a 1; 当 x 0时 ,x+则 b 等式 ax+高考的一个重要命题视角 . 研究 函数性质 子题类型 :(2012 年 湖南 高考 理科 试题 )已知函数 f(x)=中 a 0. ( )若对一切 x R,f(x) 1 恒成立 ,求 a 的取值集合 ; ( )在函数 f(x)的图象上取定两点 A(x1,f(,B(x2,f(立 ？若存在 ,求 若不存在 ,请说明理由 . 解析 :( )令 ax=t,则 f(x) 1 et a=取值集合为 1; ( )由 k=12 12)()( xx =1212 xx ee g(x)=f (x)-k=xx ee ,则 g(e )( 12 -a(1,g( 122e )( 21 -a(1;当 x 0 时 ,由 exx+1 e )( 12 -a(10,e )( 21 -a(10 g(, 又 g (x)= g(x)在 (x1, 单调递增 存在 唯一 c (x1,使 得 g(c)=0 c= 12 12 当且仅当 ( 12 12 , ,g(0 存在 (x1,使 f (k 成立 ,此时 , ( 12 12 , 点评 :利用 指数不等式 x+1 可求含有 函数的取值符号 ,函数的单调性 (导函数的取值符号 )等 ,灵活运用 指数不等式 x+1是高考的一项要求 ,着意于 指数不等式 x+1 的 灵活运用 是高考的 又 一命题视角 . 1.(2014 年课标 高考试题 )设函数 f(x)=曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线为 y=e(2. ( )求 a,b; ( )证明 :f(x)1. 2.(2010 年全国高考试题 )设函数 f(x)=1( )证明 :当 x ,f(x)1( )设当 x 0 时 ,f(x)1 3.(2013 年 山东 高考试题 )设函数 f(x)=c(e=自然对数的底数 ,c R). ( )求 f(x)的单调区间、最 大值 ; ( )讨论关于 x 的方程 |f(x)根的个数 . 4.(2013 年课标 高考试题 )设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d)y=f(x)和曲线 y g(x)都过点 P(0,2),且在点 y=4x+2. ( )求 a,b,c,d 的值 ; ( )若 x ,f(x)kg(x) ,求 k 的取值范围 . 5.(2013 年 辽宁 高考 理科 试题 )已知函数 f(x)=(1+x)g(x)=3x+1+2 x 0,1时 , ( )求证 :1f(x)x11; ( )若 f(x) g(x)恒成立 ,求实数 a 的取值范围 . 6.(2012 年 湖南 高考 文科 试题 )已知函数 f(x)=中 a0. ( )若对一切 x R,f(x) 1 恒成立 ,求 a 的取值集 合 ; ( )在函数 f(x)的图象上取定两点 A(x1,f(,B(x2,f(1 (e2)exx;令 g(x)= g(x)=1+x) =g(需证 x,即 x+1. ( )当 x ,由 f(x)1(x+1)(1 x x+1; ( )当 x 0 时 ,f(x)=101f(x) 0 0 a 0;由 f(x)1()(1 x (1)+x 0;令 g(x)=()+x,则 g(0)=0,g (x)=1当 0 a21时 ,由 x+1 1g (x) a(1+12 0 g(x) g(0)=0;当 a21时 ,由 1g (x)= (1-a+(a(2 当 x (0,时 , g (x)x+1 x+1)2 x(2x g(x)在 (1,+ )上单调递增 ;又 x)=g(1)= 当 根的个数为 2. ( )由 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d) f (x)=2x+a,g (x)=ex(cx+c+d);由 曲线 y=f(x)和曲线 y g(x)都过点P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2 f(0)=g(0)=2,f (0)=g (0)=4 b=d=2,a=c+d=4 a=4,b=2,c=2,d=2; ( )由 ( )知 :f(x)=x+2,g(x)=2ex(x+1);当 x=f(x)kg(x) 成立 ;当 xf(x)kg(x) k)1(2 242xe xx x; 由 x+1)1(2 242xe xx x22)1(2 24 x (当且仅当 x=0时 ,取等号 ) k 1;当 x)=h(k k 的取值范围 是 1, ( )当 x 0,1时 ,由 1f(x) 1(1+x)(1+x)(1-x) h(t)=(1-t)et,t ,则 h (t) =当 t 0,1时 ,h (t) 0 h(x) h(0)=1;当 t 时 ,h (t) 0 h(h(t) h(0)=1 h( h(x) (1+x)(1-x)1f(x);又由 f(x) x11 (1+x)x11 (1+x)2 x+1 成立 ; ( )当 x=0 时 ,f(x) g(x)恒 成立 ;当 x (0,1时 ,f(x) g(x) a ( )知 (1+x)- x33+4( a ( )注意到 f(0)=1,所以 ,f(x) 1 f(x) f(0) 当 x=0 时 ,f(x)取得 最小值 ;由 f (x)= x= a=1 a 的取值集合 为 1