概率论在体育比赛应用

概率论在体育赛事中的应用摘 要概率论是主要研究随机现象的一门数学学科与我们的生产生活联系非常紧密。因此在现代社会人们对于概率论的相关应用已经越来越重视，所以学习并掌握好概率论对于分析研究以及解决生产生活中出现的随机现象有着很好的指导意义。因为，人们对于体育比赛关注和热爱程度的普遍提高，概率论在体育比赛当中所起到的作用也就会越来越明显。的确，掌握好概率论对于现代许多体育比赛有很大的帮助。本文将会通过一些典型的体育比赛案例结合概率论相关知识进行解释说明，将概率论在体育比赛中的应用进行很好的总结。关键词：概率论 体育比赛 实际应用一、基础知识1.1 组合定义：从个不同的元素中任意选取个元素合成一组（不考虑元素间的顺序），则称这个是一个组合，这种组合的总个数表示为 ，其中rnC!)1()!rnrACn1.2 概率的定义和性质定义：随机事件 发生的可能性的大小的数值，称为随机事件 发生的概A A率，记作 )(P性质：1。非负性：即 ；0)(2。规范性：即若 是必然事件，那么则有 ；M1)(MP3。有限可加性：即假如事件 和事件 互不相容，那么则会有CD；)()(DPCP1.3 条件概率与乘法公式条件概率：如果两个事件 是条件 下的两个随机事件， ，则BA,S0)(AP称在事件 发生的前提条件之下事件 发生的概率为条件概率，并记作A。其中 。)(BP)()(P乘法公式：由 ，我们可以得到 ,此等B)(A)()(ABPA式即为乘法公式。1.4 事件的独立性独立性：对于任意的两个事件 和 ，如果 成立，那么AB)()(BPA则称事件 和 是相互独立的，并简称为独立的。AB1.5 全概率公式和贝叶斯公式完备事件组：如果事件 满足以下两个条件n211. 互不相容并且n21 ),1(0)iAPi2. UAn21则 是一个完备事件组全概率公式：设随机试验对应的样本空间为 ，设 是样本空间 UUAn21的一个完备事件组， 是任意一个事件，那么有B贝叶斯公式：设 是样本空间的一个完备事件组，B 是任意一个事An21件，并且 则有0)(BPnl lliiii PA1)()(1.6 重贝努利实验n重要定理：在 重贝努利试验中，设每次试验中事件 的概率为 （Ap） ，则那么事件 恰好发生 次的概率即为: 10pAk)(kPknknPC)1(.2,nk1.7 离散型随机变量离散型随机变量的定义：若随机变量 只取有限多个或者可列的无限多个X值，那么则称 为离散型随机变量。X离散型随机变量的分布列：设 为离散型随机变量，可能的取值为,且 , ,那么则称 为 的分布列。分布列 xk21Pxk.21 PkX也可以用如下表格形式来表示。Xx1x2 xkPpp p分布列所具有的性质：（1） 0k.2,1n（2） 1kP1.8 随机变量的分布函数分布函数的定义：设 为随机变量，称函数X为 的分布函数。),(,)(xXPxFkX分布函数的一些性质：(1) 1)(0(2) 是单调不减函数xF(3) )(,)(（4） 右连续 x1.9 连续型随机变量连续型随机变量的定义：假如对于随机变量 的分布函数 ,存在非负X)(xF可积函数 ,使得对于任意的实数有 = ()xftd，于是我们则称 为连续()fx )(FX型随机变量，并且函数 为 的概率密度函数，有时简称为概率密度。)(xfX概率密度的性质：1. 0)(f2. xd13. ()fxd)(aFbXaP14. 设 为 的连续点，则 存在，并且 =x)(f)(Fxf1.10 随机变量的期望离散型随机变量的期望：设离散型随机变量的分布列为 ，kPxX那么则称和数 为随机变量 的数学期望，简称为期望。记作kpx1X)(E连续型随机变量的期望：设连续型随机变量 X 的概率密度为 ，则称xP()xpd为随机变量 的期望。记作 )(E二、概率论在体育赛事中的应用2.1 概率论在设计比赛中的应用射击这一运动是中国的一个传统优势项目，每届奥运会中国射击队都能夺得不少金牌和奖牌，因此中国射击队一直是中国奥运代表团的一个金牌大户，由于中国射击队每次奥运会都能取得很好的成绩，所以中国射击队一直受到大家的重视。