教师培训课件：新课程教学设计案例

Teaching Design of HPMl 运用历史的两种方式1 历史材料的直接利用2 历史启示下的教学方法 发生教学法Teaching Design of HPMl 严格演绎的方法更强调结果，而忽略导致该结果的问题。引入新概念、理论、证明的动机被隐藏了。（弗赖登塔尔： “违反教学法的颠倒 ”）l 严格历史的方法主要关心 “学科发展过程中起作用的思想、事件的精确记录 ”Teaching Design of HPMl 发生教学法基本思想：在学生具备 足够的动机后 、在心理发展的 适当时间 讲授某个主题。让学生认识到所引入的新主题乃是解决问题需要。不强调如何运用理论、方法和概念，而强调为什么它们为特定的数学问题提供了答案。Teaching Design of HPM教师需要：l 了解该概念的历史发展过程；l 确定历史发展过程中的若干关键环节（步骤）一个环节发展到下一个环节的动因是什么？数学家遇到何种困难和障碍？l 在此基础上，重构这些环节（步骤），使其适合于课题教学；l 设计出一系列由易至难、环环相扣的问题（可以是历史上的问题或改编的问题）Teaching Design of HPMFuringhetti: 将数学史用于数学教学的过程Teaching Design of HPM设计发生教学法时影考虑的因素：l 学生的学习（心理学领域）l 概念的历史（数学史领域）l 数学教材l 课程标准案例 1 一元一次方程概念一元一次方程历史的重构 案例 1 一元一次方程概念例 1、（ 1）有一块面积为 240平方米的长方形空地，长为 20米，求宽。（ 2）如果要在这块空地的一头建一座房子，要求留下 72平方米做草坪，则房子地基的长应为多少？设房子的长为 x米，试建立关于 x的方程。 (四则 )例 2、（ 1）已知电线杆的 3/14部分在地下。若地下部分长为2.7米，则电线杆的总长为多少？（ 2）已知电线杆的 3/14部分在地下。若地上部分长为 10米，则电线杆总长为多少？设电线杆的总长为 x，试建立关于 x的方程。 (四则 )案例 1 一元一次方程概念例 3、小强的爸爸和小强做数学游戏。爸爸让小强在心里随便选定一个数（但不要说出来），按如下步骤做计算：将这个数乘以 5，再将所得乘积加上 6，再将所得和乘以 4，再将所得乘积加上 9，最后，将所得的和乘以 5。经过计算，小强得到 465。小强爸爸立刻说出小强心里选定的那个数。你知道这个数是多少吗？试列出方程。 (四则 )案例 1 一元一次方程概念例 4、（ 1）甲、乙、丙三人制砖，一天各能完成 300、 250和200块。三人合作制砖 1500块，需多长时间？（ 2）若甲先工作一天后乙、丙加入，还需多长时间？设需 x天完成，试列出关于 x的方程。 (合作 )例 5、（ 1）第一艘船从甲地出发，需行 5天才抵达乙地；第二艘船从乙地出发，需行 7天才能抵达甲地。今两船各从甲、乙两地同时出发，相向而行，问几天后相遇？（ 2）如果第二艘船先行 2天，第一艘船才出发，那么，两船几天后相遇？设 x天后两船相遇，试列出关于 x的方程。 (行程 )案例 1 一元一次方程概念题 次 未知数（ x） 方 程 问题 来源1 （ 1） 长 方形的 宽 九章算 术（ 2） 房子地基的 长2（ 1） 电线 杆的 长 计 算之书 （ 2） 电线 杆的 长3 小 强 心里 选 定的数 17世 纪 趣味数学 问题4（ 1） 完成天数 希腊 选 集（ 2） 完成天数5（ 1） 相遇 时间 计 算之书 （ 2） 相遇 时间案例 1 一元一次方程概念l 例 6、开学第一天，小明问新来的数学老师几岁了，数学老师回答说： “取我年龄的一半，加上我年龄的 1/3，又加上我年龄的 1/4，最后再加上我的年龄，总数刚好是 100。 ”请问新来的数学老师多大了？试列出一元一次方程。（定和）案例 1 一元一次方程概念例 7、自从小淳上初中以来，爸爸妈妈每月都给他同样数目的零用钱，并让他把每次花钱的情况记录下来。 9月份，小淳的消费记录如左表。问：小淳每月的零用钱有多少？ ”试列出一元一次方程。(定和 )日 期 花 费 情况 用 途9月 1日 花去 1/2 计 算器9月 5日 花去剩下的 1/3 教 辅书9月 12日 花去剩下的 1/4 笔和 纸9月 19日 花去剩下的 1/5 涂改液9月 26日 花去剩下的 1/6 电 池总 计 100元案例 1 一元一次方程概念例 8、在一次课外活动中，菁菁班里有一半同学去听讲座，三分之一的同学去踢球，七分之一的同学去跑步。剩下菁菁一人在琴房练琴。请问菁菁班里共有多少人？试列出一元一次方程。（余数）例 9、在意大利数学家斐波纳契所著的 计算之书 （ 1202）中，有这样一个问题： “一人经过 7座大门进入乐园，摘苹果若干。当他离开果园时，他把一半苹果加上 1个苹果给了第一个门卫；把剩下的一半加上一个给了第二个门卫；类似地，依次把剩下的苹果分给其他五个门卫。当他离开果园时，只剩下了 1个苹果。问：此人在乐园摘了多少个苹果？ ”试列出一元一次方程。（余数）案例 1 一元一次方程概念题 次 未知数 (x) 一元一次方程 问题 来源6 数学老 师的年 龄 益智 问题 集 计 算之 书 7 小淳每月零花 钱 数 九章算 术 8 菁菁班里 的人数 希腊 选 集 9 苹果数 计 算之 书 案例 1 一元一次方程概念练习：1、一个水池，有两个进水口和两个排水口。用第一个进水口注水， 1天可注满；用第二个进水口注水， 2天可注满。用第一个排水口排水， 3天可排完；用第二个排水口排水， 4天可排完。问：同时打开两个进水口和两个排水口，多长时间可注满水池？ ”试建立一元一次方程。（改编自 九章算术 、 希腊选集 和 计算之书 ）2、第一艘船从甲地出发，需行 5天才抵达乙地；第二艘船从乙地出发，需行 7天才能抵达甲地。今两船各从甲、乙两地同时出发，相向而行，问几天后第二次相遇（假设两船到达的目的地后，各自立即返回）？试列出一元一次方程。（改编自 九章算术 和 计算之书 ）案例 1 一元一次方程概念3、在约制作于公元前 1800年的巴比伦泥版上，有这样一道题： “我找到一石，但未称其重量。它的 6倍，加上 2 斤，再加上 所得重量 三分之一的七分之一的 24倍，共重 60斤。问：石子原重几何？ ”试列出关于石重的一元一次方程。4、在印度算书 丽罗娃蒂 （ 12世纪）中有这样一个问题： “某数乘以 5，减去乘积的 1/3，余数除以 10；又加上此数的 2倍、 1/2、 3/4，得 68。求此数。 ”列出一元一次方程。案例 1 一元一次方程概念5、小明花 77元买 4本书。第二本书的价格是第一本的 2/3；第三本的价格是第二本的 3/4；第四本的价格是第三本的4/5。求各本书的价格。 ”列出一元一次方程。（改编自 计算之书 ）6、菁菁有苹果若干。她把其中的三分之一、四分之一、五分之一和八分之一分别给了四位好朋友。又给她妈妈 10个，自己只剩下一个苹果。问：菁菁原有几个苹果？列出一元一次方程。（改编自 希腊选集 ）案例 1 一元一次方程概念7、成书于公元 4世纪的 孙子算经 卷下有这样一道题： “今有器中米，不知其数。前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升。问：本米几何？ ”（注： 1斗 = 10升）列出一元一次方程。