商人过河的数学模型及编程解决

摘要：M 对商仆过河，一只船最多载 N 人，船上和岸上的仆人数都不能多于商人数，否则商人有危险。安排合理的渡河方案，保证商人能安全渡河。 （可利用向量，矩阵，图解等方法）一 问题提出：有 M 对商仆乘船过河，一只船最多载 N 人，由商人和仆人自己划船渡河，在河的任意一岸，一旦仆人数多于商人数，仆人就可将商人杀死，谋取利益，但是乘船渡河的主动权掌握在商人们手中，商人们如何安排渡河方案，才能安全渡河？二 假设：商人和仆人都会划船，天气很好，无大风大浪，船的质量很好，船桨足够很多次的运载商人和仆人。三 参数：1 设（x，y）是状态向量，表示任一岸的商人和仆人数，并且 x，y 分别要大于等于 0，小于等于 M。2 设（m，n）是运载向量，表示运载的商人数和仆人数，0 =3，DoIfsi+1= =sm，u=1，Break ，m，l，i -1，2；Ifu= =0，ci+1=dj；Break ，j，1，5；Ift= =0，PrintNo，Result；Break ；bi+1=3，3-si+1；Printsi，- - - -，ci+1，- - - -，bi+1；Ifsi+1= =0，0，Break ，i，1，12程序运行结果如下：此岸船上对岸3，30，20，23，10，10，13，20，20，33，00，10，23，12，02，21，11，11，12，22，03，10，20，13，00，30，23，20，10，13，10，20，23，3可以得出经过 11 步的渡河就能达到安全渡河的目标及满足渡河的次数尽量少的条件。这 11 步的渡河方案就是上面程序运行结果中船上下面的一列。渡河的整个过程如下所示：去 2 随从 回 1 随从（3 商人 3 随从）（3 商人 1 随从）去 2 随从 回 1 随从（3 商人 2 随从）（3 商人 0 随从）去 2 商人 回 1 商人 1 随从（3 商人 1 随从）（1 商人 1 随从）去 2 商人 回 1 随从（2 商人 2 随从）（0 商人 2 随从）去 2 随从 回 1 随从（0 商人 3 随从）（0 商人 1 随从）去 2 随从 （0 商人 2 随从）（渡河成功）一 程序实现#include “stdio.h“#include “string.h“#include #include #includeusing namespace std;#include “conio.h“FILE *fp;/*设立文件指针，以便将它用于其他函数中*/struct along m,s;struct a *next;/*数组类型 a：记录各种情况下船上的商人和仆人数，m：代表商人数s：代表仆人数*/struct a *jj,head;/*head 为头指针的链表单元（船上的人数的各种情况的链表）*/int n,total=0,js=0;/*total 表示船上各种情况总数*/struct aim long m1,s1,m2,s2;int n;struct aim *back,*next;/*用于建立双向的指针链表，记入符合的情况，m1，s1 表示要过岸的商人数和仆人数；m2，s2 表示过岸了的商人数和仆人数，n 表示来回的次数*/int k1,k2;void freeit(struct aim *p)struct aim *p1=p; p1=p-back;free(p);if(p1!=NULL)p1-next=NULL;return;/*释放该单元格，并将其上的单元格的 next 指针还原*/int determ(struct aim *p) struct aim *p1=p;if(p-s1k2)return -1;/*仆人数不能超过总仆人数*/if(p-m1k1)return -1;/*商人数不能超过总商人数*/if(p-s2k2)return -1;/*对岸，同上*/if(p-m2k1)return -1;/*对岸，同上*/if(p-s1s2m1m2m1!=0)if(p-s1p-m1)return -1;if(p-m2!=0)if(p-s2p-m2)return -1;/*两岸商人数均不能小于仆人数*/while(p1!=NULL)p1=p1-back;if(p1!=NULL)if(p1-n%2=p-n%2)if(p1-s1=p-s1)if(p1-s2=p-s2)if(p1-m1=p-m1)if(p1-m2=p-m2)return -1;/*用于解决重复，算法思想：即将每次算出的链表单元与以前的相比较，若重复，则表示出现循环*/if(p-s1=0else return -1;/*显然如果达到条件就说明 ok 了*/return 0;/*判断函数*/int sign(int n)if(n%2=0)return -1;return 1;/*符号函数*/void copyit(struct aim *p3,struct aim *p)p3-s1=p-s1;p3-s2=p-s2;p3-m1=p-m1;p3-m2=p-m2;p3-n=p-n+1;p3-back=p;p3-next=NULL;p-next=p3;/*复制内容函数，将 p 中的内容写入 p3 所指向的链表单元中*/void print(struct aim *p3)struct aim *p=p3;js+;while(p-back)p=p-back;printf(“n 第%d 种方法:n“,js);fprintf(fp,“n 第%d 种方法:n“,js);int count=0;while(p) printf(“%ld,%ld%ld,%ldt“,p-m1,p-s1,p-m2,p-s2);fprintf(fp,“%ld,%ld%ld,%ldt“,p-m1,p-s1,p-m2,p-s2);p=p-next;count+;coutn);for(i=0;inext;copyit(p3,p);p3-s1-=fla-m*f;p3-m1-=fla-s*f;p3-s2+=fla-m*f;p3-m2+=fla-s*f;/*运算过程，即过河过程*/j=determ(p3);/*判断，j 记录判断结果*/if(j=-1)if(iback=NULL;p-next=NULL;p-s2=0;p-m2=0;p-n=1;/*设立初始头指针*/printf(“请输入船上最多能乘多少人n“);fprintf(fp,“请输入船上的人数n“);scanf(“%d“,fprintf(fp,“n%dn“,n);flag=for(e=0;e0jj-s=f;flag-next=jj;jj-next=NULL;flag=jj;/*/printf(“照下面的格式输入商人和仆人