《泛函分析》课后习题答案(张恭庆)

度量空间中求证 ； 为了子集 A 是列紧的 ， 其充分且必要条件是对 0 存在 A 的列紧的 网证明 必要性显然 ,只证充分性 . 0, 设 N 是 网;N 的有限2 网 , 则有x A, N, x, 2 N, x , x 2x, x x, , x22 A 的有限 定距离空间X, ,设 M X 是紧集 ,求证 亦达到它的上 ,下确界 . 证明f f, fx fx 0, x M, fx 1n f f f f 集条件不可少 . 例0, 1上考虑xnt, xnt fx 01x2t 0112n1 f 0,0 0, 1度量空间中求证 ： 完全有界的集合是有界的 , 并且通过考虑2的子集2ekk1, ekk0, 0, ,1,0,来说明一个集合可以是有界但不完全有界 M 是完全有界集 , 那么 0 , M 的有限的 网 . 特别对 1 , 设N , 则有M k1nB. 于是x M , 设 a 为空间 X 的一个固定元 . 我们有x, a x, a 1 kna,即 M 是有界的 ekk1有界但不完全有界 . 首先 , 对k , 2 1, 其中 0, 0, ,0,ekk1有界 . 再注意到eji0, 0, ,1,0, j0, 0, ,1,0, 0, ,1,0, 1, j i.k1eik ejk212 2 j i ekk1与其任意子列都不收敛 , 从而ekk1不是列紧的 , 根据 也就不完全有界 X, 是度量空间 ，它的两个紧子3集， 求证得 其中F21,yx, yd x y n N, F2,d d 1应的列必收敛 ,但因为 , 存在它们的子序列敛 ,设有d d 1 d M 是Ca, b中的有界集 ,求证集合M Fx t f 证 : 设E Fx t f M ,f M, |ft| t a, b|Fx| t ab|ft| M0b aF E 一致有界 .|F F t ft| M0| 0, | |F F F E 等度连续 M 是Ca, b中的有界集 ,求证集合M Fx t f 证 : 设E Fx t f M ,f M, |ft| t a, b|Fx| t ab|ft| M0b aF E 一致有界 .|F F t ft| M0| 0, |F F F E 等度连续 证ntn1在C0, 中不是列紧的 只要证ntn1非等度连续 1, 0,取 k N, 使得1k ,2k,4k 0, ,0,|0| 4k1k ,|0| 1 ntn1非等度连续 间 A 的列紧性条件 . A 在列紧的 ，当且仅当 ， 对于任何 n , C n 0 , 使得对 1, 2, , n, A,的点的第 n 个坐标的5数集是有界的 ，即|n| n 1, 2, 要性 . 因为 A 在 S 中是列紧的 , 任意一个无穷点列m 收敛子序列. 因为S 中的收敛与按坐标收敛等价 , 所以点列m中的每一个点 ( 固定 m ) 的坐标序列nm n 1, 2, 也可以从其任意无穷子集中取出收敛子序列 , 而坐标序列构成数集 ， 要从其任意无穷子集中取出收敛子序列显然应该要求它们有界 性 , 根据习题 只要构造 A 的列紧的 网 , 0 , 取定一个 n 充分大 , 使得12n , 考虑形如hnn1, 2, , n,0,0,的点的集合 H , 其中1, 2, , n, n1, A. 因为x, kn112k|k|1 |k|kn112k12n 是 A 的 是在 S 中列紧的 . 事实上 , 可以将 H 看做是元素为1, 2, , n的 n 维空间中的子集 , 由假设|k| k 1, 2, n, 即每个坐标都是有界的 , 所以 H 可看做是 n 维空间中的有界集 . 从而是列紧的 X, 是距离空间 , M 是 X 中的列紧集 ,若映射T : X M 满足 x, y x, y X, x y,求证 T 在 X 上存在唯一的不动点 . 证记d x, fx | x M,6证明 先证 存在M,使得f n , M, 使得d f d 1n,又因为 M 列紧 ，故存在 将上面不等式中的 n 改为d f d 1令 k d 0. 用反证法 如果 d 0,则有d f ff f d， 矛盾 M, 是一个紧距离空间 ,又E CM, |x x cx E, M,其中 0 1, c 0 ,求证 E 在CM中是列紧集 0,取 当 时,|x x C注 是等度连续的 C z a, b，令z1 |a|b|;z2 z3 a|, |b| ; z4 2.