19_3501692_15.圆的极点与极线

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 圆的极点与极线 极点与极线 的 位置和性质 已知圆锥曲线 G:dx+ey+f=0,则称点 M(x0,直线 l:f=0 是圆锥曲线 G 的一对极点和极线 ;其中 ,圆的极点与极线是高考的一个命题点 . 母题结构 :圆 O:x2+y2=(x0,极线 l: 圆心 O 到 极线 l 的距离为 d): 当点 M(x0,圆 O 上时 ,极线 l 是圆 O 在点 M 处 的 切 线 ,且 |OM|d= 当点 M(x0,圆 O 外 时 ,极线 l 是过点 M 作圆的切线时两个切点的连线 点弦 ),且 |OM|d=当点 M(x0,圆 O 外 时 ,极线 l 是圆 O 在 过点 M 的 弦 两端点 A,B 处 的切线 交点轨迹 ,且 |OM|d=母题 解 析 :由 | 2020 ,d=20202 |OM|d= 略 ; 设 A(x1,B(x2,则 切线 MA:B: 切线 点 M(x0, 直线 AB: 极线 l; 设 P(x1,则 切点弦AB: 切点弦 点 M(x0, 点 P 在 极线 l: 平移可得任意圆 的极点和极线 的位置和性质 . 子题类型 :(2009年华南理工大学保送生考试试题 )已知圆 O:x2+y2= P(a,b)(0)是圆 过点 最短的弦在直线 直线 么 ( ) (A) 相交 (B) 相切 (C) 相离 (D) 相离 解析 :由 垂径定理知 ,因 直线 O 的极 点 Q(b,则 由点 P(a,b)(0)在 圆 O 内 点 Q 在 圆 O 内 直线 相离 D). 点评 :若点 径为的 圆 O(圆心为 O)的极线为 l,设 圆心 d,则 :线 l,且 |OM|d=此可得 : 极线 极线 极线 子题类型 :(2013年 山东 高考试题 )过点 (3,1)作圆 (+的两条切线 ,切点分别为 A,B,则直线 ) (A)2x+ (B)2 (C)4 (D)4x+ 解析 :由母题知 ,直线 点 (3,1)关于 圆 (+ 的 极线 (31 y=1 2x+A). 点评 :圆 G:x2+y2+dx+ey+f=0关于 点 M(x0,极线 l:f=0;圆 G:(+(= M(极线 l:( G:(+(=于 点 M(a+b+的极线 l:(r. 子题类型 :(2011 年全国高中数学联赛河北 预赛试 题 )如图 ,已知 A、 B 是圆 x2+ 与 x 轴的两个交点 ,P 为直线 x=4 上的动点 ,圆的另一个交点分别为 M、 N, 求证 :直线 定点 . 解析 :设 P(4,t),则直线 PA:y=6t(x+2) t=0,直线 PB:y=2t( ,因过直线 圆的交点的曲线系为 :x2+ (t)(0 (1+ t2)1+12 ) ,该曲线系退化为直线 AD:y=0与直线 =曲线系 :yt8 x+(10 直线 MN:1过定点 (1,0). 点评 :本 题 的实质是求 直线 x=4关于圆 x2+的 极点 ;由 直线 x=4,即 1 x+0 y=4 直线 x=4关于圆 x2+极点为P(1,0),即直线 定点 P(1,0);由极点写极线是容易的 ,由 极线 找 极点 ,则需把 极线 改写为 “ 原始形式 ” ,写出 极点 . 1.(2013 年 陕西 高考试题 )已 知点 M(a,b)在圆 O:x2+1 外 ,则直线 ax+ 与圆 O 的位置关系是 ( ) (A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)不确定 2.(1992 年 第三 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二 )试题 )从点 A(1)向圆 48x+4 作切线 ,则过切点的弦的方程 是 . 3.(2011 年 第二十二 届“希望杯”全国 数学邀请赛 (高二 )试题 )从直线 l:8x+4y=1 上的任意一点 P 作圆 O:x2+ 的两条切线 ,切点为 ,则弦 度的最小值为 _. 4.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二 )试题 )设 全集 I=(x,y)|x,y R,集合 A=(x,y)|1,x,y, R,则 . 5.(2009 年江西高考试题 )设直线系 M:(1(0 2 )存在一个圆与所有直线相交 ;存在一个圆与所有直线不相交 ;存在一个圆与所有直线相切 ; M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 (写出所有真命题的代号 ). 由 点 M(a,b)在圆 O:x2+1 外 |r=1 a2+ 圆心 (0,0)到直线 ax+ 的距离为 d=2211=r 直线与圆相交 B). 由母题知 ,过切点的弦 是 点 A(1)关于 圆 48x+4 的 极线 4=0. 设 P(8t),则 直线 8x+ 圆心 d=22)28(8 5 弦 2 3 . 因 P(在圆 O:x2+上 ,且在直线 l:1 直线 的切线 (x,y)|x2+. 因 P(2+在 圆 M:=1上 ,且在 直线系 M:(1 直线系 的切线 正确 ;由 以点 M(0,2)为圆心 ,半径为 2 的 圆与所有直线相交 正确