人教版九年级数学下《第27章相似》专项训练(2)含答案

第 27 章 相似 专项训练 专训 1 证明三角形相似的方法 名师点金： 要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点： (1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例； (2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例； (3)考虑平行线截三角形相似定理及相似三角形的 “ 传递性 ” 利用平行线判定两三角形相似 1如图，四边形 四边形 是平行四边形，点 R 为 中点， 别交 点 P， Q. (1)请写出图中各对相似三角形 (相似比为 1 除外 )； (2)求 (第 1 题 ) 利用边或角的关系判定两直角三角形相似 2下面关于直角三角形相似叙述错误的是 ( ) A有一锐角对应相等的两个直角三角形相似 B两直角边对应成比例的两个直角三角形相似 C有一条直角边相等的两个直角三角形相似 D两个等腰直角三角形相似 3如图， 足为 C， 证： (第 3 题 ) 利用角判定两三角形相似 4如图， 等边三角形， 外角平分线，点 D 在 ， 连接延长，与 于点 E. (1)求证： (2)若 6， 2 长 (第 4 题 ) 利用边角判定两三角形相似 5如图， 33 B， A， E 在同一条直线上 (第 5 题 ) 求证： 利用三边判定两三角形相似 6如图， 高， E， F 分别是 中点求证： (第 6 题 ) 专训 2 巧作平行线构造相似三角形 名师点金： 解题时，往往会 遇到要证的问题 与相似三角形 联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法常作的辅助线有以下几种： (1)由比例式作平行线； (2)有中点时，作中位线； (3)根据比例式，构造相似三角形 巧连线段的中点构造相似三角形 1如图，在 ， E， F 是边 的两个三等分点， D 是 中点，别交 点 P， Q，求 (第 1 题 ) 过顶点作平行线构造相似三角形 2如图，在 ， F 为底边 一点， ，取 中点 D，连接 延长交 点 E，求 (第 2 题 ) 3如图，过 顶点 C 任作一直线，与边 中线 别交于点F 和点 E. 求证： (第 3 题 ) 过一边上的点作平行线构造相似三角形 4如图，在 ， 边 取一点 D，在 取一点 E，使 线 延长线交于点 (第 4 题 ) 过一点作平行线构造相 似三角形 5如图，在 ，点 M 为 的中点，点 E 为 一点，且 14接 延长交 延长线于点 2作辅助线的方法一： (第 5 题 ) 作辅助线的方法二： (第 5 题 ) 作辅助线的方法三： (第 5 题 ) 作辅助线的方法四： (第 5 题 ) 专训 3 用线段成比例法解四边形问题 名师点金： 利用线段成比例不仅能解三角形问 题，还能解四 边形问题在中考中涉及相似、线段成比例的四边形的题型有填空题 、选择题、解答题，是中考热门命题点之一 一、选择题 1如图，菱形 ，点 M， N 在 ， F 2， 3，则 ( ) (第 1 题 ) A 3 B 4 C 5 D 6 2如图，有一块矩形纸片 8， 6，将纸片折叠，使得 B 边上，折痕为 将 右翻折， 交点为F，则 面积为 ( ) (第 2 题 ) C 2 D 4 3如图，在平 行四边形 ， 6， 9， 平分线交 E，交 延长线于 F， ， 4 2，则 周长为 ( ) A 11 B 10 C 9 D 8 (第 3 题 ) (第 4 题 ) 二、填空题 4如图，将矩形纸片 叠，使点 A 与点 C 重合，折痕为 4， 2，那么线段 长为 _ 三、解答题 5如图，矩形 ，以对角线 一边构造一个矩形 得另一边 原 矩形的顶点 C. (1)设 面积 为 面积为 面积为 “”“ ” 或 “”)； (2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明 (第 5 题 ) 6如图，在矩形 ， 6， 8，沿直线 折，使 A， 线 O. (1)求证： (2)求线段 长度 (第 6 题 ) 7如图，在平行四边形 ，过点 A 作 足为 E，连接F 为线段 一 点，且 B. (1)求证： (2)若 8， 6 3， 4 3，求 长 (第 7 题 ) 8如图， E， F 分别是正方形 边 的点，且 边作正方形 于点 Q，连接 (1)求证： (2)若 E 为 中点，求证： Q 为 中点 (3)连接 S S S (2)的条件下，判断说明理 由 (第 8 题 ) 9如图，在正方形 ， E 是 的一点，连接 足为 H，交 F，作 (第 9 题 ) (1) (2)F； (3)10如图，点 P 是菱形 角线 的一点，连接 延长交边点 E，连接 延长交边 点 F，交 延长线于点 G. (1)求证： (2)已知 ，设线段 长为 x，线段 长为 y. 求 y 与 x 的函数关系式； 当 x 6 时，求线段 长 (第 10 题 ) 专训 4 用线段成比例法解与圆有关问题 名师点金： 线段成比例法求解有关线 段问题在三角 形、四边形中有着广泛的应用，是近几年中考命题的必考内容；在中考中，它的另一重点是与圆的知识相结合进行考查；题型既有选择题、填空题，也有解答题，也常以压轴题的形式出现 一、选择题 1如图，已知 直径的圆交 点 D，过点 O 的切线交 点 D 5， 4，则 O 的半径是 ( ) A 3 B 4 (第 1 题 ) (第 2 题 ) 2如图， O 的直径， C 为 O 上一点，弦 分 ， 6， 5，则 长为 ( ) A B C 3 D 如图， A， B， C， D 是 O 上的四个点， 点 E，3， 4，则 长为 ( ) A 3 B 2 3 C. 21 D 3 5 (第 3 题 ) (第 4 题 ) 二、填空题 4如图， O 的直径，点 C 在圆上， 图中与 似的三角形有 _个 5如图，直线 l 与半径为 4 的 O 相切于点 A， P 是 O 上的一个动点 (不与点 A 重合 )，过点 P 作 l，垂足为 B，连接 A x， y，则 x _ (第 5 题 ) 三、解答题 6如图， O 的直径， O 的弦，过点 B 作 O 的切线 延长线交于点 D，作 点 E. (1)求证： E； (2)若 O 的半径为 5， 8，求 长 (第 6 题 ) 7如图，在 ， 直径作半圆 O，交 点 D，连接 点 D 作 足为点 E. (第 7 题 ) (1)求证： 半圆 O 的切线； (2)求证： E. 8如图， 圆 O 的直径，点 C， D 在圆 O 上，且 分 垂线，与 延长线相交于点 E，与 延长线相交于点 F. (1)求证： 圆 O 相切； (2)若 6， 4 2，求 长 (第 8 题 ) 9如图， O 的直径，点 C 在 O 上， 平分线交 O 于点D，过点 D 作 垂线交 延长线于点 E，连接 点 F. (1)猜想 O 的位置关系，并证明你的猜想； (2)若 6， 5，求 长 (第 9 题 ) 10如图， O 的直径，点 E 是上的一点， (1)求证： O 的切线； (2)已知 3， 2，求 长 (第 10 题 ) 11如图， O 的直 径，点 C 为 O 上一点 ， 过点 C 的切线互相垂直，垂足为 E， O 于点 D，直线 延长线于点 P，连接 (1)求证： 分 (2)探究线段 间的数量关系，并说明理由； (3)若 3，求 面积 (第 11 题 ) 答案 专训 1 1 解： (1) (2) 四边形 四边形 是平行四边形 则 12， 12. 点 R 是 中点， 又 12. 2又 3 2 C 3 证明： 3. 又 3， 又 90， (第 4 题 ) 4 (1)证明： 等边三角形， A 60. 120. 外角平分线， 12 12 120 60. A 又 (2)解： 如图，作 点 M，则 3， 3 3. 2 2， D 1. 在 ， 2 7. 由 2 72， 7. 