概率论与数理统计

习 题 一（A）1、写出下列随机现象的基本事件空间（1）一次（没有顺序）抛两枚完全相同的硬币，观察每枚硬币出现正面还是反面；（2）先后投两颗骰子，观察每颗骰子出现的点数；（3）向某目标射击直到命中目标为止，观察射击的次数；2、在分别标有 9,10 数字的 10 张卡片中任取一张，令 A表示事件“抽得一张标号不大于 3 的卡片”； B表示事件“抽得一张标号为偶数的卡片 ”；C表示事件 “抽得一张标号为奇数的卡片 ”。请用基本事件表示下列事件：BA， ， ， A， ， C， B， CA)(3、某厂生产流水线上甲、乙、丙 3 部机床是独立工作的，并由一人看管，若用 C,分别表示某段时间内甲、乙、丙机床不需要照顾。试用 B,表示下列事件:（1）这段时间内有机床需要看管；（2）这段时间内因机床故障看管不过来而停工。4、判断下列结论是否正确（1） BAA （2） AB)(（3） )( （4） )C()(5、先用图示法简化下列各式，在利用定义或运算律证明（1） )(CBA （2） )(BA（3） )()(6、先后抛两枚匀称的硬币，求至少出现一个正面的概率。7、盒中有 a个白球，及 b个黑球，从中任取 mn（ ba,），求所取的球恰有 n个白球和 m个黑球的概率。8、盒中有 个白球，及 个黑球，从中任意接连取 1k次（ ），球被取出后不还原，求最后取出的球是白球的概率。9、有 r封信随机地投入 n个邮筒，求下列事件的概率:（1）某指定 k)(r个邮筒中各只有一封信；（2）有 )(个邮筒中各只有一封信；（3）某指定的一个邮筒中恰有 )(rk封信.10、从正整数 1、2、 N 中有放回地抽取 n个数，求抽到的最大数恰好是 k的概率11、自前 n个正整数中随意取出两个数，求两个数之和是偶数的概率 p。12、从 双不同的手套中任取 k2只，求其中恰有 )(2km只配成 双的概率。13、某地铁每隔五分钟有一列车通过，某乘客对列车通过该站时间完全不知道，求该乘客到站等车时间不多于 2 分钟的概率。14、设事件 A与 B互不相容，且 pAP)(， qB)(，求 )(ABP，)(P， )(， )(P15、盒中有 10 个球，6 个白球，4 个黑球，从中一次任取 3 球。求至少有一个白球的概率。16、投两颗匀称的骰子,求至少有一颗的点数大于 3 的概率。17、设 CBA,为事件,证明: )()()()()()( ABCPACPBCPP )()(BACB18、将一枚硬币重复掷 12kn次，试求正面出现的次数多于反面出现的次数的概率。19、在某铁路编组站需要编组发往三个不同地区 1E， 2和 3的各 2 节、3节和 4 节车皮。假设编组的顺序是完全随机的，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率 。20、某市一项调查表明:该市有 30%的学生视力有缺陷。7%学生听力有缺陷,3%学生视力与听力都有缺陷,记 E“学生视力有缺陷”， H“学生听力有缺陷”， EH“学生视力与听力都有缺陷”。（1）已知学生视力有缺陷，问他听力有缺陷条件概率；（2）已知学生听力有缺陷，问他视力缺陷条件概率；（3）随意找一个学生，他视力没有缺陷但听力有缺陷的概率；（4）随意找一个学生，他视力有缺陷但听力没有缺陷的概率；（5）随意找一个学生，他视力和听力都没有缺陷的概率。21、10 件产品，其中 6 件合格品，4 件次品，从中依次取两次，取后不还原，求第二次才取到正品的概率。22、设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任意取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也不合格的概率。 23、10 个考签中有 4 个难签，甲、已、丙 3 人依次参加抽签（不放回）求下列事件的概率：（1）甲抽到难签；（2）甲、已都抽到难签；（3）甲没抽到难签，已抽到难签；（4）甲、已、丙都抽到难签。24、盒中有一个红球和一个白球，先从盒中任取一球，若为红球，则试验终止，若取到白球，则把白球放回的同时再加进一个白球，然后再取下一球，如此下去，直到取得红球为止。求第 n次取到红球的概率25、设 CBA,是三个相互独立的随机事件，且 1)(0CP，判断下列给定的四对事件是否相互独立：（1） 与 （2） AC与 （3） BA与 C (4) B与26、设 A、 B 相互独立， ,3.0)(,2.)(PA求下列条件概率：（1） )|(P；（2） )|(B；（3） )|(BA；（4）|(27、一架飞机有二个发动机，向该机射击时，仅当击中驾驶舱或同时击中二个发动机时，飞机才被击落。