自动控制原理线性系统的根轨迹法

第四章 线性系统的根轨迹法 4.1 引言 控制系统的基本性能（稳定性、动态性能）主要取 决于闭环系统特征方程的根（闭环极点）。因此，确定 闭环极点的位置，对于分析和设计系统具有重要意义。 为了避免直接求解高阶系统特征方程根的麻烦， 1948年 W.R.Evans提出了一种图解法 根轨迹法。 根轨迹法是用于分析和设计 线性定常控制系统 的一 种工程方法。具有简便、直观及物理概念明确等特点， 因此在工程实践中获得广泛应用。 本章重点研究问题 根轨迹法的概念、绘制根轨迹的规则、非最小相位 系统的根轨迹、广义根轨迹、增加开环极零点对根轨迹 的影响、用根轨迹分析系统性能。 1 考虑某一参数变化后，闭环极点运动规律（轨迹） ，了解闭环系统动态性能的变化。 利用系统的开环传递函数的零极点分布来研究闭 环系统的极点的分布 。 G(s) H(s) + - 闭环传递函数分母为零 称闭环系统特征方程式 4.2 根轨迹法的概念 2 若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根 与闭环传递函数的极点是一一对应的。 例 : 二阶系统的根轨迹 开环增益 K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极 点的全部数值。 1.根轨迹的定义 开环系统 （传递函数）的 某一个参数 从零变化到无穷大时， 闭环系统特征方程的根 在 s 平面上 的轨迹称为根轨迹。 3 K s1 s2 0 0 -2 0.25 -0.3 -1.7 0.5 -1 -1 1 -1+j -1-j 2.5 -1+j2 -1-j2 -1+j -1-j 4 2.根轨迹与系统性能 稳定性 考察根轨迹是否进入右半 s 平 面。 稳态性能 开环传递函数在坐标原点有 一个极点，系统为 1型系统，根轨迹上 的 K值就是静态速度误差系数。如果给 定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图 可以确定闭环极点位置的容许位置。 由开环传递函数绘制根轨迹，通常 采用 根轨迹增益 ，根轨迹增益与开环增 益之间有一个转换关系。 动态性能 由 K值变化所对应的闭环极 点分布来估计。 5 对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到 根轨迹。 根轨迹法 从开环传递函数着手，通过图解法来求闭 环系统根轨迹。 设 控制系统如图所示 3.闭环极点与开环零、极点之间的关系 6 7 根轨迹法的任务： 由已知的开环零极点和根轨迹增益 ，用图解方法确定闭环极点。 结论： 闭环 极点 与开环零点、开环极点、根轨迹增益 均有关。 8 由闭环传递函数 当 求出相应的根，就可以在 s平面上绘制出根轨迹 。 根轨迹方程 4.根轨迹方程 9 根轨迹方程可以进一步表示为 相角条件（幅角条件） ： （充分必要条件） 模值条件（幅值条件） ： 10 由 开环零、极点 指向轨迹点的向量的方位角 。 (2) 根 轨迹 上的点 符合 相角 条件 ，且 符合 相角 条件 的点 一定 在根 轨迹 上。故 相角 条件 是根 轨迹 的 充 要条件 。 (1) 当 从 变化 时， S平面 上系统 特征 根 的 变化形成轨迹 。每 一个 值 ，按幅值 条件对应 于 根 轨迹 上的 n个点。 11 例 4.1 开环 极点： 无开环 零点 闭环系统特征方程式 : 闭环特征根 : 1. 2. 3. 4. 验证 ： 12 4-3 根轨迹绘制的基本法则 常规根轨迹：可变参数为根轨迹增益 相角条件： 180o根轨迹 规则 1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环零点。 简要证明： 13 又从 为了避免丢失方程的根，在上式中作变换 ： 这仍然是个 n次方程： 对应有： 14 在实际系统通常是 ，因此有 条根轨迹终止 于 s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 个无 限远（无穷）零点。 有两个无穷远处的 终点 有一个无穷远处的 起点 15 规则 2、 3：根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数 与开环极点数 n相等（ nm） 或与开环有限零点数 m相等（ nm 时，则有（ n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。 