2015年绵阳市自主招生考试数学试题含答案解析

第 1 页（共 31 页） 2015年四川省绵阳自主招生考试数学试卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分 1把不等式组： 的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A B C D 2已知一粒大米的质量约为 个数 用科学记数法表示为（ ） A 10 4 B 10 4 C 10 5 D 21 10 6 3化简 （ 1+ ）的结果是（ ） A B C D 4如图，一根直尺 0 的角 两边 于 M、 N，那么 ） A 135 B 150 C 180 D不能确定 5如图，在等腰 C=90 ， ， C 上一点，若 ，则 ） A 1 B C D 2 6设一元二次方程（ x 2）（ x 3） =m（ m 0）的两实根分别为 、 （ ），则 、 满足（ ） A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2且 3 7如图，函数 y= y= 的图象相交于 A、 A、 足 第 2 页（共 31 页） 分别为点 C、 D，则四边形 ） A 8 B 6 C 4 D 2 8如图，一张半径为 1的圆形纸片在边长为 a（ a 3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片 “ 不能接触到的部分 ” 的面积是（ ） A B 4 C D（ 4 ） 有四个命题： 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形； 两圆的半径分别是 3 和 4，圆心距为 d，若两圆有公共点，则 1 d 7 其中正确的命题有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 10在平面直角坐标系中，对于平面任一点（ a， b），若规定以下三种变换： f（ a， b） =（ a， b），如， f（ 1， 3） =（ 1， 3）； g（ a， b） =（ b， a），如， g（ 1， 3） =（ 3， 1）； h（ a， b） =（ a， b），如， h（ 1， 3） =（ 1， 3） 按照以下变换有： f（ g（ 2， 3） =f（ 3， 2） =（ 3， 2），那么 f（ h（ 5， 3）等于（ ） A（ 5， 3） B（ 5， 3） C（ 5， 3） D（ 5， 3） 11如图， B， A=30 ， 点为 E，并分别交 C， 接 则扇形 ） 第 3 页（共 31 页） A B C D 12如图，在菱形 D点 E、 B、 F连接 E 相交于点 G，连接 下列结论： S 四边形 若 其中正确的结论（ ） A只有 B只有 C只有 D 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分 13分解因 式： 412x= 14风华中学七年级（ 2）班的 “ 精英小组 ” 有男生 4人，女生 3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为 15在矩形 角线 ，过点 E 足为 E，连接 ，过 F 足为 F，则 的值是 16如图，已知 面积为 的等边三角形， 5 ， ，则 （结果保留根号） 17如图，在梯形 C， D 相交于 P已知 A（ 2， 3）， B（ 1， 1）， D（ 4，3），则点 ， ） 第 4 页（共 31 页） 18如图，抛物线 y=x2+与 ，与过点 线相交于点 B（点 抛物线的顶点 B 上，对称轴与 平移抛物线，使其经过点 A、 D，则平移后的抛物线的解析式为 三、解答题：本大题共 6个小题，共 46分 19计算：（ ） 2 6+（ 2） 0+|2 |； （ 2）先化简，再求值： （ x+2 ），其中 x= 3 20童星玩具厂工人的工作时间为：每月 22天，每天 8 小时工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资 500元，按月结算该厂生产 A、 人每生产一件 生产一件 厂工人可以选择 A、 人小李生产 1 件 A 产品和 1 件 B 产品需 35 分钟；生产 3 件 A 产品和 2 件 B 产品需 85分钟 （ 1）小李生产 1件 分钟，生产 1件 分钟 （ 2）求小李每月的工资收入范围 21关于三角函数有如下的公式： + ） = + ） = + ） = 利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如： 第 5 页（共 31 页） 45 +60 ） = = = =（ 2+ ） 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： 如图，直升飞机在一建筑物 方 A 点处测得建筑物顶端 D 点的俯角 =60 ，底端 C 点的俯角=75 ，此时直升飞机与建筑物 2m，求建筑物 高 22如图 1，四边形 正方形，点 E、 K 分别在 ，点 G 在 延长线上，且K= （ 1）求证： G； （ 2）以线段 边作出正方形 接 想并写出四边形 证明你的猜想 23已知点 O 在线段 长线上，以点 半径作圆，点 上的一点 （ 1）如图，如果 O，求证： （ 