出版社资源优化配置的线性规划模型

1出版社资源优化配置的线性规划模型【摘要】：本文讨论出版社的资源优化配置问题，即出版社在总书号数一定的条件下的书号分配问题，使出版社的利润最大。根据近五年来的数据进行筛选与分析，得出以分社为单位的书号分配方案，和以课程为单位的进一步细化书号分配方案。由于出版社在定价时保持对所有教材利润率同一，在此原则上制定教材单价，这就意味着利润是由销售总额唯一确定的，销售总额越大，利润也越大。问题转化为求销售总额的最大值的规划问题。由附件二（读者调查数据表） ，我们建立了一套市场竞争力评估体系：我们知道市场竞争力的关键因素有市场占有率、出版社在读者心目中的地位（以下简称地位） 、读者满意度等，于是把市场竞争力定义为以上三个关键因素的线性组合，这既符合实际又于数据相吻合。通过对历年市场占有率、地位和读者满意度的数据统计分析，我们发现市场占有率是关于年份的线性函数，而地位和读者满意度几年来没有明显变化，故将 2006 年的地位和读者满意度取为前几年的均值。由此我们得出市场竞争力也应是关于年份的线性函数。在销量关于书号数和市场竞争力的关系的确定问题上，通过对销量和书号数的统计分析，计算出五年来各个分社单位书号销量，用 Matlab 作图观察后，我们发现单位书号销量是随年份呈指数增长形势的，因此我们大胆推测单位书号的销量与市场竞争力是成指数型相关的。销售总额是各分社销售额的和，分社销售额是分社销量与分社均价的乘积，而分社均价我们定义成分社各课程均价的加权平均数，其权就是各课程的销量。2006 年的分社均价就取为前五年的分社均价的平均值。这样方便了销售总额的计算和模型的线性化求解，当然也可能产生一定的误差。为了对这种情况加以改进，我们又建立了更精确的数学模型，站在 A 出版社的高度直接分配每门课程的书号数，进一步细化分析。最后我们对模型的可行性，合理性，科学性进行了阐述，得到对模型的整体评价以及需改进之处。【关键词】：线性规划 海量数据 数据筛选 数据统计分析 数值模拟 市场竞争力评估 单位书号销量 分社均价一. 问题重述本题研究 A 出版社,重点关注九个分社 72 门学科教材的出版销售状况，在以五年市场调研数据为背景的情况下，预测 2006 年的市场信息,将总量一定的书号数(500)分配给各分社，使得出版社的利润最大化。其中书号数的分配主要以产生最大经济效益即利润的原则进行，而教材定价是建立在利润率不变的情况下的，因此可以认为利润的大小只决定于销售额的大小，而销售额等于课程销售量乘以课程均价，书本的实际销售量由总社分配给各个分社的书号2数决定，但计算方法没有明确给出。经分析，实际销售量是关于书号数和市场竞争力的函数，因此准确的找出这个函数以及市场竞争力的发展规律并正确预测出 2006 年的市场竞争力是决定分配书号数的关键问题。这需要对前五年的数据进行分析得出函数，以及市场竞争力的发展规律，求出出版社的书号数分配方案，使得 2006 年的出版社实际销售总额。二问题分析本题的目的是给出版社提出一个最优的方案，即确定分配给各个分社的书号数，使得出版社的利润最高。由于出版社在定价时保持对所有教材利润率同一，在此原则上制定教材单价，这就意味着利润是由销售总额唯一确定的，销售总额越大，利润也越大。问题转化为求销售总额的最大值的规划问题。以各个分社为单位，销售额是以销售量与价格的乘积来定的。价格在本题中是一个已知量，而销售量是关于书号数与市场竞争力的未知函数，在假设这个未知函数不根据时间的改变而改变的情况下，可根据五年的数据确定这个未知函数。市场竞争力是影响实际销售量的一个重要因素，它的准确与否与计算的准确度有莫大的关系。这需要基于问卷调查的数据评估出来，而市场占有率，A 社在读者心中的位置和其它因素都是市场竞争力影响因素。市场占有率是在各个分社的基础上，求出每年每个分社的出版物市场占有率，以计算每年各个分社的销售册数与相应类的出版社总销售册数之比，取值范围应在0,1之间，分析其市场占有率的发展规律，预计 2006 年市场占有率。A 社在读者心中的地位（以下简称地位） ，因地位是数字上的越低相当于其分数值越高，故基于计算和实际意义的考虑，取每年平均地位数据的倒数来计算，取值范围也在为0,1 之间，再以此估计第六年的情况。读者满意度是具体到各个分社的各个学科的，因市场占有率和地位的取值范围都在0.1之间，故读者满意度的计算：应先计算每位读者对教材内容、教材的作者、印刷及排版质量和教材价格的平均满意度，范围是0,5，再除以 5，使得其落在0,1之间，再计算所有读者的平均满意度，范围仍在0,1之间。以读者满意度的发展规律来预计2006 年的读者满意度。其它因素诸如学校地域性，读者的专业，课程的性质，教材获得方式，新旧书等，在实际计算出版社的市场竞争力问题上影响极其微弱，可忽略，并将大大降低模型的复杂程度。于是得出市场竞争力是关于市场占有率，地位和读者满意度的线性组合。最终预测 2006 年的市场竞争力。三符号说明：1， ：A 出版社每年的销售总额。123456(,)YY32， ： A 出版社分配给各个分社的书号数矩阵 。