高三数学统一练习二

新人教版高三数学统一练习（二）（理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。第卷 （选择题 共 40 分）注意事项：1. 答第卷前考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设集合 3, IxZ， 1, 2A， ,12B，则 ()IAB等于（A） （B ） ，（C） 2 （D） 0, ，2. 已知两条直线 2yax和 ()1yax互相垂直，则 a 等于（A）0 （B）-1 （C）1 （D）23. 设 p、q 是两个命题， p： 20x，q： 0x，则 p 是 q 的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）既不充分也不必要条件 （D）充要条件4. 函数 ()xbfa的图象如图所示，其中 a、b 为常数，则下列结论正确的是 （A） 1 0， （B） ， （C） ab， （D） ，2-111Oyx数学统一练习（二） （理科）第 1 页（共 9 页）5. 已知各项均为正数的等比数列 na的首项 a1=1, 公比为 q, 前 n 项和为 nS，若 1limnS, 则公比 q 的取值范围是（A） q （B） 01q （C） 01 （D ） 6. 如果 222103+xaxax（ ）那么 215210240()() 等于（A）1 （B）-1 （C）2 （D）-27. 给出下列条件（其中 l 和 a 为直线， 为平面）： l 垂直 内一凸五边形的两条边； l 垂直 内三条都不平行的直线； l 垂直 内无数条直线； l 垂直 内正六边形的三条边； a 垂直 ，l 垂直 a.其中是“l 垂直 ”的充分条件的所有序号是（A） （B） （C） （D） 8. 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被 3 整除的概率为（A） 154 （B） 354 （C） 8 （D） 1数学统一练习（二） （理科）第 2 页（共 9 页）丰台区 2008 年高三统一练习（二）数 学 （理科） 2008 年 5 月本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。第卷 （非选择题 共 110 分）注意事项：1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。三题 号 二15 16 17 18 19 20 总 分分 数得 分 评卷人二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）把答案填写在题中横线上。9. 21i_.10. 若向量 (3, 1)a， (sin, cos)bm， （ R）,且 a b，则 m 的最小值为_.11. 若点 P（x, y）在曲线 2cs,inx（ 为参数）上，则 yx的取值范围是_.12. 若 log(2)ayx在0, 1 上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是_.13. 四面体 ABCD 的外接球球心在 CD 上，且 CD=2, AB= 3,则外接球面上两点 A,B 间的球面距离是_.14. 若实数 x, y 满足 23yx，则曲线 23xy上的点（x , y）到原点距离的最大值为_ ,最小值为_.数学统一练习（二） （理科）第 3 页（共 9 页）三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。得 分 评卷人15. （本小题共 13 分）在ABC 中，已知角 A、B、C 所对的三条边分别是 a、 b、 c，且满足 2ac.（）求证： 03；（）求函数 1sin2coy的值域.数学统一练习（二） （理科）第 4 页（共 9 页）得 分 评卷人16. （本小题共 13 分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 45、35、 2，且各轮问题能否正确回答互不影响.（）求该选手被淘汰的概率；（）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望.数学统一练习（二） （理科）第 5 页（共 9 页）得 分 评卷人17. （本小题共 13 分）已知如图，DA平面 ABE, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB , F 是CE 上的点，且 BF平面 ACE.() 求证： AE平面 BCE；() 求二面角 B-AC-E 的大小； () 求点 D 到平面 ACE 的距离.FED CBA数学统一练习（二） （理科）第 6 页（共 9 页）得 分 评卷人18. （本小题共 13 分）已知函数21()axf()R,其中 a.() 当 1时，求曲线 yfx在点 (2 )f处的切线方程；() 当 0时，求函数 的单调区间与极值.数学统一练习（二） （理科）第 7 页（共 9 页）得 分 评卷人19. （本小题共 14 分）设双曲线 C 的中心在原点，它的右焦点是抛物线 283yx的焦点，且该点到双曲线的一条准线的距离为 32. ()求双曲线 C 的方程；()设直线 l： 1ykx与双曲线 C 交于两点 A、B，试问：（1）当 k 为何值时，以 AB 为直径的圆过原点；（2）是否存在这样的实数 k，使 A、B 关于直线 yax对称（a 为常数） ，若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由.数学统一练习（二） （理科）第 8 页（共 9 页）得 分 评卷人20. （本小题共 14 分）已知 12a，点 1(,)na在函数 2()fx的图象上，其中 n=1,2,3,.（）证明数列 lg是等比数列；（）设 12()()n nT ，求 Tn 及数列a n的通项公式；（）记 nba，求数列b n的前 n 项和 Sn ；在（）的条件下证明 31nS.数学统一练习（二） （理科）第 9 页（共 9 页）数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D B A C C A D B二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）题号 9 10 11 12 13 14答案 2i-2 3,(1,2)a32, 0三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分） 15.