2）如果 AP=m（ m 1）， ， A、 点 上运动时，求 果用含 m 的式子表示） 24如图，在平面直角坐标系中，矩形 为原点， 叠，使点 处，点 A， 5， 0）和（ 3， 0） 第 6 页（共 31 页） （ 1）求点 （ 2）求 （ 3）设过点 y=2bx+c（ b 0）与直线 另一个交点为 M，问在该抛物 线上是否存在点 G，使得 存在，求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由 第 7 页（共 31 页） 2015年四川省绵阳自主招生考试数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分 1把不等式组： 的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A B C D 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【专题】压轴题 【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可 【解答】解：解不等式 ，得 x 1， 解不等式 ，得 x 1， 所以不等式组的解集是 1 x 1 故选： B 【点评】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（ ， 向右画 ， 向左画）在表示解集时 “ ” ， “ ” 要用 实心圆点表示 “ ” ， “ ” 要用空心圆圈表示 2已知一粒大米的质量约为 个数用科学记数法表示为（ ） A 10 4 B 10 4 C 10 5 D 21 10 6 【考点】科学记数法 表示较小的数 【专题】应用题 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10时， 原数的绝对值小于 1时， 【解答】解： 21=10 5 故选 C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10中 1 |a| 第 8 页（共 31 页） 10， 示时关键要正确确定 3化简 （ 1+ ）的结果是（ ） A B C D 【考点】分式的混合运算 【分析】首先对括号内的式子通分相加，然后把除法转化成乘法，进行约分即可 【解答】解：原式 = = = 故选 A 【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键 4如图，一根直尺 0 的角 两边 于 M、 N，那么 ） A 135 B 150 C 180 D不能确定 【考点】三角形内角和定理 【分析】根据三角形内角和可以求得 度数，然后根据对顶角相等，从而可以求得 【解答】解： A+ 80 ， A=30 ， 80 A=180 30=150 ， 50 ， 故选 B 第 9 页（共 31 页） 【点评】本题考查三角形内角和定理、对顶角的性质，解题的关键是明确三角形内角和，利用数形结合的思想解答 5如图，在等腰 C=90 ， ， C 上一点，若 ，则 ） A 1 B C D 2 【考点】等腰直角三角形；解直角三角形 【分析】先作 E，再根据 ，求得 后根据 E+E+5 ，求得 ，并在等腰直角三角形 勾股定理 求得 【解答】解：作 ， = ， A=45 ， E， 又 ， ， E= ， ， 在等腰直角三角形 勾股定理得 ， 故选（ D） 第 10 页（共 31 页） 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及直角三角形，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式进行求解 6设一元二次方程（ x 2）（ x 3） =m（ m 0）的两实根分别为 、 （ ），则 、 满足（ ） A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2且 3 【考点】根与系数的关系 【分析】令 m=0，根据 已知条件得出函数出 y=（ x 2）（ x 3）的图象与 2， 0），（ 3， 0），再根据 m 0， 得出原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，从而得出答案 【解答】解：令 m=0，则函数出 y=（ x 2）（ x 3）的图象与 2， 0），（ 3， 0）， m 0， 原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大， 2 且 3； 故选 D 【点评】此题主要考查了利用函数图象解决一元二次方程问题，判断出 y=（ x 2）（ x 3）的图象与方程之间的关系是解题的 关键 7如图，函数 y= y= 的图象相交于 A、 A、 足分别为点 C、 D，则四边形 ） 第 11 页（共 31 页） A 8 B 6 C 4 D 2 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数 k 的几何意义；平行四边形的判定与性质 【分析】反比例函数 y=坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，据此进行计算即可 【解答】解： 过 A、 足分别为点 