1219251259jiXX 3， ：2006 年 A 出版社分配给各个分社的书号数。66269(,)XX4， ：2006 年各分社申请的书号数。661269,5，Z = = ：第 j 年第 i 个分社的市场竞争力。ji119225159Z 6， ：第 j 年第 i 个分社的市场占有率。21129595jiP 7， ：第 j 年第 i 个分社出版物的平均价格。1219261269jiR 8，M：A 出版社的总书号数，经计算 M=500。9， ：各出版社计划的准确度。129,K10， Q：A 出版社在读者心目中的地位，用排名平均数的倒数。11， ：读者对各个分社的平均满意度。1219261269jiB 12， ：第 j 年第 i 个分社的实际销售量。1212955jiyyy 13， ：2006 年每个分社的销售量。61629,yy414， ：第 j 年第 k 门课程的实际销售量。121,72,515,72jkyyyy 15， ：2006 年第 i 个分社的人力资源工作能力。29(,)N四模型假设：1，读者调查数据基本可信。2，学校地域性，读者的专业，课程的性质，新旧书等因素对评估出版社的影响微弱，可以不做考虑。3，2006 年的总书号数与前五年是一致的。4， 分社销量 与 及 的函数关系式 每年是不变的。jiyjiXjiZ(,)jijiyfXZ五模型的建立：一， 销售额函数的建立：由于 20012005 年的各个分社的销售量 y 已经给出，各个分社的出版物平均价格R 可以得到，其计算方法为以分社为单位，相应课程的销售量与课程的均价乘积求平均值，即第 j 年第 i 个分社出版物的平均价格，k1ji jkijRyRy分 社 的 课 程2006 年的平均价格 在对每年平均价格数据的分析上得出尽可能准确的估计。6故第 j 年的销售额 为第 j 年各分社销售量 与第 j 年分社的课程平均价格 的乘jYjyjR积的和，即销售额 1t 2jjjj129=yR,y,jjjR 从而得出 。12345(,)YY5本题中 2006 年的销售总额 61t 26616296Y=yR,y,R 二， 销量函数的建立：从销售额的计算中，我们知道分社销量函数的确定是至关重要的。而分社销量是与分社分配得到的书号数 以及分社的市场竞争力 相关的，确定分社销jiyjiXjiZ量 与 及 的函数关系式 也必须基于 20012005 年的分析上。jijiXjiZ(,)jijiyfZ由于分社销量 与分社分配得到的书号数 是已知的，故问题转化为市场竞争力jiyji与分社销量 与分社分配得到的书号数 的函数关系式 ，由假ji ji jiX(,)jijijiZvyX设 4 可知 也是不随年份的变化而变化的。(,)jijijiZvyX三， 市场竞争力函数的建立：市场竞争力 是根据读者调查数据的分析上，是三个关键因素市场占有率 ，ji jiP读者满意度 B， A 出版社在读者心目中的地位 Q 的线性组合，即，再由 可以确定出权1231230)jiijijijiiZrPrQr,(， ， (,)jijijiZvyX，得出市场竞争力函数，由于函数不随年份而改变的，所以 2006 的各23,jiji个分社的市场竞争力可以做出预测。四， 模型建立 1： 69t619616 66Max Y=yR50s.t ,(2,9) ,2,(1,)iZiiiiiiiXeXN 是 正 整 数6六模型的求解一：数据的准备与分析：从附件二读者调查表中得到市场占有率，A 社在读者心目中的地位，读者满意度等市场竞争力的关键因素，数据如下：1， 市场占有率 P：因 A 社关心的只有 172 门，故市场占有率的计算方法 2如下：先在“Q2a课程名称（Q2a ） ”中筛选出 172 门课程的数据，然后在“Q2c 学科类别(Q2c)”中分别筛选出九个学科列别，统计 “Q2d 使用册数(Q2d) ”的总册数，这就是所有出版社的此学科的总销售量，再从“Q2g 出版社代码(Q2g) ”筛选“P115”统计出 A 出版社的销售量，则，j ijiP第 年 学 科 类 （ 出 版 社 第 分 社 ） 的 销 售 量第 年 全 部 出 版 社 相 应 学 科 类 的 总 销 售 量就得到了第 j 年第 i 分社的市场占有率。数据如下：分社一 分社二 分社三 分社四 分社五 分社六 分社七 分社八 分社九2001 0.1399 0.2619 0.5586 0.0594 0.3350 0.5785 0.4362 0.8598 0.73402002 0.1472 0.2735 0.5735 0.0622 0.3442 0.6099 0.4894 0.8785 0.76602003 0.1644 0.2943 0.6036 0.0616 0.3495 0.6637 0.4894 0.8879 0.76602004 0.1663 0.3059 0.6190 0.0722 0.3684 0.6861 0.5319 0.8785 0.86172005 0.1724 0.3198 0.6366 0.0826 0.4027 0.7758 0.5851 0.9065 0.9574按列观察发现每个分社的市场占有率基本都是每年递增的。