18_6354375_54.过二次曲线与直线交点的圆系方程

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 过二次曲线与直线交点的圆系方程 利用圆系方程妙 解 四点共圆 问题 二次曲线 G 上的 四点共圆 问题是高考的热点问 题 ,利用曲 线 系思想可妙解 四点共圆 问题 ,为此 ,构造 圆系方程 如下 . 母题结构 :设二次曲线 G:dx+ey+f=0与直线 mx+ny+p=0有两个不同的交点 ,则过这两点的圆系方程为 :(dx+ey+f)+ (mx+ny+p)(t)=0,这里 =22 nm , 母题 解 析 :一般情况下 ,圆与 二次曲线 有四个交点 ,不妨设过另外 两个交点的直线 方程为 :mx+qy+t=0,则过这四个交点的曲线系 :(dx+ey+f)+ (mx+ny+p)(mx+qy+t)=0,即 (a+ m2) (mq+nm)c+ nq)d+mt)x+(e+nt)y+(f+ 0,该 曲线系为 圆系 (mq+0,且 a+ m2=c+ q= =22 nm 圆系方程为 :(dx+ey+f)+ (mx+ny+p)(t)=0,这里 =22 nm , 由此还可得到 二次曲线 、 B、 C、 D 四点共圆 四边形 两条对角线和 两组对边 的倾斜角 分别 互补 ,特别的 ,考虑 四点共圆 的 极限情形 (如图 )有 :设点 A 是 圆 锥曲线 G 上 的定点但不是顶点 ,B、 C 是 G 上的两个动点 ,直线 斜率互为相反数 ,则直线 斜率为曲线 G 过点 定值 ); 子题类型 :(2011 年全国 高考试题 )已知 O 为坐标原点 ,F 为椭圆 C:2y=1 在 y 轴正 半轴上的焦点 ,过 F 且斜率为 - 2 的直线 l 与 C 交于 A、 B 两点 ,点 P 满足 0. ( )证明 :点 上 ; ( )设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明 :A、 P、 B、 Q 四点在同一圆上 . 解析 :( )设 A(x1,B(x2,由 F(0,1) 直线 l:y=- 2 x+1,与 2y=1联立得 :4 x1+2 2 (x1+2=1;又由 =0 P(1)在 C 上 ; ( )由 2 直线 OQ:y= 2 x A、 P、 B、 Q 四点 均 在曲线 G:2x2+ ( 2 x+ 2 0 上 ;由 2x2+ ( 2 x+ 2 (2+2 )1 x+ 2+2 =1 =曲线 G:42 为圆 A、 P、 B、 Q 四点在同一圆上 . 点评 :对于给定的圆锥曲线 G,巧妙选取两条斜率互为相反 数的直线 ,即可构造这 两条 直线与 圆锥曲线 G 的四个交点共圆问题 :证明四点共圆 ,或判断四点是否共圆？对于该类问题 :圆锥曲线 G:dx+ey+f=0,直线 l1:y=kx+m,直线 l2:y= n,则直线 锥曲线 G 的四个交点均在曲线 :dx+ey+f+ (m)(kx+0 上 ,当 =12k 曲线 为圆 ,由此即可 证明判断四点四点共圆 . 子题类型 :(1993 年全国高中数学联赛试题 )设 0b0),由题知 c=1,3 a=4, 椭圆 C:42x+32y=1; ( )由 椭圆 处的切线 :x+2,设直线 EF:x+ty+m=0,则 过 A、 E、 3 (x+2x+ty+m) =0 (3+ ) (2+t)4+2 (x+ (2m=0,该 曲线系为 外接 圆 (2+t)=0,且 3 + =4+2 t= =51 直线 EF:m=0 直线 斜率 k=21为 定值 . 点评 :如果 圆锥曲线 G 上一定点 M(x0, 两动点 A、 B,则直线 斜率互为相反数等价于直线 斜率与曲线 G 在点 M 的切线斜率互为相反数 ,由此可构造 四点共圆 的 第三类问题 :或由 直线 斜率互为相反数 ,求证 :直线定值 ;或由 直线 斜率与曲线 的切线斜率互为相反数 ,求证 :直线 斜率互为相反数 ;这互为逆命题的两 类问题 均可利用圆系方程巧妙解决 . 1.(2002 年河南、江苏高考试题 )设 A、 B 是双曲线 上的两点 ,点 N(1,2)是线段 中点 .( )求直线 方程 ; ( )如果线段 垂直平分线与双曲线相交于 C、 D 两点 ,那么 A、 B、 C、 D 四点是否共圆？为什么？ 2.(2005 年湖北高考试题 )设 A、 B 是椭圆 3x2+上的两点 ,点 N(1,3)是线段 中点 ,线段 垂直平分线与椭圆交于 C、 D 两点 . ( )确定的取值范围 ,并求直线 方程 ; ( )试判断是否存在这样的 ,使得 A、 B、 C、 D 四点在同一个圆上？