又知击中驾驶舱概率为 ，击中每个发动机概率为 ，求飞机被击落的概率。28、甲、乙、丙 3 部机床独立的工作(流水线上)，由一人看管，某段时间内各机床不需要看管的概率分别是 0.9，0.8，0.85。求下列事件的概率：（1）在这段时间内有机床需要看管；（2）因机床看管不过来而停工。29、某型号的高射炮，每门命中敌机的概率为 0.4,现若干门炮同时射击,欲以 99%的把握击中敌机,问至少要配置几门高射炮?30、用晶体管装配某仪表要用 128 个元器件，改用集成电路元件后，只要用 12 个就够了，如果每个元器件能用 2000 小时以上的概率是 0.996，假如只有当每一个元器件都完好时，仪表才能正常工作，试分别求出上面两种场合下仪表能正常工作 2000 小时的概率。31、甲、乙两人进行乒乓球比赛，根据以往经验每局甲胜的概率为 p（21p），问对甲而言，采取三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利，设各局胜负相互独立。32、有甲、乙两口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球。（1）求取到白球的概率；（2）若从乙袋取出白球，问从甲袋中取到哪种颜色的可能性大？33、玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，设每箱含 0，1，2，只残品的概率分别为 0.8、0.1 和 0.1，顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看 4 只，若无残品，则买下，否则，退回。求（1）售货员随意取一箱，顾客买下的概率；（2）在顾客买下一箱中，没有残品的概率。34、一大批产品，次品率为 0.1，每次任取一件，取后不还原，求三次中恰有两次取到次品的概率。35、某工厂每天用水量保持正常的概率为 43，求一周内用水量至少 5 天保持正常的概率。（B）1、设有 n个质点，每个质点都以概率 N1落入 （ n）个盒子中的每一个里，对质点和盒子在以下三种假定下，求事件 A：“某预先指定的 n个盒中各含一质点”的概率：（1）（麦克斯韦尔-波尔茨曼 Maxwell-Boltzmann）假定 个质点是可以分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限；（2）（包泽-爱因斯坦 Bose-Einstein）假定 n个质点是不可分辨的，还假定每个盒子至多只能容纳一个质点；（3）（费米-笛瑞司 Fermi-Dirac）假定 个质点是不可分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限.2、假设事件 BA,的概率为 7.0)(5.)(BAP， ，问(1) 在什么条件下概率 )(P最大？最大值等于什么？(2) 在什么条件下概率 AB最小？最小值等于什么？3、设事件 A,满足 1)(0， 1)(0， 1)()(BAP，证明与 B独立。4*、设 n ,21为事件序列，证明（1）若 1nA ,，则)(lim)(1nnnAP；（称为下连续性）（2）若 1nA ,2，则)(lim)(1nnnAP。（称为上连续性）5、假设在 6 张同样的卡片上分别写有 6,2 。从 6 张同样的卡片先后随意取出两张。求后取出的数比先取出的数小的概率 6、（匹配问题） n个战士的枪混放在一起，紧急集合时每个战士随意拿一支枪，问至少有一战士拿到自己枪的概率。7、甲、乙两人比赛射击，每回射击胜者得一分，每回甲胜概率为 ，乙胜概率为 且 1，比赛进行到一方比对方多 2 分为止，多 2 分者为胜，求甲胜的概率。8、空战中甲机先向乙机开火,击落乙机的概率为 0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是 0.3，若甲机未被击落，则再攻击乙机，击落乙机的概率是 0.4，求在这几个回合中甲、乙机分别被击落的概率。9、空气被污染的主要原因来自工业和汽车排放的废气两方面。今后五年内能有效地控制这两种污染的概率分别是 0.75 和 0.60。如果有一种被控制，则符合大气检测标准的概率为 0.80。求（1）今后五年内空气污染被控制的概率多大？（2）如果五年后空气污染未被控制，问完全是有汽车造成的污染的可能性多大？10、设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.70 可以直接出厂;以概率 0.30 需要进一步调试,经调试后以概率 0.80 可以出厂,以概率 0.20 定为不合格品不能出厂,现该厂新生产了 n( 2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求：(1)全部能出厂的概率 ；(2)其中恰好有两件不能出厂的概率 。