03-第三章作业答案

习题 3. 解 由12 0 1P X X 知12 0 0P X X . 因此 2的联合分布必形如 1 0 1 11 0 140 22 121 14pj 12121 于是根据边缘 概率 密度和联合 概率 分布的关系有 联合分布律 1 0 1 40 140 0 12211 140 14pj 12121 (2) 注意到12 0 , 0 0P X X , 而121 0 0 04P X P X , 所以 2 不独立 . 2. 解 (1) 由 ( , ) d d 1f x y x y , 得 24 2 4222 0 2 04211 d ( 6 ) d ( 6 ) d (1 0 ) 82y k x y x k y x x y k y y k , 所以 18k. (2) 31201 , 31 1 , 3 d ( 6 ) , ) d Y y x y xf x y x y 13 22 011( 6 ) x x y 321 1 1 3( ) 8 . (3) 1 . 51 . 5 1 . 5 d ( , ) d( ) x f x y yf x x 4 1 . 5201d ( 6 ) x y x 1 . 54 22 011( 6 ) x x y 421 6 3 3( ) 2 2732 . (4) 作直线 4 , 并记此直线下方区域与 ( , ) 0f x y 的矩形区域(0, 2) (0, 4) 的交集为 G . 即 : 0 2 , 0G x y 4 x 因此 P X Y 4 ( , ) P X Y G ( , ) d x y x y 4420 1d ( 6 ) x y x 4422 011( 6 ) x x y 4 2211 ( 6 ) ( 4 ) ( 4 ) y y y 4 2211 2 ( 4 ) ( 4 ) y y 423211( 4 ) ( 4 )86 23 . 图 3 4 题积分区域 3. 解 由21 1 1 4001 ( , ) d d d ( 1 ) x y x d y x k x y y x x x ,解得 6k . 因而 211 24001 ( , ) d 6 d 3 ( ) d 4 Y G x x y y x x x x . 4. 解 ( , )概率密度 ( , )f x y 在区域 :0G x 1 ,0 y x 外取零值 有 024 . 8 ( 2 ) d , 0 1 ,( ) ( , ) . 4 ( 2 ) , 0 1 ,0,x y xf x f x y yx x x 其 它 8 ( 2 ) d , 0 1 ,( ) ( , ) . 4 ( 3 4 ) , 0 1 ,0,x x yf y f x y xy y y y 其 它 解 (1) 见本章第三节 三 (4). (2) P X Y 1 1 1P X Y 1 1 , 1P X Y 13144 . 习题 3. 解 (1) 由于 所以 在条件 X=2 下 1,22|1 2 2,22|2 3,22|3 4,22|4 或写成 1 2 3 4 2| 21 0 61 31 (2) 注意到 2 1 2 P Y P Y 0 . 1 0 . 3 0 0 0 . 2 0 . 6 . 而 2 , 2 2 , 1 2 , 2 3 , 1 3 , 2 P X Y P X Y P X Y P X Y 0 . 3 0 0 0 . 2 0 . 5 . 因此 2 , 2 2 2 2 P X . 2. 解 (1) 当 01x时 , 20( ) ( , ) d d 2x f x y y y x ; 当 x 0 时或 x 1 时 , ( ) 0 故 2 , 0 1 ,()0, 其 它 当 02 时 , 20 0 0 0( , ) ( , ) d d ( , ) d d ( , ) d dx y x y xF x y u v u v u v v u u v v u 2 2001 ( ) d u u v v u 21 (2 1)3 . 当 x1, 01, y2 时 , 12 2001( , ) ( ) d d 13F x y u u v v u . 综上所述 , 分布函数为 220 , 0 0 ,1( ) , 0 1 , 0 2 ,341( , ) ( 2 1 ) , 0 1 , 2 ,31( 4 ) , 1 , 0 2 ,121 , 1 , 2 y x x yF x y x x x yy y x (2) 当 0 x 1 时 , 2 2202( ) ( , ) d ( ) d 2 ,33X x y y x y x x 故 2 22 , 0 1 ,() 30 , Xx x 当 0 y 2 时 , 1 2011( ) ( , ) d ( ) d ,3 3 6Y x y x x x y 故 11 , 0 2 ,() 360 , (3) 当 0 y 2 时 , X 关于 Y = y 的条件 概率 密度为 2( , ) 6 2( | ) .( ) 2Yx y x x 当 0 x 1 时 , Y 关于 X = x 的条件 概率 密度为 ( , ) 3( | ) .( ) 6 2Xx y x (4) 参见图 3图 3 9题积分区域 图 3 9题积分区域 1 1 ( , ) d Y x y x y 12 201 1 6 5d ( ) d 2xx x x y y 同理 , 参见图 3 (