C、 D， | 4|=2， 又 O， O， 四边形 四边形 4 4 2=8， 故选（ A） 【点评】本题主要考查了反比例函数中 k 的几何意义以及平行四边形的判定与性质，在反比例函数的图象上任意一点 向一条坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变 8如图，一张半径为 1的圆形纸片在边长为 a（ a 3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片 “ 不能接触到的部分 ” 的面积是（ ） A B 4 C D（ 4 ） 第 12 页（共 31 页） 【考点】轨迹；正方形的性质 【分析】这张圆形纸片 “ 不能接触到的部分 ” 的面积是就是小正方形的面积与扇形的面积的差的 4倍 【解答】解：小正方形的面积是： 1； 当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形 的面积是 则这张圆形纸片 “ 不能接触到的部分 ” 的面积是 4 （ 1 ） =4 故选： B 【点评】本题主要考查了轨迹、正方形和圆的面积的计算公式，正确记忆公式是关键 9有四个命题： 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； 有两边和其中一边的 对角对应相等的两个三角形全等； 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形； 两圆的半径分别是 3 和 4，圆心距为 d，若两圆有公共点，则 1 d 7其中正确的命题有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【考点】命题与定理 【专题】压轴题 【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项 【解答】解： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误； 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故错误； 菱形既是轴对称图形又是 中心对称图形，正确； 两圆的半径分别是 3和 4，圆心距为 d，若两圆有公共点，则 1 d 7，故错误 所以只有一个正确，故选 A 【点评】此题综合考查平行线的性质，全等三角形的判定，菱形的对称性及两圆的位置与半径的关系 10在平面直角坐标系中，对于平面任一点（ a， b），若规定以下三种变换： 第 13 页（共 31 页） f（ a， b） =（ a， b），如， f（ 1， 3） =（ 1， 3）； g（ a， b） =（ b， a），如， g（ 1， 3） =（ 3， 1）； h（ a， b） =（ a， b），如， h（ 1， 3） =（ 1， 3） 按照以下变换有： f（ g（ 2， 3） =f（ 3， 2） =（ 3， 2），那么 f（ h（ 5， 3）等于（ ） A（ 5， 3） B（ 5， 3） C（ 5， 3） D（ 5， 3） 【考点】点的坐标 【分析】根据 f（ a， b） =（ a， b）， h（ a， b） =（ a， b），可得答案 【解答】解： f（ h（ 5， 3） =f（ 5， 3） =（ 5， 3）， 故选： C 【点评】本题考查了点的坐标，利用 f（ a， b） =（ a， b）， h（ a， b） =（ a， b）是解题关键 11如图， B， A=30 ， 点为 E，并分别交 C， 接 则扇形 ） A B C D 【考点】扇形面积的计算；切线的性质 【专题】计算 题 【分析】根据切线的性质得到直角 A=30 ，得到 0 ，然后在直角 出圆的半径，再用扇形面积公式计算出扇形的面积 【解答】解：如图： B， A=30 ， 0 ， D 设 ，在直角 ， ， 第 14 页（共 31 页） S 扇形 = 故选 B 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据切线的性质得到直角三角形，解直角三角形得到圆的半径，然后用扇形的面积公式求出扇形的面积 12如图，在菱形 D点 E、 B、 F连接 E 相交于点 G，连接 下列结论： S 四边形 若 其中正确的结论（ ） A只有 B只有 C只有 D 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行线分线段成比例 【专题】压轴题 【分析】 易证 据 “证明 证明 0= 而得点 B、 C、 D、 G 四点共圆，因此 0 过点 C 作 ， 证明 以 S 四边形 四边形 求后者的面积 过点 P 点 根据题意有 F： ： 3，则 ： 6= 【解答】解： D D， A= 0 又 F， D， 第 15 页（共 31 页） 0= 即 80 ， 点 B、 C、 D、 0 ， 0 0 过点 M M， N， ， S 四边形 四边形 S 四边形 S 0 ， S 四边形 S 过点 P 点 F： ： 3， F， D， ： 6= 即 故选 D 第 16 页（共 31 页） 【点评】此题综合考查了全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、不规则图形的面积计算方法等知识点，综合性较强，难度较大 