浏览器不支持嵌入式框架，或被配置为不显示嵌入式框架。 习 题 一（A）1、写出下列随机现象的基本事件空间（1）一次（没有顺序）抛两枚完全相同的硬币，观察每枚硬币出现正面还是反面；（2）先后投两颗骰子，观察每颗骰子出现的点数；（3）向某目标射击直到命中目标为止，观察射击的次数；解（1）若 i“有 i枚正面朝上 ” 2,10i，则 ),210（2）用 ),(yx表示“第一次投出 x点，第二次投出 y点”，则6,21,)(（3）若 i“射击 i次才命中目标 ” ,21i，则Ni， 为自然数集。2、在分别标有 9,10 数字的 10 张卡片中任取一张，令 A表示事件“抽得一张标号不大于 3 的卡片”； B表示事件“抽得一张标号为偶数的卡片”； C表示事件 “抽得一张标号为奇数的卡片”。请用基本事件表示下列事件：BA， ， ， BA， ， C， B， CA)(解 令 i表示“抽得一张标号为 i的卡片” 9,10i，则3,210A， 8,6420B， 9,7531C。因此， ,， 2,0AB， 9,7531C， 3,1BA， 8,64A， BC，C， 3,1)(3、某厂生产流水线上甲、乙、丙 3 部机床是独立工作的，并由一人看管，若用 ,分别表示某段时间内甲、乙、丙机床不需要照顾。试用 CBA,表示下列事件:（1）这段时间内有机床需要看管；（2）这段时间内因机床故障看管不过来而停工。解 （1） BC或 （2） CBAA或 CB4、判断下列结论是否正确（1） B （2） A)(（3） A)( （4） )CB()(解 （1） （2） （3） （4）5、先用图示法简化下列各式，在利用定义或运算律证明（1） )(CBA （2） )(BA（3） )()(BA解 （1） C)(（图示略）证明： )()()(BABCAB)(C（2） AB)(（图示略）证明： )()()( BAA（3） BBA)()( （图示略）证明： )()()( BA)(BAAAB6、先后抛两枚匀称的硬币，求至少出现一个正面的概率。解 43)(AP7、盒中有 a个白球，及 b个黑球，从中任取 mn（ ba,），求所取的球恰有 n个白球和 m个黑球的概率。解 mnbaCAP)(8、盒中有 个白球，及 个黑球，从中任意接连取 1k次（ ba），球被取出后不还原，求最后取出的球是白球的概率。解 baPCAkba1)(9、 有 r封信随机地投入 n个邮筒，求下列事件的概率:（1）某指定 k)(r个邮筒中各只有一封信；（2）有 )(个邮筒中各只有一封信；（3）某指定的一个邮筒中恰有 )(rk封信.解 因为每一封信都有 n个邮筒可供选择，所以 r封信投放到 n个邮筒共有 r种。（1）某指定 k)(r个邮筒中各只有一封信，其可能的总数为 krkrC)(!，于是，所求的概率为rkkrnCP)(!1（2）有 k)(r个邮筒中各只有一封信，其可能的总数为krkrnC)(!，于是，所求的概率为rkrknCP)(!2（3）某指定的一个邮筒中恰有 )(rk封信，其可能的总数为 krkrnC)(1，于是，所求的概率为rkknCP)(1310、从正整数 1、2、 N 中有放回地抽取 n个数，求抽到的最大数恰好是 k的概率解 “所取数不大于 k”与“所取数不大于 1k”的差额即“所取数的最大者 ”。因此，所求的概率 pnNk)1(11、自前 n个正整数中随意取出两个数，求两个数之和是偶数的概率 p。解 这是一道古典型概率的题引进事件 A取出的两个数之和是偶数 若 kn2为偶数，则自前 n个正整数中随意取出两个数有 2Cn种不同取法，其中导致事件 的有 2Ck种（“取到两个偶数”和“取到两个奇数”各 2Ck种），因此 )1(2C)(nAkP若 12kn为奇数，则自前 n个正整数中随意取出两个数有 2n种不同取法，其中导致事件 A的有 21Ck种（“取到两个偶数”的 2Ck种，“取到两个奇数”的 21Ck种），因此 nAnk21)()(21P于是，两个数之和是偶数的概率为 为 奇 数 ， 若 为 偶 数 ， 若 np 21)(12、从 n双不同的手套中任取 k2只，求其中恰有 )(km只配成 双的概率。解 knmmCp2)()(13、某地铁每隔五分钟有一列车通过，某乘客对列车通过该站时间完全不知道，求该乘客到站等车时间不多于2 分钟的概率。解 设 A=每一个乘客等车时间不多于 2 分钟，乘客到该站时刻为 ,(21T， 为前一列车开出时刻， 2T为后一列车到达时刻， 512T， )(TA，由几何概型的概率得)(AP.14、设事件 与 B互不相容，且 pAP)(， qB)(，求 )(AP， )(B， )(AP， )(B解 0)(AP， qp)(， )(， qp1)(15、盒中有 10 个球，6 个白球，4 个黑球，从中一次任取 3 球。