d6_3二阶常系数非齐次线性微分方程

目录 上页 下页 返回 结束 定理 : 是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 数 ) 是该方程的通解 .则二、线性齐次方程解的结构 例复 习(二阶线性微分方程 )时 , 称为非齐次方程 ; 时 , 称为齐次方程 .一、二阶线性微分方程概念 目录 上页 下页 返回 结束 三、常系数二阶线性齐次微分方程的通解 :特征方程 :实根 特 征 根 通 解目录 上页 下页 返回 结束 1. 求方程 的通解 .方程的通解为课堂练习2. 求方程 的通解 .方程的通解为目录 上页 下页 返回 结束 四、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时 , 物体处于 平衡状态 , 例 4. 质量为 m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上 ,力作用下作往复运动 ,解 :阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开 ,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点 ,建立坐标系如图 . 设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况 .弹性恢复力物体所受的力有 :(虎克定律 )成正比 , 方向相反 .建立位移满足的微分方程 .目录 上页 下页 返回 结束 据牛顿第二定律得则得有阻尼 自由振动方程 :阻力位移满足定解问题 :目录 上页 下页 返回 结束 方程 :特征方程 : 特征根 :利用初始条件得 :故所求特解 :方程通解 :1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )目录 上页 下页 返回 结束 解的特征 :简谐振动 A: 振幅 , : 初相 , 周期 : 固有频率 (仅由系统特性确定 )目录 上页 下页 返回 结束 方程 :特征方程 :特征根 :小阻尼 : n k临界阻尼 : n = k 解的特征解的特征解的特征目录 上页 下页 返回 结束 小阻尼自由振动解的特征 : 由初始条件确定任意常数后变形运动周期 : 振幅 : 衰减很快 ,随时间 t 的增大物体趋于平衡位置 .目录 上页 下页 返回 结束 大阻尼解的特征 : ( n k )1) 无振荡现象 ; 此图参数 : 2) 对任何初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置 .目录 上页 下页 返回 结束 临界阻尼解的特征 : ( n = k )任意常数由初始条件定 , 最多只与 t 轴交于一点 ; 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置 .2) 无振荡现象 ;此图参数 : 目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数非齐次线性微分方程 第六节一、二、第六章 （略）目录 上页 下页 返回 结束 一、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解 , Y (x) 是相应齐次方程的通解 ,定理 1.则是非齐次方程的通解 .证 : 将 代入方程 左端 , 得目录 上页 下页 返回 结束 是非齐次方程的解 , 又 Y 中含有两个独立任意常数 ,例如 , 方程 有特解对应齐次方程 有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式 ,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法目录 上页 下页 返回 结束 一、 为实数 ,设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 .(1) 若 不是特征方程的根 , 则取从而得到特解形式为Q (x) 为 m 次待定系数多项式目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若 是特征方程的 单根 , 为 m 次多项式 , 故特解形式为(3) 若 是特征方程的 重根 , 是 m 次多项式 ,故特解形式为小结 对方程 ,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时 ,可设特解目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 的一个特解 .解 : 本题 而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为 代入方程 :比较系数 , 得于是所求特解为目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 的通解 . 解 : 本题 特征方程为 其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数 , 得因此特解为代入方程得所求通解为目录 上页 下页 返回 结束 为特征方程的 k ( 0, 1, 2) 重根 , 则设特解为（略）3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形 .常系数二阶线性非齐次微分方程的特解 :目录 上页 下页 返回 结束 1. 求方程 y a2 y ex 的通解 . （ P365, 1(2)） 课堂练习3. 写出方程 的特解形式 . 2. 求 特解： y4y5 y|x0 1 y|x0 0 . ( P366, 3(2) )( P365, 2(