2017年无锡市宜兴市丁蜀学区中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 34 页） 2017 年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区中考数学一模试卷 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 4 的倒数是（ ） A 4 B 4 C D 2下列各式运算中，正确的是（ ） A（ a+b） 2=a2+ C a3a4= 3式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） A x 1 B x 1 C x 0 D x 1 4下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 5 如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为 65形的弧长为 10圆锥母线长是（ ） A 5 10 12 13顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 7下列说法中，你认为正确的是（ ） A四边形具有稳定性 B等边三角形是中心对称图形 C等腰梯形的对角线一定互相垂直 D任意多边形的外角和是 360 8有 9 名同学参加歌咏比赛， 他们的预赛成绩各不相同，现取其中前 4 名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知第 2 页（共 34 页） 道这 9 名同学成绩的（ ） A众数 B中位数 C平均数 D极差 9数学活动课上，四位同学围绕作图问题： “如图，已知直线 l 和 l 外一点 P，用直尺和圆规作直线 l 于点 Q ”分别作出了下列四个图形其中作法错误的是（ ） A B C D 10如图， A、 B、 C 是反比例函数 y= （ x 0）图象上三点，作直线 l，使 A、 B、C 到直线 l 的距离之比为 3： 1： 1，则满足条件的直线 l 共有（ ） A 4 条 B 3 条 C 2 条 D 1 条 二、填空题：（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分不需写出解答 过程） 11 3 月无锡市商品房平均每平方价格为 7500 元， 7500 元用科学记数法表示为 元 12命题 “对顶角相等 ”的逆命题是 命题（填 “真 ”或 “假 ”） 13分解因式： 4a= 14一元二次方程 x2+x 2=0 的两根之积是 15如图，点 O 是 O 的圆心，点 A、 B、 C 在 O 上， 8，则 度数是 度 第 3 页（共 34 页） 16如图，在 ， D，请你再补充一个条件，使 你补充的条件是 （只填一个） 17如图，在平面直角坐标系中，点 A（ a， b）为第一象限内一点，且 a b连结 以点 A 为旋转中心把 时针转 90后得线段 点 A、 B 恰好都在同一反比例函数的图象上，则 的值等于 18如图，在 ， C=90， ， ，点 F 在边 ，并且 ，点 E 为边 的 动点，将 直线 折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边离的最小值是 三、解答题：（本大题共 10 小题，共 84 分） 19计算： （ 1） | 2|（ 1+ ） 0+ ； （ 2）（ a ） 第 4 页（共 34 页） 20（ 1）解方程： + =4 （ 2）解不等式组： 21如图，平行四边形 对角线 交于点 O， 点 O 且与 D 分别相交于点 E、 F，求证： F 22小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关第一道单选题有 3 个选项，第二道单选题有 4 个选项，这两道题小明都不会，不过 小明还有一个 “求助 ”没有用（使用 “求助 ”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项） （ 1）如果小明第一题不使用 “求助 ”，那么小明答对第一道题的概率是 （ 2）如果小明将 “求助 ”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率 （ 3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用 “求助 ”（直接写出答案） 23学校为了解学生参加体育活动的情况，对学生 “平均每天参加体育活动的时间 ”进行了随机抽样调查，下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图 请你根据统计图提供的信息，解答以下问题： （ 1） “平均每天参加体育活动的时间 ”“为 1 小时 ”部分的扇形统计图的圆心角为 度； 第 5 页（共 34 页） （ 2）本次一共调查了 名学生； （ 3）将条形统计图补充完整； （ 4）若该校有 2000 名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在 时以下 24小宇想测量位于池塘两端的 A、 B 两点的距离他沿着与直线 行的道路 走，当行走到点 C 处，测得 5，再向前行走 100 米到点 D 处，测得 0若直线 间的距离为 60 米， 求 A、 B 两点的距离 25随着柴静纪录片穹顶之下的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了 A， B 两种型号的空气净化器，已知一台 A 型空气净化器的进价比一台 B 型空气净化器的进价多 300 元，用 7500元购进 A 型空气净化器和用 6000 元购进 B 型空气净化器的台数相同 （ 1）求一台 A 型空气净化器和一台 B 型空气净化器的进价各为多少元？ （ 2）在销售过程中， A 型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎为了 增大 B 型空气净化器的销量，商社电器决定对 B 型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当 B 型空气净化器的售价为 1800 元时，每天可卖出 4 台，在此基础上，售价每降低 50 元，每天将多售出 1 台，如果每天商社电器销售 200 元，请问商社电器应将 B 型空气净化器的售价定为多少元？ 26如图，在平面直角坐标系中， 顶点 A， C 分别在 y 轴， x 轴上， 0， ，抛物线 y=a 经过点 B（ 2， ），与 y 轴交于点 D （ 1）求抛物线的表达式； （ 2）点 B 关于直线 对称点是否在抛物线上？请说明理由； （ 3）延长 抛物线于点 E，连接 说明 理由 第 6 页（共 34 页） 27在平面直角坐标系 ，点 P 的坐标为（ 点 Q 的坐标为（ 且 P， Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P， Q 的 “相关矩形 ”，如图为点 P， Q 的 “相关矩形 ”示意图 （ 1）已知点 A 的坐标为（ 1， 0）， 若点 B 的坐标为（ 3， 1），求点 A， B 的 “相关矩形 ”的面积； 点 C 在直线 x=3 上，若点 A， C 的 “相关矩形 ”为正方形，求直线 表达式； （ 2） O 的半径为 ，点 M 的坐标为（ m， 3），若在 O 上存在一点 N，使得点 M， N 的 “相关矩形 ”为正方形，求 m 的取值范围 28问题背景： 如图 ，在四边形 ， 0， D，探究线段 小吴同学探究此问题的思路是：将 点 D，逆时针旋转 90到 ，点 B， C 分别落在点 A， E 处（如图 ），易证点 C， A， E 在同一条直线上，并且 等腰直角三角形，所以 而得出结论： C= 简单应用： （ 1）在图 中，若 ， ，则 （ 2）如图 ， O 的直径，点 C、 D 在 上， = ，若 3， 2，求 长 第 7 页（共 34 页） 拓展规律： （ 3）如图 ， 0， D，若 AC=m， BC=n（ m n），求 长（用含 m， n 的代数式表示） （ 4）如图 ， 0， C，点 P 为 中点，若点 E 满足 A，点 Q 为 中点，则线段 数量关系是 第 8 页（共 34 页） 2017 年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 4 的倒数是（ ） A 4 B 4 C D 【考点】 倒数 【分析】 乘积 是 1 的两数互为倒数，据此进行计算即可 【解答】 解：由题可得， 4 的倒数是 故选： C 2下列各式运算中，正确的是（ ） A（ a+b） 2=a2+ C a3a4= 【考点】 二次根式的性质与化简 【分析】 根据完全平方公式，二次根式的化简、同底数幂的乘法法则，平方等概念分别判断 【解答】 解： A、（ a+b） 2=ab+误； B、 = =3，正确； C、 a3a4=误； D、 = ，错误 故选 B 3式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） A x 1 B x 1 C x 0 D x 1 【考点】 二次根式有意义 的条件 第 9 页（共 34 页） 【分析】 根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，解不等式即可 【解答】 解：根据题意得： x 1 0，即 x 1 时，二次根式有意义 故选： A 4下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根 据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可 【解答】 解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选： B 5如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积 为 65形的弧长为 10圆锥母线长是（ ） A 5 10 12 13考点】 圆锥的计算 【分析】 圆锥的侧面积 = ，把相应数值代入即可求解 【解答】 解：设母线长为 R，由题意得： 65= ，解得 R=13 故选 D 第 10 页（共 34 页） 6顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ） A平 行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 【考点】 中点四边形 【分析】 因为四边形的两条对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形 【解答】 解：如图， D， E、 F、 G、 H 分别是线段 中点， 则 别是 中位线， 别是 中位线， 根据三角形的中位线的性质知， G= G= D， G=F， 四边形 菱形 故选： C 7下列说法中，你认为正确的是（ ） A四边形具有稳定性 B等边三角形是中心对称图形 C等腰梯形的对角线一定互相垂直 D任意多边形的外角和是 360 【考点】 多边形内角与外角；等边三角形的性质；多边形；等腰梯形的性质 【分析】 根据四边形、等边三角形，等腰梯形的性质，结合各选项进行判断即可 【解答】 解： A、四边形不具有稳定性，原说法错 误，故本选项错误； B、等边三角形不是中心对称图形，说法错误，故本选项错误； C、等腰梯形的对角线不一定互相垂直，说法错误，故本选项错误； D、任意多边形的外角和是 360，说法正确，故本选项正确； 第 11 页（共 34 页） 故选 D 8有 9 名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前 4 名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这 9 名同学成绩的（ ） A众数 B中位数 C平均数 D极差 【考点】 统计量的选择 【分析】 9 人成绩的中位数是第 5 名的成绩参赛选手要想知道自己是 否能进入前 4 名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可 【解答】 解：由于总共有 9 个人，且他们的分数互不相同，第 5 的成绩是中位数，要判断是否进入前 5 名，故应知道中位数的多少 故选 B 9数学活动课上，四位同学围绕作图问题： “如图，已知直线 l 和 l 外一点 P，用直尺和圆规作直线 l 于点 Q ”分别作出了下列四个图形其中作法错误的是（ ） A B C D 【考点】 作图 基本作图 【分析】 A、根据作法无法判定 l； B、以 P 为圆心大于 P 到直线 l 的距离为半径画弧，交直线 l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断； C、根据直径所对的圆周角等于 90作出判断； D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断 【解答】 解：根据分析可知， 第 12 页（共 34 页） 选项 B、 C、 D 都能够得到 l 于点 Q；选项 A 不能够得到 l 于点 Q 故选： A 10如图， A、 B、 C 是反比例函数 y= （ x 0）图象上三点，作直线 l，使 A、 B、C 到直线 l 的距离之比为 3： 1： 1，则满足条件的直线 l 共有（ ） A 4 条 B 3 条 C 2 条 D 1 条 【考点】 反比例函数的性质 【分析】 如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线 行，符合条件的有两条，如图中的直线 a、 b；还有一种是过线段 中点，符合条件的有两条，如图中的直线 c、 d 【解答】 解：如解答图所示，满足条件的直线有 4 条， 故选 A 二、填空题：（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分不需写出解答过程） 11 3 月无锡市商品房平均每平方价格为 7500 元， 7500 元用科学记数法表示为 第 13 页（共 34 页） 103 元 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值是易错点，由于 7500 有 4 位，所以可以 确定 n=4 1=3 【解答】 解： 7500=103 故答案为： 103 12命题 “对顶角相等 ”的逆命题是 假 命题（填 “真 ”或 “假 ”） 【考点】 命题与定理 【分析】 先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断 【解答】 解：命题 “对顶角相等 ”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题 故答案为假 13分解因式： 4a= a（ a+2）（ a 2） 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】 解 ：原式 =a（ 4） =a（ a+2）（ a 2） 故答案为： a（ a+2）（ a 2） 14一元二次方程 x2+x 2=0 的两根之积是 2 【考点】 根与系数的关系 【分析】 根据根与系数的关系，即可求得答案 【解答】 解：设一元二次方程 x2+x 2=0 的两根分别为 ， ， = 2 一元二次方程 x2+x 2=0 的两根之积是 2 故答案为： 2 第 14 页（共 34 页） 15如图，点 O 是 O 