求至少有一个白球的概率。解 记 “至少有一个白球”，则 A“均为黑球 ”。302914CAP)()(16、投两颗匀称的骰子,求至少有一颗的点数大于 3 的概率。解 记 iA“第 i颗的点数大于 3” 21,i， 21621)()(AP， 416321)(AP。43212121 )()()( APP。17、设 CBA,为事件,证明: )()()()()()( ABCPACPBCPP )()(BACB提示：利用两个事件的广义可加性18、将一枚硬币重复掷 12kn次，试求正面出现的次数多于反面出现的次数的概率。解 设 A正面出现的次数多于反面，则 A正面出现的次数不多于反面 由于掷的次数 12kn是奇数，可见 正面出现的次数小于正面于是，由对称性知 和 A的概率相等：21)(P19、在某铁路编组站需要编组发往三个不同地区 1E， 和 3的各 2 节、3 节和 4 节车皮。假设编组的顺序是完全随机的，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率 解用乘法公式来解引进事件： iB发往 i的车皮相邻 ),1(i将发往 21,E和 3三个不同地区统一编组，且使发往同一地区的车皮恰好相邻的总共有 3=6 种不同情形，其中每种情形对应 B, 和 的一种排列，且 6 种排列都是等可能的，因此 )(621pP由乘法公式，有.126057! 389 2)|()|()( 13121321 BBPP 04.26)(632120、某市一项调查表明:该市有 30%的学生视力有缺陷。7%学生听力有缺陷,3%学生视力与听力都有缺陷,记E“学生视力有缺陷” ， H“学生听力有缺陷 ”， EH“学生视力与听力都有缺陷”。（1）已知学生视力有缺陷，问他听力有缺陷条件概率；（2）已知学生听力有缺陷，问他视力缺陷条件概率；（3）随意找一个学生，他视力没有缺陷但听力有缺陷的概率；（4）随意找一个学生，他视力有缺陷但听力没有缺陷的概率；（5）随意找一个学生，他视力和听力都没有缺陷的概率。解 （1）1.03.)()(EPH（2） 70.)()(EP（3）04.7.)31()(1)()( HPEHP（4） 20)()()( EP（5） 6.0)()(1)(1)()( EHPHEPH21、 10 件产品，其中 6 件合格品，4 件次品，从中依次取两次，取后不还原，求第二次才取到正品的概率。解 令 A=“第一次取到正品”，B=“第二次取到正品”，则“第二次才取到正品”= BA154960)/()( ABPA22、设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任意取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也不合格的概率。 解 设 iA任取两件恰有 i件不合格品， 2,1i。 51)/()()()( 20621041221212 CAPAPP或 设 i表示第 i件不合格， ,i。 51)/()()( 206210412212 CAPAP23、10 个考签中有 4 个难签，甲、已、丙 3 人依次参加抽签（不放回）求下列事件的概率：（1）甲抽到难签；（2）甲、已都抽到难签；（3）甲没抽到难签，已抽到难签；（4）甲、已、丙都抽到难签。解 设 CBA,分别表示甲、已、丙抽到难签。（1） 104)(P；（2） 1529304)()(AB（3）6)()(P（4） 30182914)()()( ABCABC24、盒中有一个红球和一个白球，先从盒中任取一球，若为红球，则试验终止，若取到白球，则把白球放回的同时再加进一个白球，然后再取下一球，如此下去，直到取得红球为止。求第 n次取到红球的概率解 设 iA=“第 i次取球取得白球” ni,21则 n121 “第 k次取到红球”，在第 k次取球时，盒中共有 个白球和一个红球，所以)(121nAP )()()( 12121121 nnnn APAPAP )(325、设 CBA,是三个相互独立的随机事件，且 1)(0CP，判断下列给定的四对事件是否相互独立：（1） 与 （2） AC与 （3） BA与 C (4) B与解 （1）独立；（2）不独立；（3）独立；（4）独立26、设 A、 B 相互独立， ,3.0)(,2.)