2017年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科） 一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知全集 U=R，集合 A=x|y=集合 B= ，那么 A （ （ ） A B（ 0， 1 C（ 0， 1） D（ 1， + ） 2若复数 ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部是（ ） A 1 B i C 1 D i 3已知 ， 为第一象限的两个角，则 “ ”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4设某中学的高中女生体重 y（单位： 身高 x（单位： 有线性相关关系，根据一组样本数据（ i=1， 2， 3， ， n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为 ，则下列结论中不正确的是（ ） A y 与 x 具有正线性相关关系 B回归直线过样本的中心点 C若该中学某高中女生身高增加 1其体重约增加 若该中学某高中女生身高为 160可断定其体重必为 若圆锥曲线 C： x2+ 的离心率为 2，则 m=（ ） A B C D 6执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） A 1 B 21 C D 6 7已知函数 的周期为 ，若 f（ ） =1，则 =（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 8如图，在平面直角坐标系 ，直线 y=2x+1 与圆 x2+ 相交于 A， B 两点，则 ） A B C D 9我国古代数学名著九章算术中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是 把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有 90 钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱 A 28 B 32 C 56 D 70 10某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 1），则这个几何体的体积是（ ） A B C 16 D 32 11抛物线 x 的焦点为 F，设 A（ B（ 抛物线上的两个动点，若 x1+= |， 则 最大值为（ ） A B C D 12定义在 R 上的偶函数 f（ x）满足 f（ 2 x） =f（ x），且当 x 1， 2时， f（ x） =x+1，若函数 g（ x） =f（ x） + 7 个零点，则实数 m 的取值范围为（ ） A B C D 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13在多项式（ 1+2x） 6（ 1+y） 5 的展开式中， 的系数为 14已知单位向量 的夹角为 ， ，则 在 上的投影是 15如图，直角梯形 ， ，若将直角梯形绕 旋转一周，则所得几何体的表面积为 16已知 x2+，在这两个实数 x， y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 三解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 . 17已知等差数列 前 n 项和为 ， 4= （ ）求数列 通项公式； （ ）令 1） n 1，求数列 前 2n 项和 18某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质 量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过 300）： 空气质量指数 （ 0，50 （ 50，100 （ 100，150 （ 150，200 （ 200，250 （ 250，300 空气质量等级 1 级优 2 级良 3 级轻度污染 4 级中度污染 5 级重度污染 6 级严重污染 该社团将该校区在 2016 年 100 天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率 （ ）请估算 2017 年（以 365 天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）； （ ） 该校 2017 年 6 月 7、 8、 9 日将作为高考考场，若这三天中某天出现 5 级重度污染，需要净化空气费用 10000 元，出现 6 级严重污染，需要净化空气费用20000 元，记这三天净化空气总费用为 X 元，求 X 的分布列及数学期望 19如图，四棱锥 P ，平面 平面 面 等腰梯形， C=， ， 正三角形 （ ）求证： 平面 （ ）设 中点为 E，求平面 平面 成二面角的平面角的余弦值 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右顶点分别为 、右焦点分别为 心率为 ，点 B（ 4， 0）， 线段 中点 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若过点 B 且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 的交于 M， N 两点，已知直线 交于点 G，试判断点 G 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由 21已知函数 f（ x） =（ 2x 4） ex+a（ x+2） 2（ x 0， a R， e 是自然对数的底） （ ）若 f（ x）是（ 0， + ）上的单调递增函数，求实数 a 的取值范围； （ ）当 时，证明：函数 f（ x）有最小值，并求函数 f（ x）最小值的取值范围 请考生在第（ 22）、（ 23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系 ，曲线 点 P（ a， 1），其参数方程为（ t 为参数， a R）以 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 =0 （ ）求曲线 普通方程和曲线 直角坐标方程； （ ）已知曲线 曲线 于 A、 B 两点，且 |2|求实数 a 的值 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|2x a|+|x 1|， a R （ ）若不等式 f（ x） 2 |x 1|有解，求实数 a 的取值范围； （ ）当 a 2 时，函数 f（ x）的最小值为 3，求实数 a 的值 2017 年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知全集 U=R，集合 A=x|y=集合 B= ，那么 A （ （ ） A B（ 0， 1 C（ 0， 1） D（ 1， + ） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 由对数函数的定义域求出 A，由函数的值域求出 B，由补集和交集的运算求出答案， 【解答】 解：由题意知， A=x|y=x|x 0=（ 0， + ）， 又 ，则 B=y|y 1=1， + ）， 即 ， 1）， 所以 A （ =（ 0， 1）， 故选 C 2若复数 ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部是（ ） A 1 B i C 1 D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则即可得出 【解答 】 解： ， 故选： C 3已知 ， 为第一象限的两个角，则 “ ”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】 解： 角 ， 的终边在第一象限， 当 = +2， = ，满足 ，但 成立，即充分性不成立， 若当 = ， = +2，满足 不成立，即必要性不成立， 故 “ ”是 “既不必要也不充分条件， 故选： D 4设某中学的高中女生体重 y（单位： 身高 x（单位： 有线性相关关系，根据一组样本数据（ i=1， 2， 3， ， n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为 ，则下列结论中不正确的是（ ） A y 与 x 具有正线性相关关系 B回归直线过样本的中心点 C若该中学某高中女生身高增加 1其体重约增加 若该中学某高中女生身高为 160可断定其体重必为 考点】 线性回归方程 【分析】 根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可 【解答】 解：由于线性回归方程中 x 的系数为 此 y 与 x 具有正的线性相关关系， A 正确； 由线性回归方程必过样本中心点 ，因此 B 正确； 由线性回归方程中系数的意义知， x 每增加 1体重约增加 C 正确； 当某女生的身高为 160，其体重估计值是 不是具体值，因此 故选： D 5若圆锥曲线 C： x2+ 的离心率为 2，则 m=（ ） A B C D 【考点】 圆锥曲线的共同特征 【分析】 圆锥曲线 C： x2+ 方程可化为 ，利用离心率为 2，求出 m 的值 【解答】 解：因为圆锥曲线 C： x2+ 方程可化为 ， 所以离心率为 ， 故选： C 6执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） A 1 B 21 C D 6 【考点】 程序框图 【分析】 由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，即可得出跳出循环时输出 S 的值 【解答】 解：模拟程序的运行，可得： 由 ， 当 i=7 时，进入循环，得， 当 i=8 退出循环，输出 ， 故选： B 7已知函数 的周期为 ，若 f（ ） =1，则 =（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 根据函数 f（ x）的周期求出 的值，再化简 f（ + ）并求值 【解答】 解：因为函数 f（ x） =x+）的周期为 T= =， =2， f（ x） =2x+）， 又 f（ ） =2+） =1， f（ + ） =（ + ） + =2+3+） = 2+） = 1 故选： B 8如图，在平面直角坐标系 ，直线 y=2x+1 与圆 x2+ 相交于 A， B 两点，则 ） A B C D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 求出圆心到直线 y=2x+1 的距离，由垂径定理得 用余弦定理，可得结论 【解答】 解：因为圆心到直线 y=2x+1 的距离 ， 由垂径定理得： 由余弦定理有 ， 故选 D 9我国古代数学名著九章算术中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱 成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有 90 钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱 A 28 B 32 C 56 D 70 【考点】 函数的值；函数解析式的求解及常用方法 【分析】 设甲、乙丙各有 x 钱， y 钱， z 钱，列出方程组求得甲有 72 钱，乙有32 钱，丙有 4 钱 【解答】 解：设甲、乙丙各有 x 钱， y 钱， z 钱， 则 ， 解得 x=72， y=32， z=4 甲有 72 钱，乙有 32 钱，丙有 4 钱 故选： B 10 某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 1），则这个几何体的体积是（ ） A B C 16 D 32 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体 A 体积是正方体体积的 ，即可得出结论 【解答】 解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体 A 体积是正方体体积的 ，等于 ， 故选 A 11抛物线 x 的焦点为 F，设 A（ B（ 抛物线上的两个动点，若 x1+= |， 则 最大值为（ ） A B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出 最大值 【 解 答 】 解 ： 因 为 ， |x1+ ，所以 在 ， 由 余 弦 定 理 得 ： = 又 所以 ， 最大值为 ， 故选 D 12定义在 R 上的偶函数 f（ x）满足 f（ 2 x） =f（ x），且当 x 1， 2时， f（ x） =x+1，若函数 g（ x） =f（ x） + 7 个 零点，则实数 m 的取值范围为（ ） A B C D 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 确定函数为偶函数则其周期为 T=2，函数在 x 1， 2为减函数，作出函数的图象，得出当 x 0 时，要使符合题意则 ，根据偶函数的对称性，当 x 0 时，要使符合题意则 即可得出结论 【解答】 解：因为函数 f（ 2 x） =f（ x）可得图象关于直线 x=1 对称，且函数为偶函数则其周期为 T=2， 又因为 ，当 x 1， 2时有 f（ x） 0，则函数在 x 1， 2为减函数， 作出其函数图象如图所示： 其中 ，当 x 0 时 ， 要 使 符 合 题 意 则根据偶函数的对称性，当 x 0 时，要使符合题意则 综上所述，实数 m 的取值范围为 ， 故选 A 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13在多项式（ 1+2x） 6（ 1+y） 5 的展开式中， 的系数为 120 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用二项式展开式的通项公式即可得出 【解答】 解：根据题意（ 1+2x） 6（ 1+y） 5= ， 系数为 =120， 故答案为： 120 14已知单位向量 的夹角为 ， ，则 在 上的投影是 【考点 】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据平面向量投影的定义，利用数量积的运算求出对应的值即可 【解答】 解：单位向量 的夹角为 ， ， 则 在 上的投影是： | |， = = =（ 2 ） =2 =2 1 1 1 = 故答案为： 15如图，直角梯形 ， ，若将直角梯形绕 旋转一周，则所得几何体的表面积为 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 由圆锥及圆柱的几何特征可得，该几何体 由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为 1，代入圆柱和圆锥的体积公式，即可得到答案 【解答】 解：由图中数据可得： ， S 圆柱侧 = 21=2， 所以几何体的表面积为 故答案为： 16已知 x2+，在这两个实数 x， y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 设构成等差数列的五个数分别为 x ， a ， b ， c ， y，推导出从而等差数列后三项和为 法一：设 x=2y=2用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值 法二：令 z=x+3y，则 x+3y z=0，当直线 x+3y z=0 与圆 x2+ 相切时 z 将有最大值，由此能求出这个等差数列后三项和的最大值 【解答】 解：设构成等差数列的五个数分别为 x， a， b， c， y， 则 x+y=a+c=2b， 则等差数列后三项和为 = （另解：由等差数列的性质有 x+y=a+c=2b，所以 ） 方法一：因为 x2+，设 x=2y=2 所以 方法二：令 z=x+3y，则 x+3y z=0， 所以当直线 x+3y z=0 与圆 x2+ 相切时 z 将有最大值， 此时 ， 即 ， 故答案为： 三解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 . 17已知等差数列 前 n 项和为 ， 4= （ ）求数列 通项公式； （ ）令 1） n 1，求数列 前 2n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ ）设等差数列 公差为 d，根据题意、等差数 列的性质以及通项公式列出方程，求出公差 d，由等差数列的通项公式求出 （ ）由（ I）化简 1） n 1，利用并项求和法和等差数列的前 n 项和公式求出数列 前 2n 项和 【解答】 解：（ ）设等差数列 公差为 d， 由 4=得 a1+a2+a3= 即 3a2= 3（ 1+d） =1+4d，解得 d=2 所以 +（ n 1） 2=2n 1 （ ）由（ ）可得： =412 22+32 42+ +（ 2n 1） 2（ 2n） 2 = 4（ 1+2+3+4+ +2n 1+2n） = 18某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过 300）： 空气质量指数 （ 0，50 （ 50，100 （ 100，150 （ 150，200 （ 200，250 （ 250，300 空气质量等级 1 级优 2 级良 3 级轻度污染 4 级中度污染 5 级重度污染 6 级严重污染 该社团将该校区在 2016 年 100 天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率 （ ）请估算 2017 年（以 365 天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）； （ ）该校 2017 年 6 月 7、 8、 9 日将作为高考考场，若这三天中某天出现 5 级重度污染，需要净化空气费用 10000 元，出现 6 级严重污染，需要净化空气费用20000 元，记这三天净化空气总费用为 X 元，求 X 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ I）利用直 方图的性质即可得出 （ ）由题可知， X 的所有可能取值为： 0， 10000， 20000， 30000， 40000， 50000，60000，利用二项分布列的概率与数学期望计算公式即可得出 【解答】 解：（ ）由直方图可估算 2017 年（以 365 天计算）全年空气质量优良的天数为： （ 365=365=110（天） （ ）由题可知， X 的所有可能取值为： 0， 10000， 20000， 30000， 40000， 50000，60000， 则： ， ， X 的分布列为 