09年江苏高考数学试卷及答案

2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考公式：样本数据 12,nx 的方差2211(),nni iisxx其 中一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。1.若复数 1249,6ziz，其中 i是虚数单位，则复数 12()zi的实部为_2.已知向量 a和向量 b的夹角为 30， |2,|3ab，则向量 a和向量 b的数量积Ab_ .3.函数32()156fxx的单调减区间为_ 4.函数 sin)(,yA为常数，0,)A在闭区间 0上的图象如图所示，则_ .5.现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 _ .6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表：学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号甲班 6 7 7 8 7乙班 6 7 6 7 91123O xy则以上两组数据的方差中较小的一个为 2s_ .7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 W_ .8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为_ .9.在平面直角坐标系 xoy中，点 P 在曲线3:0Cyx上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P的坐标为_.10.已知512a，函数 ()xfa，若实数 ,mn满足()fmfn，则 ,的大小关系为 _.11.已知集合 2|logAx， (,)Ba，若 AB则实数 a的取值范围是 (,)c，其中 c_ .12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；（2）若 外一条直线 l与 内的一条直线平行，则 l和 平行；（3）设 和 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 和 垂直；（4）直线 l与 垂直的充分必要条件是 l与 内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号_（写出所有真命题的序号）.13如图，在平面直角坐标系 xoy中， 12,AB为椭圆21(0)xyab的四个顶点， F为其右焦点，直线12AB与直线 F相交于点 T，线段 O与椭圆的交点 M恰为线段 OT的中点，则该椭圆的离心率为_.xyA1B2A2OTM开始 0S1T2S02TWST输出 结束YN14设 na是公比为 q的等比数列， |1q，令 1(,2)nba 若数列b有连续四项在集合 53,29,78中，则 6q _二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。15 （本小题满分 14 分） 设向量 (4cos,in)(si,4co),(s,4in)ab（1）若 与 2b垂直，求 ta的值；（2）求 |的最大值;（3）若 tan16，求证： b.16 （本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 1ABC中， E,F分别是 1AB,C的中点，点 D在 1BC上，1D求证：(1) EF 乙（2） 11AB 17 （本小题满分 14 分） 设 na是公差不为零的等差数列， nS为其前 项和，满足223457aa,S（1）求数列 n的通项公式及前 项和 ；（2）试求所有的正整数 m，使得12ma为数列 na中的项. 18 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xoy中，已知圆221:(3)(1)4Cxy和圆222:(4)(5)4C（1）若直线 l过点 ,0A，且被圆 1截得的弦长为 ，求直线 的方程；（2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂的直线 12l乙，它们分别与圆 1C和圆 2相交，且直线 1l被圆C截得的弦长与直线 2l被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标.xyO 11.19.(本小题满分 16 分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为ma；如果他买进该产品的单价为 n元，则他的满意度为na.如果一个人对两种交易(卖出或买进) 的满意度分别为 1h和 2，则他对这两种交易的综合满意度为 12h.现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为 m元和 元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h乙，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙求 h乙和 乙关于 Am、 B的表达式；当35时，求证： 乙= ；设35AB，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？记(2)中最大的综合满意度为 0h，试问能否适当选取 Am、 B的值，使得 0h乙和0h乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。求 乙和 乙关于 Am、 B的表达式；当35AB时，求证： h乙= ；设35AB，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？记(2)中最大的综合满意度为 0h，试问能否适当选取 Am、 B的值，使得 0h乙和0h乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。20(本小题满分 16 分)设 a为实数，函数2()|fxax.若 (0)1f，求 的取值范围；求 x的最小值；设函数 (),()hfxa，直接写出(不需给出演算步骤) 不等式 ()1hx的解集.参考答案1.【答案】 20【解析】略2.【答案】3【解析】32Aab3.【答案】 (1,)【解析】2303(1)fxxx，由 (1)0x得单调减区间为 (,)。4.【答案】3【解析】 2T，23，所以 3，5.【答案】0.2【解析】略6.【答案】 5 【解析】略7.【答案】22【解析】略8.【答案】1：8【解析】略9.【答案】 (2,5) 【解析】略10.【答案】 mn【解析】略11.【答案】4【解析】由 2logx得 04， (0,A；由 B知 4a，所以 c4。12.【答案】 （1） （2） 【解析】略13.【答案】 275e【解析】用 ,abc表示交点 T，得出 M 坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.14.【答案】 9【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减 1，观察即可得解.15.【解析】由 a与 2bc垂直，()0c，即 4sin8os()， tan()2；(,4csib2 2|siinoc16o316si70si75，最大值为 32，所以 |bc的最大值为42。由 tan16得 sin16cos，即cos0，所以 b. 16.【解析】证明：（1）因为 E,F分别是 1AB,C的中点，所以 EF/BC，又EF面 ABC， 面 ，所以 乙；（2）因为直三棱柱 1，所以 11面 ， 1AD，又1D，所以 B面 ，又1AF面，所以 11AFDC乙 。xyA1B2A2OTMABCA1B1C1EFD17.（1）设公差为 d，则22543aa，由性质得 4343()()daa，因为 0，所【解析】以 0，即 150，又由 7S得1762a，解得 1a，d所以 n的通项公式为 27n，前 n项和26Sn。（2）12753m()(m)a，令 3t，1242ma(t)86t，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因为 t是奇数，所以 t可取的值为 1，当 t， 2m时，863t，2573，是数列 na中的项； t， 1时，15t，数列na中的最小项是 5，不符合。所以满足条件的正整数 2m。18.【解析】(1) 0y或7(4)x，(2)P 在以 C1C2 的中垂线上，且与 C1、C2 等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点 P坐标为31(,)2或5(,)2。 19.【解析】(1)=,=,5320ABABmmhh 乙甲 (3,125,0)ABm当35AB时，235=,5(0)(512BBmmh甲 235=,20(5)0)BBhmm乙显然 乙甲 (2)当35AB时，2 211= ,205(0)()0()5BBBBBmhmm甲由15,2,5BB得，故当 即 ,1A时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为020.【解析】 （1）若 ()1f，则20|11a