(BPA求下列条件概率：（1） )|(P；（2） )|(；（3） )|(BA；（4） )|(BAP解 （1） )|(BA= 2)(P（2） )|(P= 15)(（3） )|(BAP= 27)(P（4） )|(=1)(27、一架飞机有二个发动机，向该机射击时，仅当击中驾驶舱或同时击中二个发动机时，飞机才被击落。又知击中驾驶舱概率为 ，击中每个发动机概率为 ，求飞机被击落的概率。解 记 A=“击中驾驶舱”B“击中第一个发动机 ”C“击中第二个发动机”E“飞机被击落”则 )(BA)()()(ABCPPE因 CBA,相互独立，得 2)()()()( CPBAPEP28、甲、乙、丙 3 部机床独立的工作(流水线上)，由一人看管，某段时间内各机床不需要看管的概率分别是0.9，0.8，0.85。求下列事件的概率：（1）在这段时间内有机床需要看管；（2）因机床看管不过来而停工。解 令 CBA,分别表示甲、乙、丙机床不需要照顾。E表示有机床需要看管F表示机床看管不过来而停工则 ABCE CBA（1） )()()()() PPP11 3805890. （2） )()()()() CBAPCBAPFP059. )()()()()()( PBA29、某型号的高射炮，每门命中敌机的概率为 0.4,现若干门炮同时射击,欲以 99%的把握击中敌机,问至少要配置几门高射炮?解 设配置 n门炮同时射击，令 iA“第 i门射击命中 ” ni,21则“击中敌机”=niA1 nniinini ni APPP ).()()()()( 601111 欲以 99%的把握击中敌机，须满足 9061.).(n即 016.).(n298.lg可见需要配置 10 门炮，才能以 99%把握击中敌机。30、用晶体管装配某仪表要用 128 个元器件，改用集成电路元件后，只要用 12 个就够了，如果每个元器件能用 2000 小时以上的概率是 0.996，假如只有当每一个元器件都完好时，仪表才能正常工作，试分别求出上面两种场合下仪表能正常工作 2000 小时的概率。解 设事件 A为“仪表正常工作 2000 小时”，事件 iA为“第 i个元器件能工作到 2000 小时”。（1）使用晶体管装配仪表时，应有 5906128128.)()()APP（2）使用集成电路装配仪表时，应有 953061212.)()()APAP比较上面两个结果可以看出，改进设计，减少元器件数能提高仪表正常工作的概率。31、甲、乙两人进行乒乓球比赛，根据以往经验每局甲胜的概率为 p（ 21），问对甲而言，采取三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利，设各局胜负相互独立。解 采用三局二胜制最终甲获胜的概率为)(pp121采用五局三胜制最终甲获胜的概率为 23243232 )1()1(pCpp而 01312 )()p可见，采用五局三胜制对甲有利。32、有甲、乙两口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球。（1）求取到白球的概率；（2）若从乙袋取出白球，问从甲袋中取到哪种颜色的可能性大？解 （1）令 A=“从甲袋中取出的是白球”B=“从乙袋中取出的是白球”则 125)/()/()( ABPAPB（2） 54)(/)/(1)(/)/(BPAA故从甲袋中取出的球是白球的可能性大。33、玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，设每箱含 0，1，2，只残品的概率分别为 0.8、0.1 和 0.1，顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看 4 只，若无残品，则买下，否则，退回。求（1）售货员随意取一箱，顾客买下的概率；（2）在顾客买下一箱中，没有残品的概率。解 令 iA=“任取一箱中有 i只残品” 2,10i， B=“任取一箱，顾客买下”。已知 80.)(P， 1.)(A， 2.)(P，且不难算出10)(AB， 1.)(， 192)(B。（1）由全概率公式得 )(BP94020.)(iii ABP（2）由逆概率公式得 850000 .)()()/( BPAP34、一大批产品，次品率为 0.1，每次任取一件，取后不还原，求三次中恰有两次取到次品的概率。解 123290.)(,CBP=0.02735、某工厂每天用水量保持正常的概率为 43，求一周内用水量至少 5 天保持正常的概率。解 701143143767257 .)