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分 13分解因式： 412x= x（ x+2）（ x 6） 【考点】因式分解十字相乘法等；因式分解提公因式法 【分析】首先提取公因式 x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要彻底 【解答】解： 412x =x（ 4x 12） =x（ x+2）（ x 6） 故答案为： x（ x+2）（ x 6） 【点评】此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识此题比较简单，注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底 14风华中学七年级（ 2）班的 “ 精英小组 ” 有男生 4人，女生 3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为 【考点】概率公式 【分析】由风华中学七年级（ 2）班的 “ 精英小组 ” 有男生 4人，女生 3人，直接利用概率公式求解即可求 得答案 【解答】解： 风华中学七年级（ 2）班的 “ 精英小组 ” 有男生 4人，女生 3人， 选出一人担任班长，则组长是男生的为： = 故答案为： 【点评】此题考查了概率公式的应用注意概率 =所求情况数与总情况数之比 第 17 页（共 31 页） 15在矩形 角线 ，过点 E 足为 E，连接 ，过 F 足为 F，则 的值是 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质 【专题】综合题；压轴题 【分析】根据题意易证 用相似三角形的相似比求解 【解答】解： D= ： 2， ， ， = 故答案为 【点评】本题考查对相似三角形性质的 理解相似三角形对应边的比相等 16如图，已知 面积为 的等边三角形， 5 ， ，则 （结果保留根号） 第 18 页（共 31 页） 【考点】相似三角形的性质；等边三角形的性质 【专题】计算题 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形 面积，再根据求 出其边长，可根据三角函数得出三角形面积 【解答】解： = ， S ， S ， 如图，在 点 H H， 5 ， 0 ， 5 ， 0 ， F， 设 F=x，则 EH= x 又 S ， 作 ， 等边三角形， ， 0 ， 设 k， BM=k， k， k=1， ， ， x+ x=1， 第 19 页（共 31 页） 解得 x= = S 1 = 故答案为： 【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点，解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形 后问题可解 17如图，在梯形 C， D 相交于 P已知 A（ 2， 3）， B（ 1， 1）， D（ 4，3），则点 3 ， ） 【考点】等腰梯形的性质；两条直线相交或平行问题 【分析】过 A 作 x 轴与 M，交 ，过 E x 轴与 E，交 ，根据点的坐标求出各个线段的长，根据 可求出答案 【解答】 解：过 M ，交 N，过 E ，交 ， A（ 2， 3）， B（ 1， 1）， D（ 4， 3）， ， F=1， 1=2， 2=2， 1=1， 5， 1）， 1=4， 1=3， 第 20 页（共 31 页） = = = ， = x 轴， = = = ， ， ， ， +1= ， ， ， 3， ）， 故答案为： 3， 【点评】本题考查了坐标与图形性质，梯形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要是考查学生综合运用知识进行计算的能力 18如图，抛物线 y=x2+与 ，与过点 （点 抛物线的 顶点 B 上，对称轴与 平移抛物线，使其经过点 A、 D，则平移后的抛物线的解析式为 y=x+ 【考点】二次函数图象与几何变换 【专题】压轴题 【分析】先求出点 A 的坐标，再根据中位线定理可得顶点 C 的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式 第 21 页（共 31 页） 求出 求出点 据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为 y=x2+mx+n，把点 A、D 的坐标代入进行计算即可得解 【解答】解： 令 x=0，则 y= ， 点 A（ 0， ）， 根据题意，点 A、 顶点 C 的纵坐标为 = ， 即 = ， 解得 ， 3， 由图可知， 0， b 0， b= 3， 对称轴为直线 x= = ， 点 ， 0）， 设平移后的抛物线的解析式为 y=x2+mx+n， 则 ， 解 得 ， 所以， y=x+ 故答案为： y=x+ 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的对称性确定出顶点 C 的纵坐标是解题的关键，根据平移变换不改变图形的形状与大小确定二次项系数不变也很重要 三、解 答题：本大题共 6个小题，共 46分 第 22 页（共 31 页） 19（ 1）计算：（ ） 2 6+（ 2） 0+|2 |； （ 