2018年中考数学试卷精选汇编直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理 一、选择题 1 （ 2018山 西 3分） “ 算 经 十 书 ” 是 指 汉 唐 一 千 多 年 间 的 十 部 著 名 数 学著作， 它 们 曾 经 是 隋 唐 时 期 国 子 监 算 学 科 的 教 科 书 ， 这 些 流 传 下 来 的 古 算 书 中 凝 聚 着 历 代 数 学 家 的 劳 动 成 果 .下 列 四 部 著 作 中 ， 不 属 于 我 国 古 代 数 学 著 作 的 是 （ ） A. 九 章 算 术 B. 几 何 原 本 C. 海 岛 算 经 D. 周 髀 算 经 【 答 案 】 B 【 考 点 】 数 学 文 化 【解 析 】 几 何 原 本 的 作 者 是 欧 几 里 得 2 （ 2018山东滨州 3分 ）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【分析】 直接根据勾股定理求解即可 【解答】 解： 在直角三角形中，勾为 3，股为 4， 弦为 =5 故选： A 【点评】 本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 3. （ 2018 湖北省孝感 3分）如图，菱形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点 O， AC=10， BD=24，则菱形 ABCD的周 长为（ ） A 52 B 48 C 40 D 20 【分析】 由勾股定理即可求得 AB 的长，继而求得菱形 ABCD的周长 【解答】 解： 菱形 ABCD中， BD=24， AC=10， OB=12， OA=5， 在 Rt ABO中， AB= =13， 菱形 ABCD 的周长 =4AB=52， 故选： A 【点评】 此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型 4. （ 2018山东青岛 3 分）如图，三角形纸片 ABC， AB=AC， BAC=90 ，点 E为 AB中点沿过点 E的直 线折叠，使点 B与点 A重合，折痕现交于点 F已知 EF= ，则 BC的长是（ ） A B C 3 D 【分析】 由折叠的性质可知 B= EAF=45 ，所以可求出 AFB=90 ，再直角三角形的性质可知 EF= AB，所以 AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出 BC的长 【解答】 解： 沿过点 E的直线折叠，使点 B与点 A重合， B= EAF=45 ， AFB=90 ， 点 E为 AB 中点， EF= AB， EF= ， AB=AC=3， BAC=90 ， BC= =3 ， 故选： B 【点评】 本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出 AFB=90 是解题的关键 5. （ 2018 四川自贡 4分）如图，若 ABC内接于半径为 R的 O，且 A=60 ，连接 OB、OC，则边 BC 的长为（ ） A B C D 【分析】 延长 BO 交圆于 D，连接 CD，则 BCD=90 ， D= A=60 ；又 BD=2R，根据锐角三角函数的定义得 BC= R 【解答】 解：延长 BO 交 O于 D，连接 CD， 则 BCD=90 ， D= A=60 ， CBD=30 ， BD=2R， DC=R， BC= R， 故选： D 【点评】 此题综合运用了圆周角定理、直角三角形 30 角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键 6. （ 2018台湾 分）如图 1的矩形 ABCD中，有一点 E在 AD上， 今以 BE为折线将 A点往右折，如图 2所示，再作过 A点且与 CD 垂直的直线，交 CD于 F点，如图 3所示，若 AB=6 ，BC=13， BEA=60 ，则图 3中 AF的长度为何？（ ） A 2 B 4 C 2 D 4 【分析】 作 AH BC 于 H则四边形 AFCH 是矩 形， AF=CH， AH=CF=3 在 Rt ABH 中，解直角三角形即可解决问题； 【解答】 解：作 AH BC于 H则四边形 AFCH是矩形， AF=CH， AH=CF=3 在 Rt AHB中， ABH=30 ， BH=ABcos30=9 ， CH=BC BH=13 9=4， AF=CH=4， 故选： B 【点评】 本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 7. （ 2018台湾 分）如图，坐标平面上， A、 B 两点分 别为圆 P与 x 轴、 y 轴的交点，有一直线 L通过 P点且与 AB垂直， C点为 L与 y轴的交点若 A、 B、 C的坐标分别为（ a， 0），（ 0， 4），（ 0， 5），其中 a 0，则 a的值为何？（ ） A 2 B 2 C 8 D 7 【分析】 连接 AC，根据线段垂直平分线的性质得到 AC=BC，根据勾股定理求出 OA，得到答案 【解答】 解：连接 AC， 由题意得， BC=OB+OC=9， 直线 L通过 P点且与 AB垂直， 直线 L是线段 AB的垂直平分线， AC=BC=9， 在 Rt AOC中， AO= =2 ， a 0， a= 2 ， 故选： A 【点评】 本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键 8.