X 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 P =9000（元） 19如图，四棱锥 P ，平面 平面 面 等腰梯形， C=， ， 正三角形 （ ）求证： 平面 （ ）设 中点为 E，求平面 平面 成二面角的平面角的余弦值 【考点】 二面 角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）在等腰梯形 ，过点 D 作 点 E，推导出 D，由此能证明 平面 （ ）以 D 为坐标原点， 在直线为 x 轴， 在直线为 y 轴，过点 D 平行于 在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出平面 平面 成二面角的余弦值 【解答】 证明：（ ）在等腰梯形 ，过点 D 作 点 E， 如图所示：有 在 ，有 因为平面 平面 交线为 平面 解：（ ） 由平面 平面 正三角形， E 为 中点， 平面 如图所示，以 D 为坐标原点， 在直线为 x 轴， 在直线为 y 轴，过点D 平行于 在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 由条件 C=，则 E=1， ， 则 D（ 0， 0， 0）， E（ 1， 0， 0）， ， 在等腰梯形 ，过点 C 作 平行线交 长线于点 F 如图所示： 则在 ，有 ， ， （另解：可不作辅助线，利用 求点 C 坐标） ， ，设平面 法 向 量则 ，取 ，则 ， 1， 面 法向量 同理有 ， ，设平面 法向量则 ， 取 ，则 ， ， 面 法向量 设平面 平面 成二面角的平面角为 ， 即平面 平面 成二面角的余弦值为 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右顶点分别为 、右焦点分别为 心率为 ，点 B（ 4， 0）， 线段 中点 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若过点 B 且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 的交于 M， N 两点，已知直线 交于点 G，试判断点 G 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）设点 a， 0）， c， 0），由题意得 a=4 2c，由椭圆的离心率 ，得 a=2c，求出 a， b，由此能示出椭圆 C 的方程 （ ）法一：根据椭圆的对称性猜测点 G 是与 y 轴平行的直线 x=假设当点 M 为椭圆的上顶点时，直线 l 的方 程为 ，此时点 N ，联立直线 和直线 可得点，猜想点 G 在直线 x=1 上，对猜想给予证明，得到点 G 在定直线上x=1 上 法二：设 M（ N（ G（ 由 B， M， N 三点共线，得：25（ x1+8=0，再由 M， G 三点共线， N， G 三点共线，推导出点 G 在定直线 x=1 上 法三：设 l 的方程为 y=k（ x 4）， M（ N（ 由 得（ 3+4k2）32412=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合 M， G 三点共线， N， G 三点共线，推导出点 G 在定直线 x=1 上 【解答】 解：（ ）设点 a， 0）， c， 0），由题意可知： ，即a=4 2c 又因为椭圆的离心率 ，即 a=2c 联立方程 可得： a=2， c=1，则 b2= 所以椭圆 C 的方程为 解：（ ）解法一：根据椭圆的对称性猜测点 G 是与 y 轴平行的直线 x= 假设当点 M 为椭圆的上顶点时，直线 l 的方程为 ，此时点N ， 则联立直线 和直线 可得点据此猜想点 G 在直线 x=1 上，下面对猜想给予证明： 设 M（ N（ 联立方程 可得：（ 3+432412=0， 0 由韦达定理可得 ， （ *） 因为直线 ， ， 联立两直线方程得 （其中 x 为 G 点的横坐标）即证：， 即 3k（ 4） （ 2） = k（ 4） （ ），即证 410（ x1+16=0 将（ *）代入上式可得 此式明显成立，原命题得证所以点 G 在定直线上 x=1 上 解法二：设 M（ N（ G（ 两不等， 因为 B ， M ， N 三 点 共 线 ， 所 以， 整理得： 25（ x1+8=0 又 M， G 三点共线，有： 又 N， G 三点共线，有： ， 将 与 两 式 相 除 得 ：即 ， 将 25（ x1+8=0 即 代入得： 解得 （舍去）或 ，所以点 G 在定直线 x=1 上 解法三：由题意知 l 与 x 轴不垂直，设 l 的方程为 y=k（ x 4）， M（ N（ 由 得（ 3+432412=0， 0 设 M（ N（ G（ 两不等， 则 ， ， 由 M， G 三点共线，有： 由 N， G 三点共线，有： 与 两式相除得： 解得 （舍去）或 ，所以点 G 在定直线 x=1 上 21已知函数 f（ x） =（ 2x 4） ex+a（ x+2） 2（ x 0， a R， e 是自然对数的底） （ ）若 f（ x）是（ 0， + ）上的单调递增函数，求实数 a 的取值范围； （ ）当 时，证明：函数 f（ x）有最小值， 并求函数 f（ x）最小值的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出 a 的范围即可； （ ）根据函数的单调性求出 f（ x）的最小值，从而求出最小值的范围即可 【解答】 解：（ ） f（ x） =2 2x 4） a（ x+2） =（ 2x 2） a（ x+2）， 依题意：当 x 0 时，函数 f（ x） 0 恒成立，即 恒成立， 记 ，则 = ， 所以 g（ x）在（ 0， + ）上单调递减，所以 ，所以 ； （ ）因为 f（ x） =2a 0，所以 y=f（ x）是（ 0， + ）上的增函数， 又 f（ 0） =4a 2 0， f（ 1） =6a 0，所以存在 t （ 0， 1）使得 f（ t） =0 且当 a0 时 t1 ，当 时 t0 ，所以 t 的取值范围是（ 0， 1） 又当 x （ 0， t）， f（ x） 0，当 x （ t， + ）时， f（ x） 0， 所以当 x=t 时， 且有 由（ ）知 ，在（ 0， + ）上单调递减， 又 ， g（ 1） =0，且 ，故 t （ 0， 1）， ， t （ 0， 1） 记