求其一阶微分如下：分社一 分社二 分社三 分社四 分社五 分社六 分社七 分社八 分社九0.0074 0.0116 0.0149 0.0028 0.0092 0.0314 0.0532 0.0187 0.03190.0172 0.0209 0.0301 -0.0006 0.0053 0.0538 0 0.0093 00.0018 0.0116 0.0154 0.0106 0.0189 0.0224 0.0426 -0.0093 0.09570.0062 0.0139 0.0177 0.0104 0.0343 0.0897 0.0532 0.0280 0.0957其二阶微分如下分社一 分社二 分社三 分社四 分社五 分社六 分社七 分社八 分社九0.0098 0.0093 0.0152 -0.0035 -0.0039 0.0224 -0.0532 -0.0093 -0.0319-0.0153 -0.0093 -0.0147 0.0112 0.0137 -0.0314 0.0426 -0.0187 0.09570.0043 0.0023 0.0023 -0.0002 0.0153 0.0673 0.0106 0.0374 0.0000对每个分社分别观察其微分，发现二阶微分都有正负值并且数据接近于 0，一阶微分也非常接近，故猜测每个分社的市场占有率是关于年份的线性函数，采用最小二乘法计算求出各个分社关于年份的函数如下：， ，10.849.1328jPj20.1483.2jPj30.215.378jPj7， ，40.563.05jPj0.1596.321jPj60.479.521jPj， ，74j 8.4.8j 963j由此预测 2006 年的各个分社的市场占有率如下：61P6263P6465P667P6869P0.183254 0.33558 0.6587 0.084568 0.40786 0.80404 0.60854 0.910276 0.979862. A 社在读者心目中的地位 B：统计附件二问卷调查数据中的“Q1 A 出版社在您心中的位置（Q1 ） ”得出每年 A社在读者心目中的平均地位数据如下，2001 2002 2003 2004 200530102 2.5522 2.5533 2.5520 2.5518取其倒数得到 B 值如下：2001 2002 2003 2004 20050.3322 0.3918 0.3916 0.3919 0.3919从表中可以明显看出 20022005 年的数据基本持平不变，但 2001 年的数据有所差别，可能是 2001 年 A 出版社刚出道，日后渐进稳定，故预测 2006 年的 应取6B20022005 年的均值 60.3917B3.每年每个分社的读者满意度 Q：统计附件二读者问卷调查表中的“Q2l:对该书的满意度评价 ”的平均得分再除以总分 5，得到 Q 如下，分社一 分社二 分社三 分社四 分社五 分社六 分社七 分社八 分社九2001 0.3957 0.4048 0.4002 0.4500 0.5994 0.6002 0.6016 0.5991 0.57502002 0.5752 0.5649 0.5708 0.5667 0.5693 0.5605 0.5628 0.5570 0.60372003 0.5654 0.5646 0.5647 0.5670 0.5666 0.5614 0.5824 0.5692 0.57022004 0.5646 0.5744 0.5707 0.5674 0.5676 0.5877 0.5447 0.6042 0.55802005 0.5674 0.5667 0.5690 0.5680 0.5684 0.5585 0.5452 0.5682 0.5787对其直接观察可以看出分社一到分社五，2001 年的数据与 20022005 年的数据相8比有明显异常，而 20022005 年的数据却相差不大，故 取61263465,Q20022005 年的数据均值。分社六到分社九的数据按年份波动，取 为7869,Q2001 2005 年的数据均值。2006 年各个分社的读者满意度 如下：661Q6263Q6465Q66768690.5681 0.5677 0.5688 0.5673 0.5680 0.5737 0.5673 0.5795 0.57714，分社均价：由于销售额是各个分社销售量与相应分社的教材均价的乘积，而分社的分社均价应等于课程的销量与课程均价的乘积的和与分社销量的商，根据附件三的课程销量，附件四的课程均价得到每年每个分社的分社均价数据表如下：分社一 分社二 分社三 分社四 分社五 分社六 分社七 分社八 分社九2001 25.8942 29.3284 23.8947 30.0625 17.4437 24.4493 24.1634 24.4757 26.24692002 25.8989 29.2741 23.9006 29.7631 17.3680 