（ 2018湖北黄冈 3分） 如图，在 Rt ABC中， ACB=90， CD为 AB 边上的高， CE为 AB边上的中线， AD=2， CE=5，则 CD= A.2 B.3 C.4 D.23（第 5题图） 【考点】 直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定 理。 【分析】 由 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 CE=AE=5，又知 AD=2，可得DE=AE-AD=5-2=3，在 Rt CDE中，运用勾股定理可得直角边 CD 的长。 【解答】解： 在 Rt ABC中， ACB=90， CE 为 AB 边上的中线， CE=AE=5， 又 AD=2， DE=AE-AD=5-2=3， CD为 AB边上的高 CDE=90， CDE 为 Rt CD=DECE 22=352=4 故选 C. 【点评】 本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。得出 DE 的长是解题 的关键。 9. （ 2018广西桂林 3分 ） 如图，在正方形 ABCD中， AB=3，点 M在 CD的边上，且 DM=1， AEM与 ADM关于 AM所在的直线对称，将 ADM按顺时针方向绕点 A旋转 90 得到 ABF，连接 EF，则线段 EF的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】 C 【解析】分析：连接 BM.证明 AFE AMB得 FE=MB，再运用勾股定理求出 BM 的长即可 . 详解：连接 BM，如图， 由旋转的性质得： AM=AF. 四边形 ABCD是正方形， AD=AB=BC=CD， BAD= C=90, AEM与 ADM关于 AM所在的直线对称， DAM= EAM. DAM+ BAM= FAE+ EAM=90, BAM= EAF, AFE AMB FE=BM. 在 Rt BCM中， BC=3， CM=CD-DM=3-1=2, BM= FE= . 故选 C. 点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了正方形的性质 10（ 2018四川省泸州市 3分） “ 赵爽 弦图 ” 巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的 “ 赵爽弦图 ” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b若 ab=8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（ ） A 9 B 6 C 4 D 3 【分析】 由题意可知：中间小正方形的边长为： a b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长 【解答】 解：由题意可知：中间小正方形的边长为： a b， 每一个直角三角形的面积为： ab= 8=4， 4 ab+（ a b） 2=25， （ a b） 2=25 16=9， a b=3， 故选： D 【点评】 本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型 二 .填空题 1.（ 2018湖北黄冈 3 分） 如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离杯底 5cm的点 B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B处的最短距离为 _cm（杯壁厚度不计） . （第 13 题图） 【考点】 平 面展开 -最短路径问题 【分析】 将圆柱体侧面展开，过 B作 BQ EF于 Q，作 A关于 EH 的对称点 A，连接 A B交 EH于 P，连接 AP，则 AP+PB就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出 A Q， BQ，根据勾股定理求出 A B即可 【解答】解： 沿过 A的圆柱的高剪开，得出矩形 EFGH，过 B作 BQ EF于 Q，作 A关于 EH的对称点 A，连接 A B交 EH于 P，连接 AP，则 AP+PB就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， AE=A E， A P=AP， AP+PB=A P+PB=A B， BQ=21 32cm=16cm， A Q=14cm-5cm+3cm=12cm， 在 Rt A QB中，由勾股定理得： A B=1216 22 =20cm. 故答案为： 20. 【点评】 本题考查了平面展开 -最短路径问题将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力 2. （ 2018天津 3分 ） 如图，在边长为 4的等边 中， ， 分别为 ， 的中点，于点 ， 为 的中点，连接 ，则 的长为 _ 【答案】 【解析】分析：连接 DE，根据题意可得 DEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长 . 