专题二三角函数、解三角形、平面向量 (自动保存的)

1专题二 三角函数、解三角形、平面向量一、 三角函数1. 任意角的概念（1 ）角分正角、负角、零角。逆时针旋转是角增大的方向。（2 ）终边相同的角： 若角 与角 终边相同，则 （或可写成 。其中 ） 。360k2kkZ 对于任意角 ，总可以在 唯一找到一个角 与其终边相同。,) 根据上述结论，可以利用角 所在的象限判断任意角 所在的象限。 终边相同的角表示形式不是唯一的。（3 ）终边共线的角：若角 与 终边共线：则 （或可写成 。其中 ） 。180kkk其中若 为偶数，则 与 终边相同；若 为奇数，则 与 终边共线且反向；k故: 终边在 轴的角为 ；终边在 轴的角为 ；终边在直线 上xy1809yx的角为 ；终边在直线 上的角为 ；18045yx45（4 ）终边在坐标轴上的角： 若角 终边在 轴上，则 （或可写成 。其中 ） 。x180kkZ 若角 终边在 轴上，则 （或可写成 。其中 ） 。y92k 终边在坐标轴的角可表示为 ，其中 。2Z（5 ）象限角：终边在第一象限的角 ：3600kk终边在第二象限的角 ： 93618终边在第三象限的角 ： 1827终边在第四象限的角 ： 27注：终边在第四象限的角 还可以表示为： 9360k（6 ）已知角 所在的象限，要会求角 所在象限。 （用等分单位圆法记忆结论）若角 是第一、二象限角，则 在一、三象限；2若角 是第三、四象限角，则 在二、四象限；（7 ）区域角：区域角的写法：首先依逆时针方向由小到大找到一个区间角，再在两端加上 或 ，其2k中 。如： 的解为 （一、三象限角分线左侧区域） ；kZsincox524kxk的解为 （一、三象限角分线与二、四象限角分线构成的上下sincx34k对顶区域） ；（8 ）角的对称关系：若角 与角 的终边关于 x 轴对称，则角 与角 的关系： ， （ ） ；k360Z若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则角 与角 的关系： ， （ ） ；18若角 与角 的终边关于原点对称，则角 与角 的关系： ， （ 是奇数） ；2角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系： ， （ ） ；9036kkZ（9 ）弧度制我们把等于半径的弧长所对的圆心角叫做 1 弧度的角 1 弧度的角 5718规定正角的弧度数为正实数，负角的弧度数为负实数，零角的弧度数为 0。弧度与角度的换算： 弧度； 弧度360280弧长公式： 其中 为角 所对的弧长， 为弧度数， 为角 所在扇形的半径；lrlr扇形面积公式： 1Sr2、任意角的三角函数（1 ）任意角的三角函数定义设 是一个任意角，角 的终边上任意一点 ，它与原点的距离为 ( )，那么角(,)Pxyr0的正弦、余弦、正切分别是： ， ， 它们都是以角为自变量，sinrcosrtanyx以比值为函数值的函数（2 ）三角函数在各象限内的函数值符号口诀是：一全正、二正弦、三双切、四余弦。（3 ）三角函数线：把有向线段 、 、 称为角 的正弦线、余弦线、正切线；MPOAT注：三角函数线的长度等于相应三角函数值的绝对值，三角函数线的方向决定了相应三角函数值的符号。根据三角函数线可知：若 ，则 ； .(0,)2xsintax|sin|co1x根据三角函数线可求解一些简单的三角不等式的解；如： 的解为3sin2,3kkZ的解为1co4（4 ）同角三角函数关系：平方关系： ；商数关系：2sin1cosintaco（5 ）正弦、余弦的诱导公式（记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限）；21()si,si(nco为 偶 数为 奇 数 21()s,s(2inco为 偶 数为 奇 数说明：口诀中的“奇、偶”是指 中的整数 来讲的；象限是将 看成锐角时，kk3所在的象限；“变”指的是函数名的改变，正弦变余弦、正切变余切。2k（6 ）已知角 的某个函数值，求另外两个函数值：若已知 ，求 ：（按 在一四、二三象限两种情况讨论）sinmcos,tan若已知 ，求 ：（按 在一二、三四象限两种情况讨论）ci若已知 ，求 ：（按 在一四、二三象限两种情况讨论）ta（7 ）已知角 的某个函数值，求角 。如已知 ，求1sin2求锐角 ，令 ；（ ）1sin26判断 角 所在的象限；（ ， 在第三、四象限）si0求 内的 ；（在 内 或 ）0,2),)7126加上相应的周期，得到结果。 （解为 或 ）26kk（8 ）利用同角三角函数关系证明、化简、求值等（总的原则是由繁到简） ，常见技巧有：弦切互化（主要是切化弦） ；和积转化法：如： ；2(sin)1sincoco“1”的代换：如： 221ta(1tan)4关于 的齐次式：转化成关于 的问题；sin,co如：已知 ，求 ， 的值。ta2sin3co2sinicos利用诱导公式化简的思路是：负角化正角 正角化周角（ ） 周角化锐角；0,36)三角函数式的化简是一种不指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能的使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等。