24.1085 24.1491 24.6916 26.51102003 25.8410 28.9136 23.8093 29.7738 17.8541 23.7971 24.2340 24.5114 26.63982004 25.9321 28.9883 23.8201 28.9501 17.3874 24.5559 24.2928 24.5930 26.94572005 25.8339 29.0554 23.8582 29.2945 17.5923 24.3632 24.1021 24.6539 26.7571取每个分社 5 年来的课程均价的均值为 2006 年各个分社的分社均价分社一 分社二 分社三 分社四 分社五 分社六 分社七 分社八 分社九25.88 29.119 23.8566 29.5688 17.5291 24.2548 24.1883 24.5851 26.6201二：销量函数的求解：销量函数 得出 ，因 是已知量，从附件(,)jijiyfXZ(,)jijijivyX,jijiy3 得到每年每个出版分社的实际销售量表如下：2001 2002 2003 2004 2005分社一 9843 10292 13363 16749 20636分社二 18752 19605 26449 33899 39716分社三 194518 202077 238052 309841 390024分社四 14490 16082 19488 25961 33515分社五 99522 115423 137233 180784 2169249分社六 10714 12548 15754 19020 25977分社七 3655 3985 5073 6564 8409分社八 7054 8055 9823 11715 15434分社九 5541 6322 7313 9825 13934从附件 4 得到每年每个出版分社的实际获得的书号数表如下：2001 2002 2003 2004 2005分社一 64 69 77 69 73分社二 37 39 43 39 41分社三 147 148 153 150 146分社四 95 87 77 83 85分社五 44 48 42 50 44分社六 40 42 40 38 39分社七 24 25 20 17 19分社八 22 21 23 27 27分社九 27 21 25 27 26我们假设实际销售量和分得的书号数成正比例关系，则 反映了单位书号数的jiyX销售量，通过对五年数据的分析以及画图(以下给出其中两个的插值图)1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 512014016018020020240260t1 vs. tfit 11 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52503035040450505060650 t1 vs. tfit 1可见，我们发现 关于年份成指数增长关系，根据假设 ，这很jiyX (,)jijiyfXZ可能是因为市场竞争力 逐年增长的原因造成的。因为市场竞争力jiZ，由于市场占有率是关于年份的线性函数，故市场竞争力123jiijijijZrPBrQ10也是关于年份的线性函数，因此 关于 成指数关系，据此设123jiijiiZrPBrQ jiyXjiZ* MERGEFORMAT (1) 123jiZjiijiijiyerPBrQkb下面确定各个参数：五年的市场占有率 已计算得到， 。常量 B 和 取五年数据的平均值得到。由 (1)jiPi式得 123ln()jiiiiiyrkjbrQX可由五年数据计算得到，则 、 和 也可由最小二乘法线性拟合得到，经计lnjiyX1ir2i3i算得到第 j 年每个分社的市场竞争力评估公式如下：,1110.7.8.69jjZPBQ222.43.3.7jj,3339.07.0.649jj4442.1.1.7jjZPBQ,555.3.0.263jj6664.9.7.jj,7778.0.41.2jjZPBQ81088 86.42.563.5jj ;99972.63jj由这些评估公式来评估 2006 年各个分社的市场竞争力如下：分社一 分社二 分社三 分社四 分社五 分社六 分社七 分社八 分社九115.7782 7.0561 8.0015 6.2287 8.6494 6.698 6.4421 6.2327 6.4113再由销量函数 123jiZjijijiijiijiiiyXerPBrQkb可以得到 2006 年各个分社的销量。三，2006 年的 A 社的销售总额的确定：A 社的销售总额应等于各个分社的销售额的和，而各个分社的销售额应等于分社销售量与相应的分社均价的乘积，得总销售额为 961iiY四，问题的解答：6999661119616Max =50s.t ,(2,9) ,iZiii iiiiiYyRXeXN 书号数初值取为 2006 年申请书号数的乘以各个分社的正确度。