第二节线性空间的定义与简单性质

高 等 代 数 6.2 线性空间的定义与简单性质第二节 线性空间的定义与简单性质第六章 线性空间Linear Space6.2 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的概念定义 1 设 V 是一个非空集合 , P 是一个数域 .在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法 ； 这就是说，给出了一个法则，对于 V 中任意两个元素 与 ，在 V 中都有唯一的一个元素 与它们对应，称为 与 的和，记为 = + .在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算 ,叫做 数量乘法 ； 这就是说，对于数域 P 中任一数 k 与 V 中任一元素 ，在 V 中都有唯一的一个6.2 线性空间的定义与简单性质元素 与它们对应，称为 k 与 的数量乘积，记 = k . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那么 V 称为数域 P 上的线性空间 .加法满足下面四条规则：1) ；2) ( ) ( )；3) 在 V 中有一个元素 0，对于 V 中任一元素 都有 + 0 = (具有这个性质的元素 0 称为 V 的 零元素 ) ；6.2 线性空间的定义与简单性质4) 对于 V 中每一个元素 ，都有 V 中的元素 ，使得 + = 0 ( 称为 的 负元素 ) .数量乘法满足下面两条规则：5) 1 = ；6) k( l ) = ( kl ) .数量乘法与加法满足下面两条规则：7) ( k + l ) = k + l ;8) k( + ) = k + k .6.2 线性空间的定义与简单性质在以上规则中， k , l 表示数域 P 中的任意数 ; , , 等表示集合 V 中任意元素 .线性空间的元素也称为 向量 . 当然，这里所谓向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多 . 线性空间有时也称为 向量空间 . 一般用小写的希腊字母 , , , 表示线性空间 V 中的元素，用小写的拉丁字母 a, b, c, 表示数域 P 中的数 .6.2 线性空间的定义与简单性质注 向量空间的定义可简单记为 “1128 ” ，即一个数域 P，这是基础域； 一个集合 ； 两个运算，又叫做线性运算；八条规则，其中前四条是加法的运算律，这时称 对加法做成一个加群，第五、六条是数量乘法算律， 最后两条是分配律，表示两种运算之间的联系 .6.2 线性空间的定义与简单性质例 1 在解析几何中， 平面或空间中一切向量组成的集合 V, 对于向量的加法及实数与向量的乘法 , 构成实数域上的一个线性空间 .例 3 全体定义在区间 a,b上的连续函数组成的集合 V, 对于函数的加法及实数与连续函数的乘法 , 构成实数域上的一个线性空间 . 用 C a,b 表示 . 例 2 全体 n 维实向量组成的集合 V, 对于向量的加法及实数与向量的乘法 , 构成实数域上的一个线性空间 .6.2 线性空间的定义与简单性质例 4 数域 P 上一元多项式环 P x ， 按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成数域 P 上的一个线性空间 . 如果只考虑其中次数小于 n 的多项式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性空间，用 P x n 表示 . 但是，数域 P 上的 n 次多项式集合对同样的运算不构成线性空间，因为两个 n 次多项式的和可能不是 n 次多项式 .6.2 线性空间的定义与简单性质例 5 全体数域 P 上的 m n 矩阵组成的集合V，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域 P 上的一个线性空间，用 P m n 表示 .例 6 全体实函数，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成实数域上的一个线性空间 .例 7 数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成自身上的一个线性空间 .6.2 线性空间的定义与简单性质例 8 全体数域 P 上的 2 维向量组成的集合 V ,定义数与向量的数量乘法如下 :k (a, b) = ( ka， 0) ,对于通常的向量加法及以上定义的数与向量的数量乘法不构成数域 P 上的线性空间 . 事实上 , 当 b0 时1 (a, b) = ( 1a， 0) = ( a， 0) (a, b) .6.2 线性空间的定义与简单性质注 例 8 中集合 V 满足线性空间定义中的其他七条公理 , 可见第五条虽然比较简单 , 但是不可由其他七条推出 . 在 8 条公理中只有第一条加法满足交换律不是独立的 . 证明 2( ) 2 2 (1 1) (1 1) (1 1 ) (1 1 ) ( ) ( ) ( ) ,6.2 线性空间的定义与简单性质2( ) (1 1)( ) ( ) ( ) ( ) , . 证毕6.2 线性空间的定义与简单性质二、线性空间的简单性质1. 零向量是唯一的 .证明 假设 01， 02 是线性空间 V 中的两个零向量 . 于是01 = 01 + 02 = 02 .证毕故零向量是唯一的 .6.2 线性空间的定义与简单性质2. 任意向量的负向量是唯一的 .假设 有两个负向量 与 ， + = 0， + = 0 .那么证毕向量 的负向量记为 - .证明 则= + 0 = .= + ( + ) =( + )+ = 0 + 利用负向量，定义 减法 如下： - = + ( - ) .6.2 线性空间的定义与简单性质3. 0 = 0 ; k0 = 0 ; (-1) = - .证明 + 0 = 1 + 0 = (1 + 0) = 10 = 0 .(-1) + = (-1) + 1 =(-1) + 1 = 0 =0 ,所以 (-1) = - .所以证毕= .所以k0 + k = k (0 +) = kk0 = 0 .6.2