射击这一运动与概率论有着十分广泛的联系。下面通过以下两个例子来探讨一下概率论在射击比赛中的应用。2.1.1 事件的独立性在射击比赛中的应用下面请读者一起来探讨一下独立性在射击中的应用问题 3：由于离2012 年伦敦奥运会越来越近了，所以我国许多已经获得奥运会比赛资格的射击运动员们都在刻苦训练，积极备战，在国家队某射击训练馆中有甲乙两名射击运动员正在训练，两射击选手彼此独立地向同一目标进行射击，设甲选手射中目标的概率为 0.7，乙选手射中目标的概率为 0.6，求目标被击中的概率是多少？运用事件的独立性的相关知识结合上题分析可得，设事件 表示甲射中目A标，事件 表示乙射中目标，事件 C 表示目标被射击中，那么就有 CB,B又由于事件 和事件 都独立且 , ,所以有A7.0)(AP6.)(B8.07)() BPC所以综上所述目标被击中的概率为 0.88由以上事例我们可以看出事件的独立性在多人射击比赛中有着十分广泛的应用,对于同一目标进行射击时如果射击的人数越多则目标被命中的概率也就越大，与此同时我们还可以看出不同射击选手的射击命中概率并不影响其他选手的命中概率。2.1.2 n 重贝努利实验在射击比赛中的应用问题一：一年轻射击选手为了备战明年在辽宁省将要举行的第十二届全国运动会正在刻苦努力进行训练以争取为在所在的代表队能多拿金牌，一天射击训练中，该选手对同一目标独立的射击 4 次，每次射击的命中率为 0.8，求（1）恰好命中两次的概率；（2）至少命中一次的概率分析：因为每次射击都是相互独立的，所以这个问题可以看成是 4 次贝努利实验 8.0p（1）设事件 表示 4 次射击恰好命中两次，所以所求的概率为A1536.0)2.()(2CP（2） 设事件 表示 4 次射击中至少命中一次，事件 表示 4 次射击都没有BC射击中，那么有 C,则有 98.0)2.(801)()( 44PP综上所述恰好命中两次的概率为 0.1536；至少命中一次的概率为 0.9984问题二：一射击运动员在一次日常训练中对一目标独立地进行射击 4 次，如果至少命中一次的概率为 801，求这个射击运动员射击一次命中目标的概率是多少？分析：设事件 A 表示运动员 4 次射击全没有命中目标，事件 B 表示射击一次命中目标；则 =1-801= = ()PB,那么 ()= 13,于是 2()3P)(P因此这个射击运动员射击一次命中目标的概率即为上述事例说明 n 重贝努利实验对于预测射击运动员命中目标次数的概率由很好的指导作用。当我们想预测射击运动员在若干次射击后命中目标的次数时就可以结合 n 重贝努利实验的公式进行计算预测。22 概率论在乒乓球比赛中的应用乒乓球是中国老百姓都很喜欢的一项运动，在中国经常打乒乓球的人很多，而且高手也很多。乒乓球作为中国的国球一直受到许多中国人的重视与关注，当然中国乒乓球队自成立到现在始终在世界乒乓球坛以王者自居，而且为我们祖国取得了无数的冠军和荣誉，中国乒乓球队不仅是中国人的骄傲也是亚洲甚至世界的骄傲。面结合概率论的一些知识我们来谈一谈概率论在乒乓球比赛中究竟有哪些应用。相关问题一：现在许多乒乓球单打比赛中都规定，在五局的比赛中赢三局比赛的运动员获胜，在第 49 届世界乒乓球锦标赛中,我国运动员王励勤和马琳会师男单决赛,根据实际排名和以往的战绩统计,每赛一局马琳胜的概率为0.6，王励勤胜的概率为 0.4，当比赛前两局结束时，马琳以 2:0 暂时领先，求马琳在以后的比赛中获胜的概率是多少？结合上述题目我们进行分析，已知前两局比赛就结束时马琳以 2:0 暂时领先，所以第三局比赛如果马琳再次取胜，那么马琳就将赢下这场比赛；但是如果第三局比赛如果王励勤获胜的话，马琳想获得本场比赛胜利必须在第四局比赛中战胜王励勤；然而如果王励勤接连赢下第三第四局的话，马琳如果想获胜必须在第五局中打败对手王励勤。因此设事件 表示马琳获得胜利，那么A=0.6+0.40.6+0.40.40.6=0.936)(P所以综上所述马琳在以后的比赛中获胜的概率是 0.936。