详解：连接 DE， D、 E分别是 AB、 BC 的中点， DE AC， DE=AC ABC是等边三角形，且 BC=4 DEB=60 ,DE=2 EF AC， C=60 ,EC=2 FEC=30 ， EF= DEG=180 -60 -30 =90 G是 EF的中点， EG= . 在 Rt DEG中， DG= 故答案为： . 点睛：本题主要考查了等边三角形的性质， 勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键 . 3 （ 2018天津 3分 ） 如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中， 的顶点 ， ， 均在格点上 . （ 1） 的大小为 _（度）； （ 2）在如图所示的网格中， 是 边上任意一点 .为中心，取旋转角等于 ，把点 逆时针旋转，点 的对应点为 .当 最短时，请用 无刻度 的直尺，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明） _ 【答案】 (1). ； (2). 见解析 【解析】分析：（ 1）利用勾股定理即可解决问题； （ 2） 如图，取格点 ， ，连接 交 于点 ；取格点 ， ，连接 交 延长线于点 ；取格点 ，连接 交 延长线于点 ，则点 即为所求 . 详解：（ 1） 每个小正方形的边长为 1， AC= ， BC= ， AB= , ABC是直角三角形，且 C=90 故答案为 90； （ 2）如图，即为所求 . 点睛：本题考查作图 -应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题 . 4. （ 2018 四川自贡 4分）如图，在 ABC中， AC=BC=2， AB=1，将它沿 AB翻折得到 ABD，则四边形 ADBC的形状是 菱 形，点 P、 E、 F分别为线段 AB、 AD、 DB的任意点，则 PE+PF的最小值是 【分析】 根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出 F关于 AB的对称点 M，再过 M作 MEAD，交 ABA于点 P，此时 PE+PF最小，求出 ME即可 【解答】 解： ABC 沿 AB 翻折得到 ABD， AC=AD， BC=BD， AC=BC， AC=AD=BC=BD， 四边形 ADBC是菱形， 故答案为菱； 如图 作出 F关于 AB的对称点 M，再过 M作 ME AD，交 ABA于点 P，此时 PE+PF最小，此时 PE+PF=ME， 过点 A作 AN BC， AD BC， ME=AN， 作 CH AB， AC=BC， AH= ， 由勾股定理可得， CH= ， ， 可得， AN= ， ME=AN= ， PE+PF 最小为 ， 故答案为 【点评】 此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和 “ 垂线段最短 ” 的基本事实分析出最短路径是解题的关键 5.（ 2018山东青岛 3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，点 E、 F 分别在 AD、 DC上， AE=DF=2， BE与 AF相交于点 G，点 H为 BF 的中点，连接 GH，则 GH的长为 【分析】 根据正方形的四条边都相等可得 AB=AD，每一个角都是直角可得 BAE= D=90 ，然后利用 “ 边角边 ” 证明 ABE DAF得 ABE= DAF，进一步得 AGE= BGF=90 ，从而知 GH= BF，利用勾股定理求出 BF 的长即可得出答案 【解答】 解： 四边形 ABCD为正方形， BAE= D=90 ， AB=AD， 在 ABE和 DAF中， ， ABE DAF（ SAS）， ABE= DAF， ABE+ BEA=90 ， DAF+ BEA=90 ， AGE= BGF=90 ， 点 H为 BF 的中点， GH= BF， BC=5、 CF=CD DF=5 2=3， BF= = ， GH= BF= ， 故答案为： 【点评】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键 6. （ 2018江苏盐城 3分 ） 如图，在直角 中， ， ， ， 、 分别为边 、 上的两个动点，若要使 是等腰三角形且 是 直角三角形，则 _ 16.【答案】 或 【考点】 等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】 【解答】解：当 BPQ是直角三角形时，有两种情况： BPQ=90度， BQP=90度。在直角 中， ， ， ，则 AB=10， AC： BC： AB=3:4:5.