第一章函数、极限与连续（答案）

1第一章 函数、极限与连续(一)1已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是 。xfy1,02xf1,2若 ，则 ， 。f1fx3函数 的反函数为 。xeylny4设 ，则 。2fxf21x5 。13limnx 36 。nn39124li 47 0 。xxli08 。50321limx 50329函数 的不连续点为 1 。2,3,xf10 。nnsilm11函数 的连续区间是 、 、 。12xf 1,112设 ， 处处连续的充要条件0,2xbaf baxf是 0 。b13若 ， ，复合函数 的连续区间是 0,1xfxgsinxgf， 。1,k214若 ， ， 均为常数，则 1 ， 2 0limbaxx abab2。15设 ，求 。xxf0,1sin2 xf0lim解： 1silmli0fxxi20故 。li0fx16设 ，求 。3212nn nxlim解： 3612lilim2 nnnn216lim61li nnn17若 ，求 。21xfxffx0li解： x20limxx220li3220lix18利用极限存在准则证明： 。121lim22 nnn 证： 222221n3且 ， ，由夹逼定理知1lim2nn 1li2nli 222 n 19求下列函数的间断点，并判别间断点的类型(1) ，(2) ，(3) ，(4)21xy21xyxyxy解：(1)当 为第二类间断点；(2) 均为第二类间断点；(3) ，为第一类断点；(4) ，均为第一类间断点。0x ,210x20设 ，问：21,xf(1) 存在吗？fxlim解： 存在，事实上 ， ，故 。1 1lim1xf1li1xfx 1lim1xf(2) 在 处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则xf补充定义，使其在该点连续。解：不连续， 为可去间断点，定义： ，则1x21,0,*xxf在 处连续。xf*21设 ，2 ,4 0, ,2 xf求出 的间断点，并指出是哪一类间断点，xf若可去，则补充定义，使其在该点连续。解：(1)由 ， ，故 为可去间断点，改变 在4lim0xf20f0xxf y x 0 1 4的定义为 ，即可使 在 连续。0x40fxf0(2)由 ， ，故 为第一类间断点。lim2xli2x 2(3)类似地易得 为第一类间断点。(二)1若 ，则 。312xxf xf122函数 的单调下降区间为 。ln2y 0,3已知 ，则 0 ， 6 。35limban ab4 ，则 2 。21liexa5函数 的不连续点是 ，是第 二 类不连续点。xf0x6函数 的不连续点是 ，是第 二类 不连续点。sin7当 时， 。0x13x8已知 ，为使 在 连续，则应补充定义 。ff0x0fe19设 ， ，则 。0,2xf ,35gxgf,6x10设 ，函数 有意义，则函数 的定义域 。10uuf flne111如果 时，要无穷小 与 等价， 应等于 2 xxcos12iaa。12要使 ，则 应满足 。0lim10xxba1b13 0 。214函数 ，当 2 时，函数 连续。1,12xAxf Axf515已知 ，则 2 ， -8 。2lim2xbax ab16 ， 0 ；若 无间断点，0,21xaef xfli xf则 0 。a17 。xxcos1lim218 0 。xe3li19 。20cs1lix20求下列极限(1) 23lim0xx解：原式 1(2) ( ， 为正整数)，li1mnx解：原式 mnxxmn021li(3) x1li解：原式 1limx(4) 7coslix解：原式 1cslimxx(5) 109832574lixx6解：原式 1931098542limxx(6) 31lix解：原式 112li xx(7) xsin2co1lm0解：原式 2sil0xx(8) 2coslix解：原式 12sinlm2xx(9) xarcsil0解：令 ，原式tin1sinl0tx(10) axax22silm解：原式 axxaax 2sinilmcosinl0(11) x102li解：原式 e(12) xx10lim解：原式210liexx7(13) xxtgcos01lim解：原式 1li0sin10etxgx(14) ( 为正整数)kx1li解：原式 kxxelim21设 在闭区间 上连续，且 ，则在 上至少存在xfa2,0af20,0一个 ，使 。证：令 ，于是 在 上连续，由于条件xfxx,(若 ，则显然结果成立，若 )af0a200，显然 ，故 使faaba,，综上， 使 。xf,xf22设 在 上连续，且 ， ，试证：在 内至少ba,fb,有一点 ，使得： 。f证：令 ，于是 在 上连续，且 ，xa,0af，故 ，使 ，即 。0bf b,0f23设数列 有界，又 ，证明 。nxlimnylinyx证：由假设不妨设 ， 为一正数， ，由 ，故自然Mn0limny数，当 时，恒有 ，故恒有 ，即 。NxyMyxnx24设 ，求 。43434321nn nli解：原式 1lim42n825设 ，求 及 。21 ,32 ,xxf xf0limf1li解： 0limli0fxx， ，故2011 3lili0101xfx 3lim1xf26求 。xxeli解：原式 1lim2xx27求 30sinlix解：原式 142sinlmsin4lico1i2l 032030 xxxxx28求下列极限(1) tett1lim2解：原式2(2) xxcos2inl4解：原式 2cosinlmsil44 xxx (3) 15lim1x解：原式 245li1xx(4) aaxsnli解：原式 xxcoslim9(5) xx22lim解：原式 112limli22 xxx(6) xtgcos2031li解：原式 1lim0cos31202extxtgtx(7) ex1li0解：原式 lixae(8) 123limxx解：原式exxx 121li29若 在 上连续， ，则在 上必有 ，fba, bxan21 nx,1使 。nxfxf n21证：令 ， ，则nffm,i21 nxffxM,ma21中至少有一个 ，使 ，至少有一个 ，使 ，显nx,21 ixi j Mj然有()xffnf jki 1当式中两个“ ”中有一个取等号时，则对应的 (或 )即为 ，当式ixj中的两个“ ”号都不能取符号时。由于 闭区间 (或 )上连续，fji,ijx,由介值定理知至少存在一点 或 ，使 ，以上两jix,ij,nkff110种情况下得到的 显然都在 上。nx,130、若 在 处连续可导，求 0afxbx.,ba解 时函数在 连续。0fffba0xxaxf xx 1lim1li00 _0()lim1xbf时函数在 处连续可导。