的圆心，点 A、 B、 C 在 O 上， 8，则 度数是 19 度 【考点】 圆周角定理 【分析】 先根据圆周角定理，求出 C 的度数，再根据两条直线平行，内错角相等，得 C 【解答】 解： 8 C=38 2=19 C=19 16如图，在 ， D，请你再补充一个条件，使 补充的条件是 D（或 （只填一个） 【考点】 全等三角形的判定 【分析】 根据已知 条件在三角形中位置结合三角形全等的判定方法寻找条件已知给出了一边对应相等，由一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得 【解答】 解：欲证两三角形全等，已有条件： D， B， 所以补充两边夹角 可以根据 明； 补充 D 便可以根据 明 故补充的条件是 D（或 故答案是： D（或 17如图，在平面直角坐标系中，点 A（ a， b）为第一象限内一点，且 a b连结 以点 A 为旋转中心把 时针转 90后得 线段 点 A、 B 恰好都第 15 页（共 34 页） 在同一反比例函数的图象上，则 的值等于 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化旋转 【分析】 过 A 作 x 轴，过 B 作 用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且 B，利用 出三角形 三角形 等，由确定三角形的对应边相等得到 E=b， E=a，进而表示出 E+可表示出 B 坐标；由 A 与 B 都在反比例图象上，得到 A 与 B 横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求出 的值 【解答】 解：过 A 作 x 轴，过 B 作 0， 0， 0， 在 ， ， D=b， D=a， E AD=b a， D=a+b， 则 B（ a+b， b a）； A 与 B 都在反比例图象上，得到 a+b）（ b a）， 整理得： a2=（ ） 2 1=0， =1+4=5， = ， 第 16 页（共 34 页） 点 A（ a， b）为第一象限内一点， a 0， b 0， 则 = 故答案为 18如图，在 ， C=90， ， ，点 F 在边 ，并且 ，点 E 为边 的动点，将 直线 折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边离的最小值是 【考点】 翻折变换（折 叠问题） 【分析】 如图，延长 M，当 ，点 P 到 距离最小，利用 到 = 求出 可解决问题 【解答】 解：如图，延长 M，当 ，点 P 到 距离最小 A= A， C=90， = ， 第 17 页（共 34 页） ， ， ， ， =10， = ， F=2， 点 P 到边 离的最小值是 故答案为 三、解答题：（本大题共 10 小题，共 84 分） 19计算： （ 1） | 2|（ 1+ ） 0+ ； （ 2）（ a ） 【考点】 分式的混合运算；绝对值；算术平方根；零指数幂 【分析】 按照实数的运算法则依次计算，注意负指数为正指数的倒数；任何非 0数的 0 次幂等于 1 【解答】 解：（ 1）原式 =2 1+2=3 （ 2）原式 = 20（ 1） 解方程： + =4 （ 2）解不等式组： 【考点】 解分式方程；解一元一次不等式组 【分析】 （ 1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解； （ 2）首先解每个不等式，两个不等式组的解集的公共部分就是不等式组的解集 【解答】 解：（ 1）去分母得： x 5x=4（ 2x 3）， 解得： x=1， 第 18 页（共 34 页） 经检验 x=1 是分式方程无解； （ 2） ， 由 得， x 2， 由 得， x 1， 不等式组的解集是： 1 x 2 21如图，平行四边形 对角线 交于点 O， 点 O 且与 D 分别相交于点 E、 F，求证： F 【考点】 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】 由四边形 平行四边形，可得 C，继而证得 可证 得结论 【解答】 证明： 四边形 平行四边形， C， 在 ， ， F 22小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关第一道单选题有 3 个选项，第二道单选题有 4 个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个 “求助 ”没有用（使用 “求助 ”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项） （ 1）如果小明第一题不使用 “求助 ”，那么小明答 对第一道题的概率是 （ 2）如果小明将 “求助 ”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利第 19 页（共 34 页） 通关的概率 （ 3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用 “求助 ”（直接写出答案） 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 （ 1）由第一道单选题有 3 个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案； （ 2）首先分别用 A， B， C 表示第一道单选题的 3 个选项， a， b， c 表示剩下的第二道单选题的 3 个选项，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况， 继而利用概率公式即可求得答案； （ 3）由如果在第一题使用 “求助 ”小明顺利通关的概率为： ；如果在第二题使用 “求助 ”小明顺利通关的概率为： ；即可求得答案 【解答】 解：（ 1） 第一道单选题有 3 个选项， 如果小明第一题不使用 “求助 ”，那么小明答对第一道题的概率是： ； 故答案为： ； （ 2）分 别用 A， B， C 表示第一道单选题的 3 个选项， a， b， c 表示剩下的第二道单选题的 3 个选项， 画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，小明顺利通关的只有 1 种情况， 小明顺利通关的概率为： ； （ 3） 如果在第一题使用 “求助 ”小明顺利通关的概率为： ；如果在第二题使用 “求助 ”小明顺利通关的概率为： ； 建议小明在第一题使用 “求助 ” 第 20 页（共 34 页） 23学校为了解学生参加体育活动的情况，对学生 “平均每天参加体育活动的时间 ”进行了随机抽样调查，下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图 请你根据统计图提供的信息，解答以下问题： （ 1） “平均每天参加体育活动的时间 ”“为 1 小时 ”部分的扇形统计图的圆心角为 54 度； （ 2）本次一共调查了 200 名学生； （ 3）将条形统计图补充完整； （ 4）若该校有 2000 名学生，你估计全校可能有多少名学生平均 每天参加体育活动的时间在 时以下 【考点】 扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图 【分析】 （ 1）圆心角的度数 =360 该部分所占总体的百分比； （ 2） 时以下的有 10 人，所占百分比为 5%，则可求得其调查总人数； （ 3） 1 小时人数为总人数乘以其所占百分比， 1 时人数为总人数乘以其所占百分比； （ 4）用全校学生数 每天参加体育活动的时间在 时以下所占百分比即可 【解答】 解：（ 1） 360 （ 1 50% 30% 5%） =54； （ 2） 10 5%=200 人； （ 3） 200 15%=30 人， 200 30%=60 人； 第 21 页（共 34 页） （ 4）平均每天参加体育活动的时间在 时以下人数为 2000 5%=100（人） 24小宇想测量位于池塘两端的 A、 B 两点的距离他沿着与直线 行的道路 走，当行走到点 C 处，测得 5，再向前行走 100 米到点 D 处，测得 0若直线 间的距离为 60 米，求 A、 B 两点的距离 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得 于 N 而可以求得 长 【解答】 解：作 点 M，作 点 N，如右图所示， 由题意可得， N=60 米， 00 米， 5， 0， 米， 米， D+00+20 60=（ 40+20 ）米， 即 A、 B 两点的距离是（ 40+20 ）米 第 22 页（共 34 页） 25随着柴静纪录片穹顶之下的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了 A， B 两种型号的空气净化器，已知一台 A 型空气净化器的进价比一台 B 型空气净化器的进价多 300 元，用 7500元购进 A 型空气净化器和用 6000 元购进 B 型空气净化 器的台数相同 （ 1）求一台 A 型空气净化器和一台 B 型空气净化器的进价各为多少元？ （ 2）在销售过程中， A 型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎为了增大 B 型空气净化器的销量，商社电器决定对 B 型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当 B 型空气净化器的售价为 1800 元时，每天可卖出 4 台，在此基础上，售价每降低 50 元，每天将多售出 1 台，如果每天商社电器销售 200 元，请问商社电器应将 B 型空气净化器的售价定为多少元？ 【考点】 一元二次方程的应用；分式方程的应用 【分析】 （ 1）设每 台 B 种空气净化器为 x 元， A 种净化器为（ x+300）元，根据用 6000 元购进 B 种空气净化器的数量与用 7500 元购进 A 种空气净化器的数量相同，列方程求解； （ 2）根据总利润 =单件利润 销量列出一元二次方程求解即可 【解答】 解：（ 1）设每台 B 型空气净化器为 x 元， A 型净化器为（ x+300）元， 由题意得， = ， 解得： x=1200， 经检验 x=1200 是原方程的根， 则 x+300=1500， 答：每 B 型 空气净化器、每台 A 型空气净化器的进价分别为 1200 元， 1500 元； （ 2）设 B 型空气净化器的售价为 x 元，根据题意得；（ x 1200）（ 4+ ）=3200， 解得： x=1600， 答：如果每天商社电器销售 B 型空气净化器的利润为 3200 元，请问商社电器应将 B 型空气净化器的售价定为 1600 元 第 23 页（共 34 页） 26如图，在平面直角坐标系中， 顶点 A， C 分别在 y 轴， x 轴上， 0， ，抛物 线 y=a 经过点 B（ 2， ），与 y 轴交于点 D （ 1）求抛物线的表达式； （ 2）点 B 关于直线 对称点是否在抛物线上？