（9 ）熟记下面的结论：； ； ；sin0xksin12xksin12xk； ； ；co2coco； ； ；taxkta4xkta4xk或 ；sin2()或 ；co；t43、三角函数的图像和性质：三角函数的图像和性质 xAysin（A、 0）cosyAx（A、 0）定义域 R R R R值域 1,最大值1，最小值-11,最大值1，最小值-1R没有最值,周期性 2222奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数当 非奇非偶,0当 奇函数,当 非奇非偶,0当 偶函数,单调性2,k上为增函数； 23,k上为减函数（）Zk,1k；上为增函数1,上为减函数（ ）Zk2,上为增函数（） ，无减区Zk间 )(21),(Ak上为增函数； )(23),(Ak上为减函数（）Zk2(),kA上为减函数； 2(),kA上为增函数（）Zk对称性对称轴为 2x，对称中心为，(,0) kZ对称轴为，xk对称中心为(,0)k无对称轴，对称中心为(,)2 k对称轴是直线 )(2x凡是该图象与直线轴的交点都是该图(,0)k象的对称中心 头htp:/w.xjkygcom126.t:/j对称轴是直线 ()x凡是该图象与直线轴的交点都是该(,0)图象的对称中心 头htp:/w.xjkygcom126.t:/j渐近线 无 无 2xk Z无 无Zkx,21|且ytanxycosxysin5， ， sinyxcosyxtanyx注：i.求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图像ii. 或 （ ）的周期为)sin(xy)cos(xy02Tiii. 不是周期函数； 为周期函数（ ） ； 是周期函数； 为周inxycosxycos期函数（ ） ；，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： T.()5(),ffkRiv. 在利用三角换元求最值时，一定要注意正、余弦函数的有界性。（2）三角函数 的图像和性质xAysin当函数 （ ）表示一个振动时， 叫做振幅， 叫做周期，0,A2T叫做频率， 叫做相位， 叫做初相，1fT由 经图像变换得到 的图像：sinyxxAysin方法一：先平移 个单位，再做沿 轴的伸缩变换，最后做沿 轴的伸缩变换；y方法二：先做沿 轴的伸缩变换，再平移 个单位，最后做沿 轴的伸缩变换；注：不论那种形式的图像变换，都遵循“每次变换只针对一个 ”的变换原则。x会用“五点法”画出函数 在一个周期内的图像。xAysin综合应用(以 （ ）为例) ：xysi0,在熟记 的图像与性质的前提下，把 看成一个整体，代入公式解决问题ini.最值：令 ，求出相应的 ，则 ，同理可以求最小值。2kxmaxyAii.求对称中心： 令 ，求出相应的 ，则 为对称中心；x00(,)iii. 求对称轴： 令 ，求出相应的 ，则 为对称轴方程；iv.求单调区间：求单调区间之前一定要先将 化为正数，令 ，求出相应的单调增区间，同理可以求减区间；22kxk注：当 根据 求出的区间恰为单调减区间。02xkv.求周期：周期为 ，函数 周期为Tsin()yAxTvi.奇偶性：若 为偶函数 ， （即 时， 取得最大或最小值） xAysin2k0y若 为奇函数 ， （即当 时， .）x若 为偶函数 co若 为奇函数 ，syx2k（3）三角函数的最值问题6函数 的最值与 的正负有关；sin(0)yaxba形如 利用辅助角公式转化成 研究；co2sin()bx形如 通过将次转化成 研究；22iiscox2i(AB形如 或 可转化为以 或 为变量syxsiyxccosinx的二次函数研究；形如 可考虑换元法把三角函数问题转化成代数问题；inco,in如：求 （ ）的最值。()(s)a02a（答案： ， ）2mx1ymin1y形如 可转化成椭圆上的动点与定点连线斜率的最值问题。特别的是：cosinbd当 时可转化成圆上的动点与定点连线斜率的最值问题。0a4、两角和差的三角函数与三角恒等变换常用公式：两角和与差的三角函数公式：；sin()sicosin；co；tata1nt二倍角公式：；sin2icos；2222cos1sin；tat1其他公式：降幂公式： ； ；2coss2cosin辅助角公式： （这里的 ）in()ababtanb半角公式： s1cst2oin； ；21si(ic) 2(icos)； ；nssi；sio(inco)22求值问题（解题的关键在于把“所求角”用“已知角”表示）当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示成两个“已知角”的和或差的形式；如：已知 ， ，且 ， ，求 。 （3sin()51sin3(,)2(,0)2sin）3107当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差关系，然后再用诱导公式将“所求角”变成“已知角” ；常见的配角技巧： ， ， ，2()()，1()()2， ， ，()422， ，()()()()()给值求角时：i.已知正切函数值，选正切函数；ii.已知正弦、余弦函数值，选正弦、余弦函数。若角的范围是 ，选正弦、余弦均可；(0,)2若角的范围是 ，选余弦函数；若角的范围是 ，选正弦函数。(0,)(,如：已知 ，且 ， ，求 的值 （ ）1tan()21tan734二、 解三角形1. 正弦定理定理内容： （ 为 外接圆半径）2sinisinabcRABCABC正弦定理变形形式： ， ， ；2R2i ， ， ；siii2c :n:sabc能解决的问题：已知两角及任一边，求另一个角其它两边；已知两边及一边的对角，求另一边或其他两角 （注：这种情况中结果根据大边对大角可能有一解、二解、无解，应注意区分 ）2. 