相关问题二：小王和小李两人都是乒乓球爱好者，两者都经常打乒乓球，一次小王想找小李进行一次乒乓球挑战，两人约定这次乒乓球挑战赛谁输了谁就要请对方吃饭，而根据以往小李与小王打过的比赛估计，小李每局比赛战胜小王的概率为 0.4，而小王战胜小李的概率却为 0.6，那么选择哪一种比赛场次对小李更有利一些呢？是三战两胜，五战三胜，还是七战四胜？ 5看到了小李的困惑，我们应该用我们学过的概率论的相关知识来帮助他解决他心中的疑虑，所以结合上述的条件，我们来进行具体的分析 6对于小李而言，如果他选择了三局两胜，事件 表示小李前两局均获胜，A事件 表示前两局比赛，小李和小王各胜一局，第三局小李获胜从而小李取得B最终胜利。则 ， 所以采取三局两胜16.0)4.(2AP 192.04)6.(0)(12CBP制时，小李获胜的概率为 359如果小李选择了五战三胜的话，设事件 表示小李前三局全胜；事件 表AB示小李前三局赢了两局，第四局战胜了小王，最终获胜；事件 表示小李和小C王前四局各赢两场，第五局小李获胜。那么由上述 , ,则064.).(3AP 152.04)6.(0)(235CBP所以选择五局三胜制时小李获胜的概率为1826.0)4()22CP7.15.如果小李选择了七战四胜制的话，设事件 表示小李前四局全胜；事件A表示小李前四局赢了三局，第五局获胜；事件 表示小李前五局赢了三局，B C第六局战胜了小王， ；事件 表示小李和小王前六局各自赢了三局，第七局小D李胜利。那么由上述条件， 0256.)4.(AP, ，610.)(4.0)(3CBP 09216.4).0(239.6D那么选择七战四胜制时小李获胜的概率为: 287.015.926.014.25.0所以由上述三种情况可以看到，比赛的局数越少，小李获胜的概率就越大，所以小李选择三局两胜制更有利于他自己。 7同时从上面这三种情况我们也可以总结出一种比赛设置的局数越多越有利于实力占优势的选手或者队伍，从而也就越公平公正，而比赛局数设置的过少，则有利于实力稍弱的选手或队伍，这种情况下往往容易出现爆冷的情况，因此一种体育比赛设置合理的局数是十分重要的。所以我们可以看到在一些大型重要比赛的决赛中设置的局数都相对较多：比如 NBA 总决赛的七战四胜制；斯诺克台球世锦赛决赛的 35 局 18 胜制等。这样设置的目的都是有利于实力强的一方，从而保证了比赛的公平和公正。23 概率论在网球比赛中的应用2011 年中国网球金花李娜在网球场上不断给大家带来惊喜，2011 年 1 月举行的澳大利亚网球公开赛上李娜一路杀进到了决赛，虽然最终没有获得冠军，但是却让许多中国人为她感到骄傲，随后的法国网球公开赛，中国金花李娜在法网女单决赛中以 2:0 击败了上届法网冠军意大利选手斯齐亚沃尼夺得了中国网球史上甚至是亚洲网球史上的第一个女子大满贯单打冠军。由于李娜的不断突破以及中国网球的崛起，网球这一运动也越来越受到中国人的关注和支持，并且越来越多的中国人加入到了这一世界流行的运动中促使了中国网球运动不断提高和进步。下面我们就网球运动涉及到的概率论知识进行讨论在打网球时我们常常会遇到机会球,对于机会球的处理许多业余网球运动爱好者往往会用尽全力去打以求一击得分,而对于那些职业运动员在这种情况下却只会用七八成左右的力去处理并进行连续攻击。看过网球比赛的人都知道很明显职业网球运动员处理机会球的方式更加合理有效，而业余运动员处理的方式却有不小漏洞并且经常会使自己失分。下面我们来用概率知识对上面的现象加以解释:问题举例:网球比赛时对处理机会球一拍狠击和多拍连续击打的得分概率的比较 在前一种情况下，一拍狠击的打法,如果成功的话,则对方回球失误概率高达 0.8（即对方可能回球出界，可能回球下网也可能接不住球）。但是如果球被对方防回,则进攻方因为在第一次击球时已经用尽全力无法进行有效的防守而容易导致进攻方自己反而因此防不住对手的回球而失分，这种情况是许多网球选手不愿意看到，可是这种情况在网球场上却时有发生，有时在一些级别较高的比赛上（比如四大满贯）也可以经常看到这种情况。