8、斐波纳契 计算之书 中设题：一人临终前对他的长子说， “你们之间这样来分我的可动财产：你拿 1比赞和余下财产的 1/7”；又对次子说， “你拿 2比赞和余下财产的 1/7”；又命第三个儿子拿 3比赞和余下财产的 1/7 。这样依次分下去，他给每个儿子比前一个儿子多 1比赞以及余下财产的 1/7 。把剩余的最后一份财产分给最小的儿子后，恰好不再有剩余。结果，每个儿子所得恰好一样多。问此人有几个儿子，有多少财产？列出一元一次方程。案例 1 一元一次方程概念9、自己设计一个可用一元一次方程来求解的实际问题。本设计的主要目的是让学生经历从实际问题中寻找数量关系、建立一元一次方程这一数学模型的过程，并了解一元一次方程的概念。一方面，通过历史上出现过的各类实际问题，让学生体会一元一次方程对于问题解决的必要性，从而创造学生对于该知识点的强烈的学习动机；另一方面，根据重构的历史顺序，从学生已有的知识出发，由易至难对问题进行编排，体现一元一次方程概念的可接受性，从而遵循了学生学习数学的心理规律。从下表中我们看到，发生教学法与新课程的理念或要求是一致的。 案例 1 一元一次方程概念发 生教学法的特征 新 课 程的理念主 题 之必要性 数学模型可以有效地描述自然 现 象和社会 现 象数学学 习 内容 应 当是 现实 的、有意 义 的、富有挑 战 性的教 师应 激 发 学生的学 习积 极性，向学生提供充分从事数学活 动 的机会主 题 之可接受性数学教学活 动 必 须 建立在学生的 认 知 发 展水平和已有的知 识经验 基 础 之上案例 1 一元二次方程的概念案例 2 一元二次方程的概念例 1 矩形面积为 12，宽为长的 3/4。问该矩形的长、宽各为多少？（埃及纸草书）例 2 已知矩形面积为 60，长比宽多 7。问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。例 3 已知矩形面积为 60，长宽之和为 17，问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。 （巴比伦泥版 ）案例 2 一元二次方程的概念序 问 题 地 区 时 间1 长 30英尺的梯子靠墙直立，当顶端沿墙下移 6英尺时，底端离墙移动多远 ？ 巴比 伦 公元前 1600-1800年2一根芦苇靠墙直立，当顶端沿墙下移 3英尺时，底端离墙移动 9英尺。问芦苇有多长 ？巴比伦 公元前 100年3 今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐。引 木却行一尺，其木至地。问木长几何？ 中 国 公元 1世 纪4 长 20英尺的矛，靠塔直立。若将底端离墙外移 12英尺，则尖端抵塔多高？ 意大 利 1202年5长 25英尺的梯子，斜 靠在墙上，顶端距墙角比底端距墙角远 17英尺。问梯子顶端距墙角的距离为多少？美 国 1970年案例 2 一元二次方程的概念例 4 长为 30英尺的梯子竖直靠在墙上，当梯子的顶端沿墙向下滑动 6英尺时，底端离墙滑动多远？例 5 在例 3 中，如果梯子的顶端沿墙再一次向下滑动 6英尺，那么底端将再一次滑动多远？试列出底端再一次滑动的距离所满足的方程。案例 2 一元二次方程的概念例 6 如图，有一所正方形的学校，南门和北门各开在南、北面围墙的正中间。在北门的正北方 20米处有一颗大榕树。一个学生从南门出来，朝正南方走 14米，然后转向西走 1775米，恰好见到学校北面的大榕树。问这所学校每一面围墙的长度是多少？试列出方程。案例 2 一元二次方程的概念案例 2 一元二次方程的概念l （展示图片）现在大家看到的是中世纪欧洲最伟大的一位数学家，他叫斐波纳契。他在