余弦定理定理内容： ， ，22cosabA22cosbaB22cosabC正弦定理变形形式：， ， ； coscAaBcsbC能解决的问题：已知三边，求各角；已知两边和它们夹角，求第三边或其他两角3. 中的常用结论：BC ； ； ；Asin()siABCco()cosABC ； ； ；22sin28在 中： ；ABCsinBabAB在锐角 中： ；cos2在 中： 成等差 ；,3射影定理： ， ， ;abscobaCcsoaBbA实际问题中的一些术语：i.仰角和俯角：视线与水平线的夹角，仰视则为仰角，俯视则为俯角；ii.北偏东 角：自正北方向按顺时针向东转到目标线时转过的角为 4. 三角形面积公式 （ 为 边上的高） ；12ABCSah ；1sinsisin2bcBbA （ 为 外接圆半径）24ABCaRCR C （ 为 内切圆半径） ；1()Sacr （ ） ；()ABCpbp1()2abc5. 三角形形状的判定判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一，即将条件化为只含角（或边）的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系（或三边的关系） ，结论一般为特殊的三角形。三、 平面向量1. 平面向量的概念和计算定义：既有大小又有方向的量称为向量，向量的大小称为向量的模。注：平面向量都是自由向量，所谓“自由向量”是指“向量经平移仍等于原向量” 。我们所研究的向量都与起点无关，当我们用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。2. 几个向量的规定：零向量：长度为零的向量，方向任意，记做： ；0单位向量：长度为 1 的向量，非零向量 的单位向量为 ；aa平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量， （规定： 与任何向量共线） ；相等向量：大小相等且方向相同的两个向量；（两个向量不能比大小）相反向量：大小相等且方向相反的两个向量；（规定： 的相反向量为自身） ；0注：有向线段和向量的区别： 有向线段有固定的起点，有大小和方向；向量可选任意点为起点，有大小和方向；向量平行与直线平行的区别：向量平行包括向量共线(或重合) 的情况，而直线平行不包括共线的情况因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合3、平面向量的线性运算9平面向量的加法运算平面向量的加法运算法则：平行四边形法则、三角形法则如下图平面 向量的加法运算律：交换律： ；结合律： ；ab()()abcb平面向量的减法运算平面向量的加法运算法则：三角形法则如右图：平面向量的减法的意义： ；()平面向量的数乘运算 也表示一个向量，当 时， 与 方向相同，当 时， 与 方向相反。a0a0a ；当 时， ；平面向量的数乘运算的运算律：； ； ；()()()b4、平面向量共线定理定理内容： （ ）与 共线 存在唯一的实数 ，使得 。a0bba共线向量：对于两个向量 ,i.存在常数 ，使得 （其中 ）kaii.存在不全为 0 的常数 ，使得mn0n直线型问题的向量表述： 直线 ，则 且 不共线；/ABCD/,ABCD 三点共线，则： ；,直线 ，则： ；直线 和直线 的夹角（或其补角）为 则：；cos三点 能构成三角形，则： 与 不平行；,ABCABC对于三角形 ,记： ， ， 则：cbacb对于中位线 有如下结论：DE1()2c对于共线三点 及线外一点 ,则,Oi.存在实数 使得： 其中 .1BAii.特别的，当 为 中点时， ,B,AC25. 平面向量基本定理定理内容：如果 ， 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意1e2向量 ，存在唯一一对实数 ，使 。其中，不共线的向量 ， 叫做表a112ae1e2示这一平面内所有向量的一组基底。 10平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。如果取与 轴正向同向的单位向量 ， 作为一组基底，那么对于平面上任一向量 ，,xyij a存在唯一一对实数 ，使 。则称有序数对 为 的坐标，记做 。axy(,)xya(,)xy6. 平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设 ， ， 则：1(,)axy2(,)bxy， ， ；1212(,)abxy 122(,abx 1(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标即：若点 ，则(,)Axy(,)Oxy若 ， ，则 ，12B2121(,)ABxy21()平面向量共线的坐标表示设 ， ，其中 ， 1,axy2(,)bxy0b121/0axy三点 ， ， 共线充要条件为：()A3(,)Cxy23311 ，22()ab 在 中，顶点 ， ， ， 重心 , 边上BC1,xy2(,)Bxy3(,)xy0()GxyBC的中点为 ， 则有以下三个常用结论：（注意三角形重心的性质）D ， 的坐标为 ， ， 2AG123123(,)A.7. 平面向量数量积定义： （其中 为 的夹角） ，规定：cosab,ab0a若 ， ，则1(,)xy2(,)xy12xy对于非零向量 ， ；0/b 平面向量数量积的几何意义： 等于 与 在 方向上的射影 的乘积，或abacosb与