( 1 )当 BPQ=90度，则 BPQ BCA，则 PQ： BP： BQ=AC： BC： AB=3:4:5， 设 PQ=3x，则 BP=4x， BQ=5x， AQ=AB-BQ=10-5x， 此时 AQP为钝角，则当 APQ是等腰 三角形时，只有 AQ=PQ， 则 10-5x=3x，解得 x= ， 则 AQ=10-5x= ； （ 2 ）当 BQP =90度，则 BQP BCA，则 PQ： BQ： BP=AC： BC： AB=3:4:5， 设 PQ=3x，则 BQ=4x， BP=5x， AQ=AB-BQ=10-4x， 此时 AQP为直角，则当 APQ是等腰三角形时，只有 AQ=PQ， 则 10-4x=3x，解得 x= ， 则 AQ=10-4x= ； 故答案为： 或 【分析】要同时使 是等腰三角形且 是直角三角形，要先找突破口，可先确定当 APQ 是等腰 三角形时，再讨论 BPQ 是直角三角形可能的情况；或者先确定 BPQ 是直角三角形，再讨论 APQ是等腰三角形的情况；此题先确定 BPQ是直角三角形容易一些： BPQ 是直角三角形有两种情况，根据相似的判定和性质可得到 BQP 与 BCA 相似，可得到 BQP 三边之比，设出未知数表示出三边的长度，再讨论 APQ 是等腰三角形时，是哪两条相等，构造方程解出未知数即可，最后求出 AQ。 三 .解答题 1、 （ 2018 湖北省宜昌 8分）如图，在 ABC 中， AB=AC，以 AB为直径的圆交 AC于点 D，交 BC于点 E，延长 AE 至 点 F，使 EF=AE，连接 FB， FC （ 1）求证：四边形 ABFC是菱形； （ 2）若 AD=7， BE=2，求半圆和菱形 ABFC的面积 【分析】（ 1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （ 2）设 CD=x，连接 BD利用勾股定理构建方程即可解决问题； 【解答】（ 1）证明： AB是直径， AEB=90 ， AE BC， AB=AC， BE=CE， AE=EF， 四边形 ABFC是平行四边形， AC=AB， 四边形 ABFC是菱形 （ 2）设 CD=x连接 BD AB是直径， ADB= BDC=90 ， AB2 AD2=CB2 CD2， （ 7+x） 2 72=42 x2，解得 x=1或 8（舍弃） AC=8， BD= = ， S 菱形 ABFC=8 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 2. （ 2018湖南省永州市 10分）如图，在 ABC中， ACB=90 ， CAB=30 ，以线段 AB为边向外作等边 ABD，点 E是线段 AB的中点，连接 CE并延长交线段 AD于点 F （ 1）求证：四边形 BCFD为平行四边形； （ 2）若 AB=6，求平行四边形 BCFD的面积 【分析】 （ 1）在 Rt ABC 中， E为 AB的中点，则 CE= AB， BE= AB，得到 BCE= EBC=60 由 AEF BEC，得 AFE= BCE=60 又 D=60 ，得 AFE= D=60 度所以 FC BD，又因为 BAD= ABC=60 ，所以 AD BC，即 FD BC，则四边形 BCFD是平行四边形 （ 2）在 Rt ABC中，求出 BC， AC即可解决问题； 【解答】 （ 1）证明：在 ABC中， ACB=90 ， CAB=30 ， ABC=60 在等边 ABD中， BAD=60 ， BAD= ABC=60 E为 AB的中点， AE=BE 又 AEF= BEC， AEF BEC 在 ABC中， ACB=90 ， E为 AB的中点， CE= AB， BE= AB CE=AE， EAC= ECA=30 ， BCE= EBC=60 又 AEF BEC， AFE= BCE=60 又 D=60 ， AFE= D=60 FC BD 又 BAD= ABC=60 ， AD BC，即 FD BC 四边形 BCFD是平行四边形 （ 2）解：在 Rt ABC 中， BAC=30 ， AB=6， BC= AB=3， AC= BC=3 ， S 平行四边形 BCFD=3 =9 【点评】 本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 3. （ 2018 年江苏省泰州市 12 分） 对给定的一张矩形纸片 ABCD 进行如下操作：先沿 CE折叠，使点 B落在 CD边上（如图 ），再沿 CH 折叠，这时发现点 E恰好与点 D重合（如图 ） （ 1）根据以上操作和发现，求 的值； （ 2）将该矩形纸片展开 如图 ，折叠该矩形纸片，使点 C 与点 H 重合，折痕与 AB 相交于点 P，再将该矩形纸片展开求证： HPC=90 ； 不借助工具，利用图 探索一种新的折叠方法，找出与图 中位置相同 的 P 点，要求只有一条折痕，且点 P在折痕上，请简要说明折叠方法（不需说明理由） 【分析】 （ 1）依据 BCE 是等腰直角三角形，即可得到 CE= BC，由图 ，可得 CE=CD，而 AD=BC，即可得到 CD= AD，即 = ； （ 2） 由翻折可得， PH=PC，即 PH2=PC2，依据勾股定理可得 AH2+AP2=BP2+BC2，进而得出 AP=BC，再根据 PH=CP， A= B=90 ，即可得到 Rt APH Rt BCP（ HL），进而得到 CPH=90 ； 由 AP=BC=AD，可得 ADP是等腰直角三角形， PD 平分 ADC，故沿着过 D的直线翻折，使点 A落在 CD 边上，此时折痕与 AB 的交点即为 P；由 BCE= PCH=45 ，可得 BCP= ECH，由 DCE= PCH=45 ，可得 PCE= DCH，进而得到 CP 平分 BCE，故沿着过点 C的直线折叠，使点 B落在 CE上，此时，折痕与 AB的交点即为 P 【解答】 解：（ 1）由图 ，可得 BCE= BCD=45 ， 又 B=90 ， BCE是等腰直角三角形， =cos45= ，即 CE= BC， 由图 ，可得 CE=CD，而 AD=BC， CD= AD， = ； （ 2） 设 AD=BC=a，则 AB=CD= a， BE=a， AE=（ 1） a， 如图 ，连接 EH，则 CEH= CDH=90 ， BEC=45 ， A=90 ， AEH=45= AHE， AH=AE=（ 1） a， 设 AP=x，则 BP= a x，由翻折可得， PH=PC，即 PH2=PC2， AH2+AP2=BP2+BC2， 即 （ 1） a2+x2=（ a x） 2+a2， 解得 x=a，即 AP=BC， 又 PH=CP， A= B=90 ， Rt APH Rt BCP（ HL）， APH= BCP， 又 Rt BCP中， BCP+ BPC=90 ， APH+ BPC=90 ， CPH=90 ； 折法：如图，由 AP=BC=AD，可得 ADP是等腰直角三角形， PD平分 ADC， 故沿着过 D的直线翻折，使点 A落在 CD边上，此时折痕与 AB的交点即为 P； 折法：如图，由 BCE= PCH=45 ，可得 BCP= ECH， 由 DCE= PCH=45 ，可得 PCE= DCH， 又 DCH= ECH， BCP= PCE，即 CP 平分 BCE， 故沿着过点 C的直线折叠，使点 B落在 CE 上，此时，折痕与 AB 的交点即为 P 【点评】 本题属于折叠问题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定 与性质的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等解题时常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含 x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案 4. （ 2018天津 10 分 ） 在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，点 ，点 .以点 为中心，顺时针旋转矩形 ，得到矩形 ，点 ， ， 的对应点分别为 ， ， . （ ）如图 ，当点 落在 边上时，求点 的坐标； （ ）如图 ，当点 落在线段 上时， 与 交于点 . 求证 ； 求点 的坐标 . （ ）记 为矩形 对角线的交点， 为 的面积，求 的取值范围（直接写出结果即可） . 【答案】（ ）点 的坐标为 .（ ） 证明见解析； 点 的坐标为 .（ ）. 【解析】分析： （ ）根据旋转的性质得 AD=AO=5,设 CD=x，在直角三角形 ACD中运用勾股定理可 CD 的值，从而可确定 D点坐标； （ ） 根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可； 由 知 ，再根据矩形的性质得 .从而 ，故 BH=AH，在 RtACH 中，运用勾股定理可求得 AH的值，进而求得答案； （ ） . 详解：（ ） 点 ，点 ， ， . 四边形 是矩形， ， ， . 矩形 是由矩形 旋转得到的， . 在 中，有 ， . . 点 的坐标为 . （ ） 由四边形 是矩形，得 . 又点 在线段 上，得 . 由（ ）知， ，又 ， ， . 由 ，得 . 又在矩形 中， ， . . . 设 ，则 ， . 在 中，有 ， .解得 . . 点 的坐标为 . （ ） . 点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活 运用勾股定理求解是解决本题的关键 . 5. （ 2018 四川自贡 8分）如图，在 ABC中， BC=12， tanA= ， B=30 ；求 AC和 AB的长 【分析】 如图作 CH AB 于 H在 Rt 求出 CH、 BH，这种 Rt ACH 中求出 AH、 AC 即可解决问题； 【解答】 解：如图作 CH AB于 H 在 Rt BCH中， BC=12， B=30 ， CH= BC=6， BH= =6 ， 在 Rt ACH中， tanA= = ， AH=8， AC= =10， AB=AH+BH=8+6 【点评】 本题考查解直角三 角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 6. （ 2018 四川自贡 10 分）如图，在 ABC中， ACB=90 （ 1）作出经过点 B，圆心 O在斜边 AB 上且与边 AC相切于点 E的 O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （ 2）设（ 1）中所作的 O与边 AB 交于异于点 B的另外一点 D，若 O的直径为 5， BC=4；求 DE的长（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（ 2）问） 【分析】 （ 1）作 ABC的角平分线交 AC 于 E，作 EO AC交 AB 于点 O，以 O为圆心， OB为半径画圆即可解决问题； （ 2）作 OH BC于 H首先求出 OH、 EC、 BE，利用 BCE BED，可得 = ，解决问题； 【解答】 解：（ 1） O 如图所示； （ 2）作 OH BC于 H AC是 O的切线， OE AC， C= CEO= OHC=90 ， 四边形 