而在后一种情况下，连续进攻打法假如第一拍打中,对方回击失误概率为0.7,如果球被对方防回,但是由于进攻方在第一次击球时没有用尽全力便可以防住对手的回球,假设进攻方连续的第二拍攻击打中并且能使对方回球失误的概率保持在 0.7 。那么我们来把上述两种情况的得分概率进行一下比较：在前一种情况之下的得分概率为 P=0.8(1-0.8)0=0.8；而在后一种情况之下的得分概率为 =0.7(1-0.7)0.7=0.91；所以我们根据上面的两种情况可以归纳总结出如果再连续击打三拍的得分概率为 =0.7(1-0.7)0.7+（1-0.7)(1-0.7)0.7=0.973连续击打四拍的得分概率为 =0.7(1-0.7)0.7(1-0.7)(1-0.7)0.7(1-0.7）（1-0.7)（1-0.7)0.7=0.9919所以当连续击打了 n 拍时的概率为 =0.7(1-0.7）0.7(1-0.7）P（1-0.7）0.7( 1-0.7） n-10.71当 n 趋向于无穷大时，进攻方得分的概率可以接近到 100%， 8所以这就解释了为什么有经验的职业网球运动员在遇到机会球时往往只会用七八成左右的力进行连续攻击而不是寻求一击制胜，因为这样他们得分的概率会更大，对自己会更有利。以上就是用我们熟悉的概率论的知识解决了网球中出现的机会球的处理问题。希望能给读者一些启发和思考，也希望能给希望打网球的爱好者一些有益的启示。2.4 概率论在篮球比赛中的应用近年来随着姚明，林书豪等越来越多的中国或者华裔球员在 NBA 取得成功以及 NBA 在中国市场的成功运作使得 NBA 在中国越来越受到中国人的欢迎。在在中国许多中国人特别是年轻人们特别喜欢篮球这项运动，他们经常打篮球，看篮球，热爱篮球给他们带来的快乐。在在中国看 NBA 比赛成为了一种时尚。现在由于在中国看 NBA 比赛直播的人越来越多，所以人们对于比赛结果的预测越来越感兴趣，尤其是对于季候赛的预测。下面我就利用概率论中数学期望的一些知识来解释说明概率论在篮球比赛中到底有哪些应用。问题举例：2013 年 4 月底 NBA 的季后赛大幕正式拉开，竞争更加激烈的比赛开始了。在西部我们很熟悉的火箭队，由于亚裔球星林书豪的加盟，备受国人关注，火箭队首轮对手是杜兰特领衔的雷霆队，根据 NBA 赛制规定，NBA 季后赛实行的是七战四胜制的赛制，比赛规则如下：比赛双方中先取得四场比赛胜利的球队淘汰对手晋级下一轮比赛，采取 2-2-1-1-1 的赛制规则对于这一轮比赛大家有不少人对这轮比赛的可能场次进行了预测，有的预测要打四场，有的认为打五场，有的觉得可能打六场，甚至还有人认为会打七场比赛。下面是官方的专家给出的预测：对西部头号种子雷霆对战第八名火箭的系列赛，专家们则普遍认为雷霆将轻松过关。8 名参与预测的专家中有 7 位都认为雷霆将在 5 场之内解决战斗，甚至索普还认为火箭会遭横扫出局。只有文霍斯特一人对火箭略有信心，他认为雷霆将打到第 6 场才能晋级半决赛。既然如此我不妨用期望的知识来对比赛场次进行预测以解决大家非常关心的问题。由于雷霆队是西部第一，所以我们假设每场比赛雷霆队获胜的概率为 ，6.0火箭队获胜的概率为 ，由于比赛双方中先取得四场比赛胜利的球队可以淘4.0汰对手晋级下一轮比赛，所以这一轮比赛结束时所进行的场次数只能为四、五、六、七这四种结果。下面我们进行分析。假设比赛结束时进行了四场比赛，如果雷霆队获胜晋级则概率为, 1296.0).(4P如果是火箭队队获胜晋级则概率为 0256.)4.(P因此比赛结束时进行了四场比赛的概率为 19.0.152假设比赛结束时进行了五场比赛，如果雷霆队最终获胜晋级，那么雷霆队获得了第五场比赛的胜利，则在前四场比赛中雷霆队已经赢了其中三场比赛，那么雷霆队前四场比赛赢了三场的概率为 ,因此雷霆346.)0(6.34C队赢下此系列赛的概率为 。