请说明理由； （ 3）延长 抛物线于点 E，连接 说明 理由 【考点】 二次函数综合题 【分析】 方法一： （ 1）把点 B 的坐标代入抛物线的表达式即可求得 （ 2）通过 得 值，通过 出 B， 后得出结论 （ 3）设直线 表达式为 y=kx+b，求得与抛物线的交点 E 的坐标，然后通过解三角函数求得结果 方法二： （ 1）略 （ 2）利用垂直公式及中点公式求出点 B 关于直线 对称点 B坐标，并得出 B与点 D 重合 （ 3）分别求出点 A， C， E， D 坐标，并证明直线 率相等 【解答】 方法一： 解：（ 1）把点 B 的坐标代入抛物线的表达式，得 =a 22 2a a， 解得 a= ， 抛 物线的表达式为 y= x （ 2）连接 点 B 作 x 轴于点 F，则 0 第 24 页（共 34 页） 0， 0， 0， = ， 设 OC=m，则 m，则有 = ， 解得 m1=， F=1， 当 x=0 时， y= ， ， D， 0， B， 点 B、 C、 D 在同一直线上， 点 B 与点 D 关于直线 称， 点 B 关于直线 对称点在抛物线上 （ 3）过点 E 作 y 轴于点 G，设直线 表达式为 y=kx+b，则 ， 解得 k= ， y= x+ ，代入抛物线的表达式 x+ = x 解得 x=2 或 x= 2， 当 x= 2 时 y= x+ = （ 2） + = ， 点 E 的坐标为（ 2， ）， 第 25 页（共 34 页） = = ， 0 = = ， 0， 方法二： （ 1）略 （ 2）设 C 点坐标为（ t， 0）， B 点关于直线 对称点为 B， 0， 1， ， A（ 0， ）， B（ 2， ）， C（ t， 0）， = 1， t（ t 2） = 1， t=1， C（ 1， 0）， ， ， Bx=0， BY= ， B 关于直线 对称点即为点 D （ 3） A（ 0， ）， B（ 2， ）， ， 解得： （舍）， 2， E（ 2， ）， D（ 0， ）， A（ 0， ）， C（ 1， 0）， 第 26 页（共 34 页） ， ， 27在平面直角坐标系 ，点 P 的 坐标为（ 点 Q 的坐标为（ 且 P， Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P， Q 的 “相关矩形 ”，如图为点 P， Q 的 “相关矩形 ”示意图 （ 1）已知点 A 的坐标为（ 1， 0）， 若点 B 的坐标为（ 3， 1），求点 A， B 的 “相关矩形 ”的面积； 点 C 在直线 x=3 上，若点 A， C 的 “相关矩形 ”为正方形，求直线 表达式； （ 2） O 的半径为 ，点 M 的坐标为（ m， 3），若在 O 上存在一点 N，使 得点 M， N 的 “相关矩形 ”为正方形，求 m 的取值范围 【考点】 圆的综合题 【分析】 （ 1） 由相关矩形的定义可知：要求 A 与 B 的相关矩形面积，则 为对角线，利用 A、 B 两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积； 由定义可知， 为正方形的对角线，所以 x 轴的夹角必为 45，设直第 27 页（共 34 页） 线 解析式为； y=kx+b，由此可知 k= 1，再（ 1， 0）代入 y=kx+b，即可求出 b 的值； （ 2）由定义可知， 为相关矩形的对角线，若该相关 矩形的为正方形，即直线 x 轴的夹角为 45，由因为点 N 在圆 O 上，所以该直线 圆 O 一定要有交点，由此可以求出 m 的范围 【解答】 解：（ 1） A（ 1， 0）， B（ 3， 1） 由定义可知：点 A， B 的 “相关矩形 ”的底与高分别为 2 和 1， 点 A， B 的 “相关矩形 ”的面积为 2 1=2； 由定义可知： 点 A， C 的 “相关矩形 ”的对角线， 又 点 A， C 的 “相关矩形 ”为正方形 直线 x 轴的夹角为 45， 设直线 解析为： y=x+m 或 y= x+n 把（ 1， 0）分别 y=x+m， m= 1， 直线 解析为 ： y=x 1， 把（ 1， 0）代入 y= x+n， n=1， y= x+1， 综上所述，若点 A， C 的 “相关矩形 ”为正方形，直线 表达式为 y=x 1 或 y= x+1； （ 2）设直线 解析式为 y=kx+b， 点 M， N 的 “相关矩形 ”为正方形， 由定义可知：直线 x 轴的夹角为 45， k= 1， 点 N 在 O 上， 当直线 O 有交点时，点 M， N 的 “相关矩形 ”为正方形， 当 k=1 时， 作 O 的切线 与直线 行， 其中 A、 C 为 O 的切点，直线 y 轴交于点 D，直线 y 轴交于点