ECHO是矩形， OE=CH= ， BH=BC CH= ， 在 Rt OBH中， OH= =2， EC=OH=2， BE= =2 ， EBC= EBD， BED= C=90 ， BCE BED， = ， = ， DE= 【点评】 本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 7. （ 2018台湾 分）嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在 5 5的方格棋盘上从 A点行走至 B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径 R1， R2， R3，其行经位置如图与表所示： 路径 编号 图例 行径位置 第一条路径 R1 _ ACDB 第二条路径 R2 A EDFB 第三条路径 R3 AGB 已知 A、 B、 C、 D、 E、 F、 G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断 R1、 R2、 R3这三条路径中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由 【分析】 利用勾股定理分别计算出三条路径的长，比较大小即可得 【解答】 解：第一条路径的长度为 + + =2 + ， 第二条路径的长度为 + +1+ = + + +1， 第三条路径的长度为 + =2 + ， 2 + 2 + + + +1， 最长路径为 AEDFB ；最短路径为 AGB 【点评】 本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理求得每条线段的长度 8.（ 2018广东 9 分 ） 如图，四边形 ABCD 中， AB=AD=CD，以 AB 为直径的 O 经过点 C，连接 AC， OD 交于点 E （ 1）证明： OD BC； （ 2）若 tan ABC=2，证明： DA 与 O相切； （ 3）在（ 2）条件下，连接 BD交于 O于点 F，连接 EF，若 BC=1，求 EF的长 【分析】 （ 1）连接 OC，证 OAD OCD得 ADO= CDO，由 AD=CD知 DE AC，再由 AB 为直径知 BC AC，从而得 OD BC； （ 2）根据 tan ABC=2 可设 BC=a、则 AC=2a、 AD=AB= = ，证 OE 为中位线知OE= a、 AE=CE= AC=a，进一步求得 DE= =2a，再 AOD 中利用勾股定理逆定理证 OAD=90 即可得； （ 3）先证 AFD BAD 得 DFBD=AD2 ，再证 AED OAD 得 ODDE=AD2 ，由 得DFBD=ODDE，即 = ，结合 EDF= BDO知 EDF BDO，据此可得 = ，结合（ 2）可得相关线段的长，代入计算可得 【解答】 解：（ 1）连接 OC， 在 OAD和 OCD中， ， OAD OCD（ SSS）， ADO= CDO， 又 AD=CD， DE AC， AB为 O的直径， ACB=90 ， ACB=90 ，即 BC AC， OD BC； （ 2） tan ABC= =2， 设 BC=a、则 AC=2a， AD=AB= = ， OE BC，且 AO=BO， OE= BC= a， AE=CE= AC=a， 在 AED中， DE= =2a， 在 AOD中， AO2+AD2=（ ） 2+（ a） 2= a2， OD2=（ OF+DF） 2=（ a+2a） 2= a2， AO2+AD2=OD2， OAD=90 ， 则 DA与 O相切； （ 3）连接 AF， AB是 O的直径， AFD= BAD=90 ， ADF= BDA， AFD BAD， = ，即 DFBD=AD2 ， 又 AED= OAD=90 ， ADE= ODA， AED OAD， = ，即 ODDE=AD2 ， 由 可得 DFBD=ODDE，即 = ， 又 EDF= BDO， EDF BDO， BC=1， AB=AD= 、 OD= 、 ED=2、 BD= 、 OB= ， = ，即 = ， 解得： EF= 【点评】 本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点 9.（ 2018广东 9分 ） 已知 Rt OAB， OAB=90 ， ABO=30 ，斜边 OB=4，将 Rt OAB绕点 O顺时针旋转 60 ，如题图 1，连接 BC （ 1）填空： OBC= 60 ； （ 2）如图 1，连接 AC，作 OP AC，垂足为 P，求 OP的长度； （ 3）如图 2，点 M， N同时从点 O出发，在 OCB边上运动， M沿 OCB 路径匀速运动， N沿 OBC 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位 /秒，点 N 的运动速度为 1 单位 /秒，设运动时间为 x 秒， OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y取得最大值？最大值为多少？ 【分析】 （ 1）只要证明 OBC是等边三角形即可； （ 2）求出 AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可； （ 3）分三种情形讨论求解即可解决问题： 当 0 x 时， M 在 OC 上运动，