由于市场竞争力 由上已确定，是确定的数，故此规划为线性整数规6i=1,29Z划，通过用 Matlab 编程 3（程序见附录）求解得 2006 年 A 出版社分配给各个分社的书号数如下：分社一 分社二 分社三 分社四 分社五 分社六 分社七 分社八 分社九55 66 120 59 72 68 20 20 20由此得到的销售额为 72.15380七对模型的一步细化讨论12由于以上模型是以分社为单位进行建模分析，市场占有率，满意度是以分社为单位统计计算而不是以课程为单位统计计算，课程均价换算为分社均价等这些方法都会产生一定的误差量，实际上最好的情况是 A 出版社站在各门课程的高度，直接对书号进行配置，出于这样的考虑，我们对模型进行了进一步的细化分析，建立如下模型： 672t617261k 66Max Y=yR50s.t ,(2,9) ,1,72nZnniinnXeRNX分 社 的 课 程是 A 出版社分配给第 n 门课程的书号数，6nX是第 n 门课程的均价，R是第 n 门课程申请的书号数，6是第 n 门课程的市场竞争力，其计算方法包括市场占有率，读者满意度与前面Z的计算方法基本一致，区别在于这里是以课程为单位，前面是以分社为单位分析的，这里就不赘述。导入数据（数据见附件中） ，在用线性规划求解模型，得到 72 门课程的分配得到的书号数如下：课程号 书号数 课程号 书号数 课程号 书号数1 9 25 12 49 92 9 26 17 50 23 2 27 6 51 54 3 28 3 52 165 3 29 12 53 46 8 30 6 54 87 6 31 40 55 48 3 32 2 56 49 8 33 2 57 210 4 34 11 58 211 8 35 4 59 412 4 36 8 60 51313 2 37 3 61 414 4 38 6 62 815 3 39 5 63 416 3 40 3 64 817 6 41 4 65 218 8 42 10 66 419 6 43 8 67 820 4 44 10 68 521 6 45 6 69 422 19 46 8 70 323 35 47 12 71 224 4 48 14 72 4由此作出的预计销售额 。72.910计算得各个分社得到的书号数如下：分社一 分社二 分社三 分社四 分社五 分社六 分社七 分社八 分社九55 48 120 84 72 44 21 30 26八建议通过对题目给出的数据的统计分析，我们建模分析，再细化分析，给出如下认为可行的资源优化配置：分社一 分社二 分社三 分社四 分社五 分社六 分社七 分社八 分社九55 48 120 84 72 44 21 30 26如此 A 出版社将得到的销售总额为： 。72.4910九模型的评价1我们在模型中假设市场占有率和市场竞争力是线性变化的，这大大简化了模型的复杂度，使得模型的可操作性大大加强，也方便了模型的求解。但也产生了些误差，有少部分数据拟合效果不太理想。在需要考虑更高精度的预测时可以把占有率和市场竞争力设为非线性变化的函数。142误差来源：在对附件二读者调查问卷的数据分析中会产生一定的误差，这是由于调查资料涵盖内容的局限性，如果能获得更多相关信息，准确度将会有进一步的提高。 十参考书目1 姜启源等， 数学模型 （第三版） ，北京：高等教育出版社，20032 李贤平等， 概率论与数理统计 ，上海：复旦大学出版社，20043 谭永基等， 数学模型 ，上海：复旦大学出版社，1997附录由于程序很多，仅附上几个代表性程序。1. 原规划模型程序clearz=5.7782 7.0561 8.0015 6.2287 8.6494 6.698 6.4421 6.2327 6.4113;z=exp(z)load junjia2.mat;z=junjia2.*z;load nenli1;x_=110 66 222 118 72 76 40 40 40;load c1;a=x_.*c1(:,1);b=x_.*c1(:,2);clear c1load chuzi.matx,fval=linprog(-z,eye(9);-eye(9);ones(1,9);eye(9),nenli1;-0.5.*x_;500;x_,chuzi);fval=-fval;2.改进的规划模型程序clearload junjia;15load xiao;load A111;z=-junjia.*xiao;b=10,20,30,40,48,54,60,66,72;load nenli1;a=ones(1,72);a1=zeros(1,72);a2=zeros(1,72);a3=zeros(1,72);a9=zeros(1,72);a4=zeros(1,72);a5=zeros(1,72);a6=zeros(1,72);a7=zeros(1,72);a8=zeros(1,72);a1(1:b(1)=a(1:b(1);b1=nenli1(1);a2(b(1)+1:b(2)=a(b(1)+1:b(2);b2=nenli1(2);a3(b(2)+1:b(3)=a(b(