第4章线性方程组解的结构 ppt课件

-1- 第四章第四章 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用 4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构 4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构 4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理 -2- 4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理 在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性 方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时， 深入研究解的性质和解的结构。 -3- (4-1)(原始形式原始形式 ) (矩阵形式矩阵形式 ) (向量形式向量形式 ) -4- 非齐次方程组解的存在性定理 定理定理 4.1.1 对于 非齐次非齐次 方程组 (4-1) 向量 可由 A的列向量组 线性表示。 -5- 定理定理 4.1.2 设 的线性方程组 的系数行列式 Cramer法则 则方程组有唯一解 ,且解为 : (4-2) -6- 齐次方程组解的存在性定理 (4-3) (矩阵形式矩阵形式 ) (向量形式向量形式 ) (原始形式原始形式 ) -7- 定理定理 4.1.3 对于 齐次齐次 方程组 (1) A的列向量组线性无关 (2) A的列向量组线性相关 推论 1 当方程的个数 m小于未知量的个数 n，则 齐次齐次 方 程组必有非零解。 -8- 定理定理 4.1.4 设 的线性方程组 有非零解 (4-4) 学习书 P.135 例 2 -9- 第四章第四章 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用 4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构 4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构 4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理 -10- 4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构 (2) 解集的秩是多少 ? (3) 解集的最大无关组 (又称为 基础解系基础解系 ) 如何求 ? 齐次方程组 (假设有无穷多解 ) (1) 解集的特点 ? 称： -11- 性质 1： 若 是 (4-3)的解， 解空间 : 的所有解向量的集合 S，对加法和数乘 都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次 线性方程组的 解空间 。 性质 2： 注： 如果 (4-3)只有零解，解空间是零空间。 如果 (4-3)有非零解，解空间是非零空间。 性质性质 推论 1 而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。 首先回答问题 (1) -12- 设 是 矩阵，如果 则齐次线性方程组 的基础解系存在， 且每个基础解系中含有 个解向量。 定理定理 4.2.1 推论推论 2 设 是 矩阵，如果 则齐次线性方程组 的任意 个线性无关 的解向量均可构成基础解系。 -13- 设 是 的解，满足 线性无关； 的任一解都可以由 线性 是 的一个 基础解系 。 基础解系 表示 ,则称 下面我们用一个例子回答第 (2)和第 (3)个问题， 同时也是定理 4.2.1的例证。 ( 取任意实数 )从而 也是 (4-3)的解。 -14- 齐次线性方程组基础解系的证明（基础解系求法） （ 1）对系数矩阵 A 进行初等变换，将其化为最简形 -15- 由于 分别令 （ 2）得出 ，同时也可知方程组含有 个自由未知量： -16- 于是得 -17- 下证 是方程组的 基础解系 由上式可以看出 ， 就是 n-r个 n-r维单位坐标向量，它们是线性无关的 也是线性无关的 后 n-r个分量， 因而添加了 r个分量的向量组 -18- 最后 n-r 个分量即自由未知量相同，从而两个解完全一样 -19- 于是得通解 所以 ， 是方程组的 基础解系 -20- 因为秩 (A)=24，所以方程组有非零解。 。 x1 2x1 x1 2x2 x2 x2 2x3 2x3 4x3 x4 2x4 3x4 0 0 0 = = = + + - + - - + - - 解： 2 1 -2 -2 1 -1 -4 -3 1 2 2 1 A= 0 -3 -6 -4 0 -3 -6 -4 1 2 2 1 0 3 6 4 0 0 0 0 1 2 2 1 0 1 2 4/3 0 0 0 0 1 2 2 1 0 1 2 4/3 0 0 0 0 1 0 -2 -5/3 ， 例 1 解线性方程组 通解为 x1 x2 x3 x4 2 -2 1 0 5/3 -4/3 0 1 + c2= c1 ， (c1， c2是任意常数 )。 -21- 例 1 解线性方程组 。 x1 2x1 x1 2x2 x2 x2 2x3 2x3 4x3 x4 2x4 3x4 0 0 0 = = = + + - + - - + - - 解： 2 1 -2 -2 1 -1 -4 -3 1 2 2 1 A= 0 1 2 4/3 0 0 0 0 1 0 -2 -5/3 ， 对应方程 (x3， x4为自由未知量 )，x1x 2 2x3 2x3 (5/3)x4 (4/3)x4 = =- + - 令 得基础解系 通解为 x1 x2 x3 x4 2 -2 1 0 5/3 -4/3 0 1 + c2= c1 ， (c1， c2是任意常数 )。 -22- 说明： 通过基础解系求通解和原来方法求出的通 解是一样的，过程稍有一点区别而已 -23- 例 2 解线性方程组 解 对系数矩阵施 行初等行变换 -24- 即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量 . -25- 所以原方程组的一个基础解系为 故原方程组的通解为 -26- 例 2 设 , 是 的 两个不同的解向量 , k 取任意实数 , 则 Ax = 0 的通解是 -27- 设 ,证明 证 记 则由 说明 都是 的解 因此 移项 重要结论重要结论推论推论 3 -28- 且线性无关，则 _是 AX=O的基础解系。(2),(3) 则 _可为 AX=O的基础解系。(4) 练习练习 (1) (2) -29- 例 3 证明 设 , 首先证明 利用这一结论 证 重要结论重要结论 -30- 例 4 求一个齐次方程组 , 使它的基础解系为 记之为 AB=O ,这相当于要解矩阵方程 , 习惯把未知 的 A 放在右边 , 转置 ,只需解 然后再把这些解拼成 的列 ( A 的行 )即可 . 解 得基础解系 设所求的齐次方程组为 , 则 取 即可 . 解 第四章第四章 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用 4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构 4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构 4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理 -32- 4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构 以下总假设 有解 , 而其对应的齐次方程组 的基础解系为 这里 -33- 性质性质 (1) 设 都是 (1)的解 ,则 是 (2)的解 . (2) 设 是 (1)的解 , 是 (2)的解 ,则 仍是 (1)的解 . 设 是 (1)的一个解 (固定 ), 则对 (1)的任一解 x 是 (2)的解 ,从而存在 使得 又形如 (3)的向量 ( 任取 )都是 (1)的解 . 由此得 : (3) 注：非齐次方程组的解集不是空间。 -34- 定理定理 4.3.1 设 是 (1)的任一解 , 则 (1)的通解为 例 5 解 -35- 在对应的齐次方程中 取 得齐次方程组的基础解系 于是所有通解 即得方程组的一个解 -36- 设 是非齐次方程组 Ax=b 的解 , 则 是 Ax=0 的解 是 Ax=b 的解 例 6 -37- 例 7 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3, 已知 是它的三个解向量 , 且 求该方程组的通解 . 解 取 , 则它就是解 ,从而也是基 础解系 . 基础解系所含向量个数 = 4 3 = 1 故非齐次方程组的通解为 -38- 自学书 P.144-145