但假如是火箭队最终获胜0.3456.27P晋级的话，那么火箭队赢得了第五场比赛而且前四场比赛获得了三场比赛的胜利，所以火箭队获得此系列赛胜利的概率应为因此比赛结束时进行了五场的概率为0614.).0(43CP.27628假设比赛结束时进行了六场比赛，如果雷霆队最终胜利晋级，那么雷霆队获胜晋级的概率即为 ，如果火箭队最终赢得比20736.).(235CP赛晋级的话，那么火箭队获胜晋级的概率为 09216.4).(25CP所以比赛结束时进行了六场比赛的概率为 591.假设比赛结束时进行了七场比赛，如果是雷霆队最终获胜晋级，则雷霆队获胜晋级的概率为 ，最终如果是火箭队赢得胜168.0)4.(6033CP利晋级下一轮，那么火箭队晋级的概率应为 ，10592.4).0(33CP那么比赛结束时一共进行了七场比赛的概率是 7685.由以上讨论的情况做成随机变量的分布列 X4 5 6 7P0.1552 0.2688 0.29952 0.27648则以上随机变量的数学期望为 =()EX9728.524.0729.068.512.04 那么由上述期望结果我们可以大约算出雷霆队与火箭队的第一轮比赛大约要进行 5 场或者 6 场。 92.5 概率论在足球比赛中的应用2.5.1 全概率公式在足球比赛中的应用足球号称世界第一运动，因为在全球范围内无论是哪个国家或者地区都有许多喜欢足球，热爱足球甚至从事足球这项运动的人。四年举行一次的世界杯更是球迷们的狂欢节。中国同样有许多热爱足球的人,中国国家队水平不高经常让中国老百姓失望，但是这丝毫不会减少大家对足球的热情，作为一个中国人我希望中国足球会越来越好。下面我们来看看大家都喜爱的足球与概率论到底有哪些关联相关问题：在某届欧洲杯足球比赛上，西班牙，德国，英格兰和荷兰队进入到了四强，这四支球队中的一支将有希望最终夺冠。决赛四强对阵情况是西班牙对阵英格兰，而德国将与荷兰队争夺另一个进入决赛的名额，由于四支球队都是强队，所以两场半决赛将会十分激烈。先比赛完的一场半决赛中世界第一西班牙队战胜了英格兰队率先进入了决赛，大家此时都将目光放到了西班牙队上，根据以往的比赛成绩，西班牙战胜德国的概率为 0.8，战胜荷兰队的概率为 0.3，而德国队战胜荷兰队的概率为 0.5，那么西班牙球迷迫切想知道西班牙队最终能获得冠军的概率究竟是多大？对于上面西班牙球迷十分迫切关心的问题，让我们来利用概率的知识来帮助他们解决他们心中的疑虑。由于西班牙队已经率先挺进决赛，所以还没有完成的德国和荷兰的比赛对于最终的冠军归属有很大的影响，如果德国战胜了荷兰队，那么西班牙队就有80%的可能性夺冠，但是如果荷兰队取得了半决赛的胜利，那么西班牙队夺冠的希望只有 30% 根据以上条件，把西班牙队夺冠记为事件 ，德国战胜荷兰记C为事件 ，而荷兰战胜德国则记为事件 。 由全概率公式，CA()0.5,().PBA则 是一个完备事件组，那么有公式就可以得出,AB()()()PBPAC其中可以看出 以及 是条件概率, 表示西班牙在决赛战()PCB胜了另一场半决赛的胜者德国队夺冠, =0.8, 表示西班牙队在决()A赛战胜了另一场半决赛的胜出者荷兰队夺冠, =0.3。所以根据上述公式（全概率公式）我们就可以计算出西班牙队最终夺冠的概率为=()()()PCBPAC0.58.03.5所以西班牙队最终夺冠的概率应该为 55%10看到了西班牙队的最终夺冠的概率，西班牙队的球迷应该可以松一口气，好好享受西班牙队在决赛上的精彩表演啦，因为西班牙队夺冠概率还是比较大的。以上是利用了全概率公式的知识解决了足球比赛中的常见问题，希望能给读者和球迷一些帮助。2.5.2 排列和组合在足球比赛中的应用每次举行一些足球比赛时经常要事先安排好比赛场次，为了能使足球比赛顺利进行。下面就是举办足球比赛时经常遇到的一类问题。某大学要举行一次校园足球比赛以增强大学生的体质，学校规定每个学院至少要派出一支球队参加这项赛事，最终一共有 12 支球队参加这次比赛。这12 支球队要进行单循环比赛来决出最后的冠军，那么一共需要安排多少场比赛才能保证比赛顺利进行？通过以上问题的条件分析，可以知道这是概率论中典型的排列组合问题，即从 12 支球队中任意选取 2 支球队进行组合的一类问题，所以选法一共有=1=662