教师培训课件：数学建模中的风险决策

风险决策的例n 渔船是否出海？n 是否应该投资房产业？n 如何填报高考志愿？共同点：要求在具有不确定因素下作出决策n 为什么说这是一个骗局（随机变量及数学期望） 问题提出：小华在一次旅游途中看到，有人用 20 枚签（其中 10 枚标有 5 分分值， 10 枚标有 10 分分值）设赌。让游客从中抽出 10 枚，以 10 枚签的分值总和为奖、罚依据。具体奖罚金额见下表：这些奖是不是这么好拿呢？让我们来做一番计算。分值 50， 100 55， 95 60， 65， 85， 90 70， 75， 80奖罚金额 奖 100元 奖 10元 不奖不罚 罚 1元随机变量及其分布 :用 X 表示奖罚金额。 X 以一定的概率取值，我们称 X 为 随机变量 。此处， X 的取值范围为 -1、 0、 10、 100，我们又称之为 离散型随机变量。X 取以上 4个值的概率：X -1 0 10 100P 0.82110 0.17781 1.0825*10-3 1.0825*10-5数学期望 :如何来计算平均值？设想上表中的第二行不是相应的概率值，而是 n次试验相应的频率值。那么在这 n 次试验中， X 的 实际 平均值为：当试验次数越来越大时，频率将稳定于概率。上式算出的不是 n 次试验中 X 的 实际 平均值，而是指：如果把试验一直进行下去，我们 期望能得到的 理论上 的平均值。数学上称之为 数学期望 （ expectation），记为 EX。利用数学期望的概念，可以得出这样的结论：近似地说，所有参加的人平均每人给摊主 0.81元。人数越多，这种说法就越精确。n 他该如何选择（风险决策）数学期望最优决策和填志愿问题提出：小华参加高考前需填报三个志愿。根据其学习成绩及对各专业（学校）的喜好程度得到下表：专业 喜好程度 第一志愿 第二志愿 第三志愿(学校 ) 分值 录取概率 录取概率 录取概率A 10 0.2 0 0B 9 0.4 0.1 0C 8 0.6 0.5 0.3D 6 0.9 0.9 0.7他该如何选择？ 客观状况带有随机性的决策称为 风险决策。决策准则是：使决策在平均意义下达到最优。即在客观状况带有随机性波动的情况下，追求的是目标均值（数学期望）的最优化。替小华做参谋决策准则是：使喜好程度得分 X 的数学期望 EX最高。学校录取学生是按志愿依次录取。若第 3志愿还未被录取，小华将高考落第。所以应先考虑第 3志愿。C、 D 两种选择的喜好程度得分期望值分别为：E3(XC) =0.3*8=2.4， E3(XD) =0.7*6 = 4.2。因为 E3(XD) E3(XC）， 第 3志愿应选择 D 。再考虑第 2志愿，在 B、 C、 D这 3种选择中，喜好程度得分期望值分别为 ：E2(XB) = 0.1*9+0.9*4.2 = 4.68 E2(XC)= 0.5*8+0.5*4.2 = 6.1 ；E2(XD) = 0.9*6+0.1*4.2 = 5.82。因为 E2(XC) E2(XD) E2(XB） ， 第 2志愿应选择 C。最后再考虑第 1志愿。喜好程度得分期望值分别为 ：E1(XA)=0.2*10+0.8*6.1=6.88； E1(XB)=0.4*9+0.6*6.1=7.26；E1(XC)=0.6*8+0.4*6.1=7.24；因为： E1(XB) E1(XC) E1(XA) , 所以第 1志愿应选择 B。小华第 1、第 2、第 3志愿应分别选择 B， C， D。 验血问题问题提出：全校 1500名同学都参加了学校组织的体检。 如果检验阳性率 p 较低，而需检验的人数又很多。用下面这种方法进行验血是否可以减少化验次数：按 k 个人一组进行分组 , 把从 k 个人抽来的血混合在一起进行检验。如果这混合血液呈阴性反应，就说明 k 个人的血都呈阴性反应。若呈阳性，则再对这 k 个人的血分别进行化验。如果这种方法进行验血可以减少化验次数的话，那么 k 等于几时，可以使检验次数最少？以 X 表示某人的验血次数。若按常规方法验血，每人验一次，则 X=1为常数；若进行分组，则 X 为随机变量：当此人所在小组的混合血液呈阴性反应时 X=1/k ；当此人所在小组的混合血液呈阳性反应时 X=1+1/k 。PX=1/k=P该小组的混合血液呈阴性反应 =P小组的每一位成员的血液均呈阴性反应 =（ 1-p） k； PX=1+1/k=P该小组的混合血液呈阳性反应 =P小组中至少有一位成员的血液呈阳性反应 =1-（ 1-p） k。X的概率分布为： X 1/k 1+1/kp （ 1-p） k 1-（ 1-p） k平均验血次数EX= 1/k*（ 1-p） k+(1+1/k )*( 1-（ 1-p） k)=1-（ 1-p） k+1/k.当 p已知时，我们可以选取 k 使之最小。例如 p=0.1， 当 k = 4时， EX=1-0.9 k+1/4=0.594。所需的平均验血次数为 n=1500* 0.594= 891次 面包房进货问题问题提出：一家面包房，某种面包每天的需求量为 100、 150、 200、 250、 300的概率分别为 0.2、 0.25、 0.3、 0.15和 0.1。每个面包的进货价为2.50元，销售价为 4元，若当天不能售完，剩下的只能以每只 2元的价格处理。每天该进多少货？（进货量必须是 50的倍数）X 为随机变量其概率分布为：X 100 150 200 250 300p 0.2 0.25 0.3 0.15 0.1利润用 L 表示；进货量用 y 表示。有： L依赖于进货量 y 和需求量 X， 所以 L也是随机变量。这是一个风险决策问题。决定进货量应以平均利润 E(L) 为标准。当 y=100 时 , EL=1.5y=150(元 )；当 y=150 时 ,若 X=100， 则 L=2X-0.5y=125（ 元）；若 X150， 则 L=1.5y=225（ 元）；L的概率分布为：L 125 225p 0.2 0.8EL=0.2*125+0.8*225=205(元 )；当 y=200 时若 X =100， 则 L=2X-0.5y=100（ 元）；若 X =150， 则 L=2X-0.5y =200（ 元）；若 X 200， 则 L=1.5y=300（ 元）；L的概率分布为：EL=0.2*100+0.25*200+0.55*300=235(元 )L 100 200 300p 0.2 0.25 0.55当 y=250 时若 X = 100， 则 L=2X-0.5y=75（ 元）；若 X = 150， 则 L=2X-0.5y =175（ 元）；若 X = 200， 则 L=2X-0.5y =275（ 元）；若 X 250， 则 L=1.5y=375（ 元）；L 的概率分布为：L 75 175 275 375p 0.2 0.25 0.3 0.25EL=0.2*75+0.25*175+0.3*275+0.25*375=235（ 元） 当 y=300 时L的概率分布为：比较可得：当 y=200 或 y=250 时 L最大。每天进 20