保险精算 第1章 利息理论基础

Actuarial Science1保险精算第第 1 章章 利息理论基础利息理论基础1.1 利息度量利息度量1.2 年金年金Actuarial ScienceActuarial Science2保险精算1.1 利息度量利息度量1.1.1 实际利率和实际贴现率实际利率和实际贴现率1.1.2 单利和复利单利和复利1.1.3 名义利率和名义贴现率名义利率和名义贴现率3利息所谓 利息 （ Interest），是指在一定时期内借款人向贷款人支付的使用资金的报酬。利息的 实质 是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。 Interest利息影响利息大小的要素 ：本金 ：业务开始时投资的金额时期长度 ：从投资日开始到收回的时间跨度度量期、期：年业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻的 积累值 （ Accumulated value，或终值）。为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始时投入的本金金额称为该积累值的 现值 （ Present Value）4利息t期积累函数（因子）总量函数t期折现函数（因子）折现因子 ,记为第 n期利息0 t1- 1Actuarial Science6保险精算利息度量：计息时刻不同利息度量：计息时刻不同7实际利率与实际贴现率某一度量期的 实际利率 （ Effective annual rate）是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投入的本金金额之比。通常用字母 表示。一个度量期的 实际贴现率 为该度量期内取得到的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字母 表示。实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是用来度量利息的。8实际利率与实际贴现率某人以 1本金开始一项业务，实际利率为 ，则在一度量期末可收回金额 ，而利息（贴现）金额为，若这笔业务的实际贴现率为 ，则9实际利率与实际贴现率用 表示从投资日算起的第 个度量期的实际利率，则：用 表示从投资日算起的第 个度量期的实际贴现率，则：其中， 为大于等于 1的整数其中， 为大于等于 1的整数应用实例例 某人存 1000元进入银行，第 1年末存款余额为 1020元，第 2年存款余额为 1050元，求 、 、 、 分别等于多少？解则10Actuarial Science11保险精算利息度量：积累方式不同利息度量：积累方式不同12单利与复利考虑投资一单位本金。如果其在 时的积累值为则该笔投资以每期单利计算，并将这样产生的利息称为 单利 （ Simple interest）。如果其在 时的积累值为则该笔投资以每期复利计算，并将这样产生的利息称为 复利 （ Compound interest）。13单利与复利单利 计息时，第 期的实际利率为：结论： 关于 单调递减，即常数的单利意味着递减的实际利率。14单利与复利复利 计息时，第 期的实际利率为：结论： 关于 为常数，即常数的复利意味着恒定的实际利率。单利与复利对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值，即 。所以 短期业务 一般 单利 计息。时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值，即 。所以 长期业务 一般 复利 计息。15应用实例例 某银行以单利计息，年息为 2%，某人存入 5000元，问 5(0.5)年后的积累值是多少？若以复利计算，其他条件不变，问 5(0.5)年后的积累值是多少？解元元单利复利16元元Actuarial Science17保险精算利息度量：转换频率不同利息度量：转换频率不同18名义利率与名义贴现率“ 实际 ” 一词的主要含义在于，利息为 每个度量期支付一次 ，或在期初，或在期末，视具体情况而定。然而，实际上有很多 在一个度量期中利息支付不止一次或在多个度量期利息才支付一次 的情形。这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “ 名义 ” 的。19名义利率与名义贴现率用 符号记每一度量期支付 次利息的名义利率。所谓 名义利率 （ Nominal interest）是指每 个度量期支付利息一次，而在每个度量的实际利率为 。即每一个度量期 的名义利率等价于每 度量期 的实际利率。20名义利率与名义贴现率时间点 0 1/m 2/m (m-1)/m m/m=1利息 余额 1 21名义利率与名义贴现率用 符号记每一度量期支付 次利息的名义贴现率。所谓 名义贴现率 是指每 个度量期支付利息一次，而在每个度量的实际利率为 。即每一个度量期 的名义利率等价于每 度量期 的实际利率。22名义利率与名义贴现率时间点 0 1/m (m-2)/m (m-1)/m m/m=1贴现 余额 123名义利率与名义贴现率应用实例例 (1)求与实际利率 8%等价的每年计息 2次的年名义利率以及每年计息 4次的年名义贴现率。（ 2）已知每年计息 12次的年名义贴现率为 8%，求等价的实际利率。解（ 1）24（ 2）应用实例例 求 1万元按每年计息 4次的年名义利率 6%投资 3年的积累值。解25元26利息力在很多情况下，需要度量在每一个时间点上的利息，也就是在无穷小时间区间上的利息。这种对利息在各个时间点上的度量称为 利息力 （或利息强度）。假设在 时刻的资金总量由总量函数 给出，这笔资金完全由于利息而变化，即本金既不增加也不撤回。定义式中， 为该投资额在 时的利息强度。 27利息力复利 计息时Actuarial Science28保险精算1.2 年金年金1.