2）先化简，再求值： （ x+2 ），其中 x= 3 【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函 数值 【分析】（ 1）根据负整数指数幂、锐角三角函数、零指数幂和绝对值可以解答本题； （ 2）先化简式子，再将 【解答】解：（ 1）（ ） 2 6+（ 2） 0+|2 | =4 6 +1+|2 | =4 3+1+ 2 =2 ； （ 2） （ x+2 ） = = = = ， 当 x= 3 时，原式 = 【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法 20童星玩具厂工人的工作时间为：每月 22天，每天 8 小时工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资 500元，按月结算该厂生产 A、 人每生产一件 生产一件 厂工人可以选择 A、 人小李生产 1 件 A 产品和 1 件 B 产品需 35 分钟；生产 3 件 A 产品和 2 件 B 产品需 85分钟 （ 1）小李生产 1件 15 分钟，生产 1件 B 产品需要 20 分钟 （ 2）求小李每月的工资收入范围 【考点】二元一次方程组的应用 【专题】应用题 第 23 页（共 31 页） 【分析】（ 1）生产 1 件 A 产品需要的时间 +生产 1 件 B 产品需要的时间 =35 分钟，生产 3 件 A 产品需要的时间 +生产 2件 85分钟，可根据这两个等量关系来列方程组求解； （ 2）可根据（ 1）中计算的生产 1件 A， 据 “ 每生产一件 生产一件 得报酬 来计算出生产 A， 钟的获利情况，然后根据他的工作时间，求出这两个获利额，那么他的工资范围就应该在这两个获利额之间 【解答】解：（ 1）设小李每生产一件 生产一件 据题意，得 ， 解得 答：小李每生产一件 生产一件 5分钟和 20分钟； （ 2） w=500+22 8 60 15x） 20，整理得 w= 则 w随 x 的增大而减小， 由（ 1）知小李生产 15= 生产 20= 若小李全部生产 月的工资数目为 22 8 60+500=1556元， 若小李全部生产 月的工资数目为 22 8 60+500= 故小李每月的工资数目不低于 1556元而不高于 【点评】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系： “1 件 A， 1件 5分钟 ” 和 “3 件 A， 2件 5分钟 ” ，列出方程组，再求解 21关于三角函数有如下的公式： + ） = + ） = + ） = 利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如： 45 +60 ） = = = =（ 2+ ） 第 24 页（共 31 页） 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： 如图，直升飞机在一建筑物 方 A 点处测得建筑物顶端 D 点的俯角 =60 ，底端 C 点的俯角=75 ，此时直升飞机与建筑物 2m，求建筑物 高 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【专题】压轴题；阅读型 【分析】先由俯角 的正 切值及 B，再由俯角 的正切值及 、 【解答】解：由于 =60 ， =75 ， 2， 则 C 242 =42 =42（ ）， A、 C 2 ， B 42 =84（米） 答：建筑物 4米 【点评】本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形 22如图 1，四边形 正方形，点 E、 K 分别在 ，点 G 在 延长线上，且K= （ 1）求证： G； （ 2）以线段 边作出正方形 接 想并写出四边形 证明你的猜想 第 25 页（共 31 页） 【考点】正 方形的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】（ 1） 根据正方形性质求出 C， 0 ，根据全等三角形判定推出即可； 根据全等得出 出 0 即可； （ 2）四边形 出 K， 据平行四边形的判定推出即可 【解答】（ 1） 证明： 四边形 C， 0 ， 在 G； 四边形 0 ， 0 ， （ 2）四边形 由如下： 证明： 四边形 B= 0 ， D， 在 ， K， B=90 ， 0 ， 0 ， 80 90=90 ， 四边形 第 26 页（共 31 页） F= 0= 四边形 【点评】此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂 23已知点 O 在线段 长线上，以点 半径作圆，点 上的一点 （ 1）如图 ，如果 O，求证： （ 2）如果 AP=m（ m 1）， ， A、 点 上运动时，求 果用含 m 的式子表示） 【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理 【分析】（ 1）根据夹角相等，对应边成比例可证； （ 2） P， 【解答】（ 1）证明： B+O， = =2， O， （ 2）解：设 OP=x，则 OB=x 1， OA=x+m， A， x 1）（ x+m）， 第 27 页（共 31 页） x= 即 ， ， A， = ，