这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和 交点来确定。 与实轴夹角 与实轴交点 18 19 20 21 例 1 设单位反馈系统的前向传递函数为 （ 2）有 4条根轨迹的分支，对称于实轴 （ 1） （ 3） 有 n-m=4-1=3条根轨迹渐近线 22 与实轴夹角 与实轴交点 23 24 规则 6：根轨迹分离点和会合点 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即 分开的点称为分离点（会合点）。 分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定： 0 j 分离角为： 0 j j 0 25 系统闭环 特征方程 为 根轨迹若有 分离点 ，表明闭环特征方程有重根，重 根条件为 两式相除得 简单证明： 26 解（ 1）开环零点 开环极点 根轨迹分支数为 3条，有两个无穷远的零点 。 例 2 绘制图示系统大致的根轨迹 代入得 27 （ 2）实轴上根轨迹 （ 4）分离点（用试探法求解） （ 3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点 28 例 3：设单位反馈系统的传递函数为 （ 1）一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支； 有一个无穷远处的零点。 （ 2）渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（ -， -2。 试绘制闭环系统的根轨迹。 解 : 29 （ 3）分离点 d2不在根轨迹上，略去 30 （ 4）由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部 分，圆心为（ -2， j0)， 半径为 证明略 31 规则 7： 根轨迹与虚轴的交点 交点对应的根轨迹增益 和角频率 可以用劳斯判 据或闭环特征方程（ ）确定。 可由 劳斯表 求出 或 令 s=j 解出 32 例 4.2 设单位负反馈控制系统开环传递函数： 试 绘制控制系统根轨迹图 。 解 ： 规则 1：根轨迹起始于开环极点 0， 2， 4， 终止开环零点 ， ， 规则 2：根轨迹 的 分支 数 等于特征根个数 n 3 规则 3: 根轨迹 的 对称 性： 关于实轴对称 。 规则 4: 实轴 上的根 轨迹线段是 【 2， 0】 ，（ ， 4】。 33 规则 6： 根轨迹的分离点： 舍去 实轴交点 与实轴夹角 规则 5： 根轨迹的渐近线：共有 3 0 3条渐近线 34 规则 7： 与 虚轴 交点： 代入实 部， 实部 虚部 劳斯表 ： S3 1 8 S2 6 S1 0 S0 0 时， S1行全为 0 辅助方程： 6S2 48 0 35 规则 8：根轨迹的起始角（ 出射角 ）和终止角（ 入射角 ） 起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的 切线与实轴的夹角 。 出射角反向 + 各零点指向本极点的方向角 - 各零点指向本极点的方向角 36 根据角条件 : 各零点指向 pa极点的方向 角 - 各零点指向 pa极点的 方向角 =指向正左方 37 例 4 设系统开环传递函数 试绘制闭环系统大致的根轨迹。 解（ 1）无开环零点，开环极点 在实轴上根轨迹 -3， 0。 （ 2）有 4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点 38 （ 3）分离点 （ 4）起始角（出射角） 39 （ 5）与虚轴的交点 运用劳斯判据 由第一列、第四行元素为零 由辅助方程 40 41 规则 9： 闭环极点之和、闭环极点之积 设 控制系统的闭环特征方程可写成 并设 它的 n个根分别为 ： 根据代数方程 根与系数的关系 有： 42 结论 ： （ 1）若 n-m2 闭环极点之和 = 开环极点之和 =常数 （ 2）对于 1型以上（包括 1型）的系统，闭环极 点之积与开环增益值成正比。 若 n-1m， 对多项式进行降幂排列，有： 43 4.4 绘制非最小相位系统的根轨迹 最小相位系统 ：在 S右半平面没有开环零点或开环 极点的系统。否则为非最小相位系统。 非最小相位系统（下一章频率响应法进一步说明） 44 1 正反馈系统的根轨迹 G(s) H(s) + 闭环传递函数分母为零 称闭环系统特征方程式 得 幅值条件 相角条件（ 差别 ） 45 与 相角条件有关的需要修改规则： 规则 4: 实轴 上的根 轨迹 ：凡 右边具