3 7. 5 证明： B， A， E 在同一条直线上， 3， 方法规律： 本题运用了 数形结合思想 和 演绎推理 ，通过已知条件寻找两边成比例并且夹角相等，从而证明两三角形相似 6 证明： 高， 又 E， F 分别是 中点 在 ， 斜边 的中线 12 12. 中位线， 12 12. 专训 2 1 解： 如图，连接 E， F 是边 的两个三等分点， D 是 中点， 中位线 12 2 2 2 设 a，则 2a， 3a. (第 1 题 ) (第 2 题 ) 2 解： 如图，过点 C 作 延长线于点 G. G. 又 D 为 中点， 在 ， G， F ， 52. 3 证明： 如图，过点 B 作 延长线于点 N. 又 12 (第 3 题 ) (第 4 题 ) 4 证明： 如图，过点 C 作 点 F， 5 证明： (方法一 )过点 C 作 点 F， 点 M 为 的中点， 又 14 3 13. 13，即 3又 2(方法二 )过点 C 作 点 F， 又 点 M 为 的中点， 2 2 又 14 2. 又 2. 2(方法三 )过点 E 作 点 F， 由 14 14， 1414 又 12 12 2(方法四 )过点 A 作 延长线于点 F， 14 13 13由 易证得 又 13 2点拨： 由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形 专训 3 一、 、 4. 5 三、 (1) (2) 明：在矩形 ， 90，且点 C 在边 ， 90， F E 90， 在 ， 90， 答案不唯一 ) 6 (1)证明： 由折叠可知， 90， B 又 (2)解： 6， 8， 10， 125， 58， 154 . 7 (1)证明： 四边形 平行 四边形， C B 180， 180， B， ， C， (2)解： 四边形 平行四边形 ， 1)知 6 3 84 3 t ，由勾股定理得 122（ 6 3） 2 6. 8 (1)证明： 由 90， (2)证明： 易证 以 12，所以 2，即点 Q 是 中点 (3)解： 由：因为 以 以 C 90，所以 以 以 以 因为 以 9 证明 ： (1) 90， 90. 在正方形 ， 90， (2) 90， F. (3) 90， F. F， GF10 (1)证明： 点 P 是菱形 角线 的一点， 在 ， P (2)解： 在 ， P ， 12， 13， 32. 32 y 23x. 当 x 6 时， y 23 6 4， 4， 6， 12， 12， 解得 5，故线段 长为 5. 方法规律： 本题运用了 演绎推理 ，考查了相似三角形、全等三角形和函数知识，是一个综合性的问题推出 12， 13是解题的关键 专训 4 一、 、 、 6.(1)证明： O 与 切于 点 B， O 的直径， 0， E 90 90， 90， E. (2)解： 如图，连 接 O 的直径， 90. 8，2 5 10， 90， E， 8610. 403 . (第 6 题 ) (第 7 题 ) 7 证明： (1)如图，连接 半圆 O 的直径， 90. D 为 点 O 为 点， 90， 半圆 O 的切线 (2) 90， 90， E. 8 (1)证明 ： 连接 如图因为 以 D 平分 以 以 D F 垂直于 以 直于 以 圆 O 相切 (2)解： 如图，连接 则 B 是直径，所以 90B 6， 4 2，所以 62（ 4 2） 2 2，所以 E 90，所以 以 以 64 2 2以 4 23 t 22 4 232 矩形，所以 90G 23， 3 23 t ， 32 732 4 23 E 90，所以 以 以 以7334 23所以 2 27 F 4 23 12 27 64 221 . (第 8 题 ) (第 9 题 ) 9 解： (1) O 相 切证明：如 图，连接 1 2. 分 2 3. 1 3. E. D 在 O 上， O 的切线 (2)如图，连接 O 的直径 ， 90，则 11. 3 4， 3 2， 2 4. 90， 1