()()( CCP（B）1、设有 n个质点，每个质点都以概率 N1落入 （ n）个盒子中的每一个里，对质点和盒子在以下三种假定下，求事件 A：“某预先指定的 n个盒中各含一质点”的概率：（1）（麦克斯韦尔-波尔茨曼 Maxwell-Boltzmann）假定 n 个质点是可以分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限；（2）（包泽-爱因斯坦 Bose-Einstein）假定 n 个质点是不可分辨的，还假定每个盒子至多只能容纳一个质点；（3）（费米-笛瑞司 Fermi-Dirac）假定 n 个质点是不可分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限.解 （1）（麦克斯韦尔-波尔茨曼 Maxwell-Boltzmann）假定 n 个质点是可以分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限。 nNAP!)(（2）（包泽-爱因斯坦 Bose-Einstein）假定 n 个质点是不可分辨的，还假定每个盒子至多只能容纳一个质点 nNCAP1)(（3）（费米-笛瑞司 Fermi-Dirac）假定 n 个质点是不可分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限.nNCAP1)(提示：从 n个不同的元素可重复任取 r个元素的组合数是rnC1。2、假设事件 BA,的概率为 7.0)(5.)(BAP， ，问(1) 在什么条件下概率 P最大？最大值等于什么？(2) 在什么条件下概率 )(最小？最小值等于什么？解 (1) 由于 BA， ，可见 )()(BAAPP， ，从而)(min)(BABPP，由于 )(BAP，可见 5.0)()(in)( ABABPP，于是当概率 5.0)(ABP时 )(最大(2) 由加法公式可见 )()()( ABBAPP， )()()( BAP显然当 1)(BAP时， )(达到最小值： 2.01)()(BAPP3、设事件 BA,满足 1)(0AP， 1)(0B， )()(，证明 A与 B独立。证明 因为 )()( 即 1)()(PA则 )(1)(BPAA整理后，有 )()(因此， A与 B独立。4*、设 n ,21为事件序列，证明（1）若 1nA ,，则)(lim)(1nnnAP；（称为下连续性）（2）若 1nA ,2，则)(lim)(1nnnAP。（称为上连续性）证明 （1 ） 1nA)()(23121A由可列可加性有 1nAP)( )()()()( 23121 APAP)(limnAP（2）)(1n1-)(_1n1-)(li)(nn1)(limnAP)(lin5、假设在 6 张同样的卡片上分别写有 6,21 。从 6 张同样的卡片先后随意取出两张。求后取出的数比先取出的数小的概率 解 以 X和 Y分别表示先后取出的卡片上的数， kYXAYk, )6,2( 易见 632AA 先后取出两张卡片，总共有 3056种不同情形，其中导致 62,A 的相应为1,2,3,4,5 种，于是 2130543021)()()( 6AAPP6、（匹配问题） n个战士的枪混放在一起，紧急集合时每个战士随意拿一支枪，问至少有一战士拿到自己枪的概率。解 令 iA“第 i名战士拿到了自己的枪 ”， ni,21，由广义加法公式得到!1)(!312)(1 nPn 7、甲、乙两人比赛射击，每回射击胜者得一分，每回甲胜概率为 ，乙胜概率为 且 1，比赛进行到一方比对方多 2 分为止，多 2 分者为胜，求甲胜的概率。解 由题意知每回比赛与上回是独立的，令 B“甲胜”， 1A“第一、二回甲胜”， 2A=“第一、二回各胜一局”。 )()()( 2211APABP易知 )(1， )(2故 )()(BPP2即 21)(B8、空战中甲机先向乙机开火,击落乙机的概率为 0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是0.3，若甲机未被击落，则再攻击乙机，击落乙机的概率是 0.4，求在这几个回合中甲、乙机分别被击落的概率。解 设 E“甲机被击落 ”, F“乙被击落”, iA“乙第 i次受攻击被击落” 2,1i1B“甲第 1 次受攻击被击落 ”)()1APE24.038.)(11ABP或 )()()( 1111AEPAEP24.03.0842.04.078)()()( 12111 22BAPAPBF或 42.04.078)()()(1.)( 1111 1BAFPABPFAP9、空气被污染的主要原因来自工业和汽车排放的废气两方面。今后五年内能有效地控制这两种污染的概率分别是 0.75 和 0.60。如果有一种被控制，则符合大气检测标准的概率为 0.80。求（1）今后五年内空气污染被控制的概率多大？（2）如果五年后空气污染未被控制，问完全是有汽车造成的污染的可能性多大？解 设 1A“工业污染被控制”， 2A“汽车污染被控制”， B