（本小题共 13 分）在ABC 中，已知角 A、B、C 所对的三条边分别是 a、 b、 c，且满足 2ac.（）求证： 03； （）求函数 1sin2oBy的值域.（）证明：在ABC 中， 2bac. cos 1 分2c2 3 分1. 4 分 os2B. 0， 03. 7 分（）解： 2(sinc)oy 9 分sincoB2sin()4B， 11 分7431， (1, y. 13 分数学统一练习（二） （理科）答案第 1 页（共 6 页）16.（本小题共 13 分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 45、35、 2，且各轮问题能否正确回答互不影响.（）求该选手被淘汰的概率；（）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望.解：（）记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai(i=1,2,3),则 14()5PA， 23()5， 3()5P. 2 分 该选手被淘汰的概率 1213 3 分123()()()A 5 分4550. 7 分（） 的可能值为 1,2,3.()(P, 8 分1212)()AP485, 9 分(3)(31. 10 分 的分布列为1 2 3P 585 11 分 123E72. 13 分17.（本小题共 13 分）已知如图，DA平面 ABE, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， AE=EB, F 是CE 上的点，且 BF平面 ACE. GOFED CBA() 求证：AE平面 BCE； () 求二面角 B-AC-E 的大小； () 求点 D 到平面 ACE 的距离.() 证明： BF平面 ACE， BFAE. 1 分 DA平面 ABE, DAAE. 2 分 四边形 ABCD 是正方形, BC AD, BCAE. 3 分 BCF, AE平面 BCE. 4 分数学统一练习（二） （理科）答案第 2 页（共 6 页）() 解：连结 BD 交 AC 于点 O,连结 OF. 正方形 ABCD 的边长为 2， BAC,且 . 5 分 BF平面 ACE, 由三垂线定理的逆定理，得 FAC. 6 分 F是二面角 B-AC-E 的平面角. 7 分由()知 AE平面 BCE, B.又AE=EB, 在等腰直角三角形 AEB 中, 2.在直角BCE 中， 26, BF平面 ACE, ECA平 面 , OFACE平 面 BF, F. 23A. 8 分 在直角BFO 中, 6sin3B. 二面角 B-AC-E 等于 arc. 9 分() 解：过点 E 作 EGAB 交 AB 于点 G. GE=1. DA平面 ABE, GAD, A. EG平面 ABCD. 10 分设点 D 到平面 ACE 的距离为 h， ACEDV. 即 13ACSh. 11 分 AE平面 BCE, AEEC. 12ADCEGh216A= 3. 点 D 到平面 ACE 的距离为 . 13分18.（本小题共 13 分）已知函数21()axf()R,其中 a.() 当 1时，求曲线 yf在点 2 ()f处的切线方程；() 当 0时，求函数 的单调区间与极值.数学统一练习（二） （理科）答案第 3 页（共 6 页）解：() 当 1a时， 2()1xf， 4()5f. 1 分 /xA2x, 3 分 /6()25f. 4 分 曲线 yfx在点 (, 2)f处的切线方程为 46(2)5yx，即 30. 5 分() 2/ 2(1)1)aaf 2()1xa ， 分两种情况讨论.(1) 当 a0 时，令 f /(x)=0, 得 1, 2. x ,)a()a (,)f /(x) - 0 + 0 -f(x) 极小值 极大值 f(x )在区间 1(, )a， (, )内为减函数，在区间 内为增函数. 7 分函数 f(x)在 1处取得极小值 1()fa,且 2()fa，函数 f(x)在 2a处取得极大值 ,且 . 9 分(2) 当 a0 时，令 f /(x)=0, 得 1, 2x.x (, )aa 1(, )a1(, )af /(x) + 0 - 0 +f(x) 极大值 极小值 f(x )在区间 (, )a， 1(, )内为增函数， 在区间 内为减函数. 11 分函数 f(x)在 1处取得极大值 ()fa,且 1f，函数 f(x)在 2a处取得极小值 ,且 2()a. 13 分数学统一练习（二） （理科）答案第 4 页（共 6 页）19.（本小题共 14 分）设双曲线 C 的中心在原点，它的右焦点是抛物线 283yx的焦点，且该点到双曲线的一条准线的距离为 32. ()求双曲线 C 的方程；()设直线 l： 1ykx与双曲线 C 交于两点 A、B，试问：（1）当 k 为何值时，以 AB 为直径的圆过原点；（2）是否存在这样的实数 k，使 A、B 关于直线 yax对称（a 为常数） ，若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由.解：() 抛物线 283yx的焦点为 23(, 0)， 1 分 设中心在原点，右焦点为 的双曲线 C 的方程为2xyab. (, 0)3到双曲线的一条准线的距离为 2， 236ac. 2 分 21. 22231()bca. 3 分 双曲线 C 的方程为 xy . 4 分() (1)由 2,3ykx 得 2(3)0k. 5 分由 4,0, 得 6 (3)k. 7 分设 1( )Axy, 2()B. OAB, 210yx, 1ykx, 21. 9分 12()kx. 即 2()()0. 将 3, 123k, 代入,解得 ,满足. 时, 以 AB 为直径的圆过原点. 10 分(2)假设存在实数 k, 使 A、B 关于直线 yax对称（a 为常数）,则 1212(),.ayxA由、得 1212()()kx. 12分将 123kx代入上式，得 6ak， 3.与矛盾. 13 分 不存在实数 k, 使 A、B 关于直线 yx对称. 14分 数学统一练习（二） （理科）答案第 5 页（共 6 页）20.（本小题共 14 分）已知 12a，点 1(, )na在函数 2()fx的图象上，其中 n=1,2,3,.（）证明数列 lg是等比数列；（）设 12nnT ，求 Tn 及数列a n的通项公式；（）记 nba，求数列b n的前 n 项和 Sn ；在（）的条件下证明3nS.（）证明：由