并说明理由 . 3.(2014 年全国高中数学联赛湖北预赛 (高二 )试题 )设 A、 B 是双曲线 线 上的两点 ,点 N(1,2)是线段 中点 ,线段 垂直平分线交双曲线于 C、 D 两点 . ( )确定 的取值范围 ; ( )试判断 A、 B、 C、 D 四点是否共圆？并说明理由 . 4.(2014 年全国 (大纲 )高考试题 )已知抛物线 C:px(p0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且 |45|( )求 C 的方程 ; ( )过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点 ,若 垂直平分线 l 与 C 相较于 M、 N 两点 ,且 A、 M、 B、 N 四点在同一圆上 ,求 l 的方程 . 5.(2004 年 北 京 高考 理 科 试题 )如图 ,过抛物线 px(p0)上一定点 P(x0,)作两条直线分别交抛物线于 A(x1, B(x2, ( )求该抛物线上纵坐标为2 的距离 ; ( )当 B 的斜 率存在且倾斜角互补时 ,求0 21 的值 ,并证明直线 斜率是非零常数 . 6.(2011 年全国高中数学联赛试题 )作斜率为31的直线 l 与椭圆 C:362x+42y=1 交于 A,B 两 点 (如图所示 ),且 P(3 2 , 2 )在直线 l 的左上方 . ( )证明 : 内切圆的圆心在一条定直线上 ; ( )若 00,求 面积 . ( )设 A(x0,则 B(2由 2,2(2-(4=2 =0 点 =0上 ,同理可得 :点 B 也在直线 =0 上 直线 AB:=0; ( )由 直线 CD:(即 x+ A、 B、 C、 D 四点 均 在曲线 G:(2 ()(x+0,即 (2+ )+ )x+4 2=0 上 ,当 =曲线 G 为圆 :(x+3)2+(=40 A、 B、 C、 ( )由 点 N(1,3)是线段 点 N(1,3)在椭圆内 3+32= 的取值范围是 (12,+ );设 A(x0,则 B(2由 3 ,3(2+(6= x0+ 点 A 在直线 x+ 上 ,同理可得 :点 B 也在直线 x+=0 上 直线 AB:x+; ( )由 直线 CD: =0 A、 B、 C、 D 四点 均 在曲线 G:(3x2+t(x+)=0,即 (3+t)(1-t)0 上 ,当 = ,曲线 G 为圆 :x2+y2+0 A、 B、 C、 D 四点共圆 . ( )设 A(x0,则 B(2由 2 ,2(2-(4= =0 点 A 在直线 =0 上 ,同理可得 :点 B 也在直线 =0 上 直线 AB:=0 直线 CD:x+;将 =0 代入 得 :+1)=0 4+4(2 +1)0 理 将 x+ 代入 得 : 0 的取值范围 是 () (0,+ ); ( )由 A、 B、 C、 D 四点 均 在曲线 G:(2+t()(x+0,即 (2+t)+t)0 上 ,当 t=曲线 G 为圆 :(x+3)2+(=4( +9) A、 B、 C、 D 四点共圆 . ( )设 Q(),代入 x0=|p;由 |45|p=45p=2 C:x; ( )由 F(1,0),设直线 AB:,直线 MN:x+ky+t=0,则过 A、 M、 B、 N 四点的曲线系 : (x+ky+t)=0,即 (1- k) t+k2),该 曲线系 为圆 (0,且 k=1- k k= 1, =21 直线 l:y= (还可求 直线 圆 :x2+t+1) 圆心 T(29t, (t+1);由 圆心 N:x+ky+t=0 上 t=直线 MN:x ). ( )当 y=2x=8p,又抛物线 准线方程为 x=抛物线定义得 所求距离 =8p+2p=85p; ( )由 01 01 +02 02 =0012 yy p +022 yy p =00 21 = 抛物线 点 P(x0,切线 :,设直线 AB:t=0,则 过 A、 B、 P 三点的曲线系 : (t)=0 p+1+ y0)y2+p (t+2y+ ,该 曲线系为 外接 圆 (p+0,且 + k= ( )设 直线 PA:y=B:y=中 ,3 2 k1+2 ,3 2 k2+2 ,则过 A、 B、 P 三点的曲线系 :46 (0 (4+ k1+k2)36+ ) (m1+m2) ,该 曲线系为 外接 圆 (k1