(1) 求证i, i 1, 2, 3, 4都是 (2) 画出ii 1, 2, 3, 4各空间中的单位球面图形 ； (3) 取O 0, 0, A 1, 0, B 0, 1， 试在上述四种不同范数下求出 边的长度 .| |1 0| |0 1| 2.| 2 . | 1 0|, |0 1| 1.| C0, 1表示0, 1上连续且有界的函数xt全体 对x C0, 1，令x t1|xt|(1) 是C0, 1空间上的范数 ；(2) l与C0, 1的一个子空间是等距同构的 解x C0, 1,x x1, , x1n, l2x |x1n| x 1, 2, , n, l,将点列1, 1,12, 2, , 1n, n, 用折线连接起来 ,得到一个函数xt C0, 1. x |n| .x xx x)11, 21,21,注 折线函数在每一个折线段上的最大值由端点值决定 . ) t x a b a x b x a| x t | | x a |b a | x b |x a ma x | x a | , | x b | C1a, b中令x1xt|2 |xt|2x C1a, b(1) 求证1 是C1a, b上的范数 ;(2) 问C1a, b, 1是否完备 ？考虑, 1中的函数列 :fnx 1 x 1可以验证fnx1按范数1 是基本列 x |x| , 1x n2,m nfmx fnx2 2 01 21110 n 2 012 0111n211n2 01n 11n2 n2 1 1n 1 1nn 0 n x |x| , 1C0, 1中， 对每个x C0, 1令x101|xt|2x2011 t|xt|2证1 和2 是C0, 1中两个等价范数 然x1 x2.x22 011 t|xt|201|xt|2 01t |xt|2 2 01|xt|2 2x12 x2 2 x, 表示0, 上连续且有界的函数fx全体 ， 对于每个f , 及 a 0, 定义fa 0eax|fx|21)求证a 是, 上的范数 (2)若 a, b 0, a a, b 作为, 上的范数是不等价的 证明 不妨假设b a 0,显然有fb fa,由此可见 ,为了证明不等价性 , 只要证不存在 c 0, 使得fa cfbf , , ,使得fna2fngnx x n 1 x, n x n 10, x n 1fnxgnxf0ne n,f0e 0eba1bafna2fnb2nba两个线性赋范空间 ， 定义X | 规定线性运算如下 ： , K, 并赋以范数 , 其中1 和2 分别是 范数 ， 求证 ： 如果B 空间 ， 那末X 也是 证明 设xn是则xn xm 0 n, m x1n x1m10 n, m x2n x2m20 n, m 因为B 空间 ,所以 得x1n因为B 空间所以 得x2n下证 xnx. 事实上 , 0,N 使得xn xm 2n, m Nx1n x1m12n, m Nx2n x2m22n, m Nmx1n n Nx2n n Nxn x x1n x2n 2 n N X 是 求证 ： X 是 B 空间 ， 必须且仅须对7 X,n1 n1证由mmmmp然 .设基本列 , 由 要在一串收敛子列 对 k , 取k12k,因为基本列 ,所以得 n, m 12k,于是得 12k,取k 1, 2, i1k 因为i1 i112k 1,由假设 , i1 敛 . 即敛 ,也就是敛 .即在一串收敛子列 2中,对x 2,定义范数x |,并设0, 1, 1, 0.求 a 1适合 18并问这样的 a 是否唯一 ? 请对结果作出几何解释 解 a,1 a|,1 |a| |a| 11 |a| 1 0 5 0 5 0. 0 0. 5 1. 0 1. 5 2. 00. 51 52 1 1,最佳逼近元 a | 1,不唯一 . 2, 非严格凸 , 如图所示 , x y x1.x 1 . 4 . 1 1 设 X 是线性赋范空间 ， 函数 : x 1称为凸的 ， 如果不等式 x 1 x x 1 x 成立 . 求证凸函数的局部极小值必然是全空间最小值 证明 用反证法 . 设局部极小点 , 则U 那么( ) ( ) ( ) ( )()()() ()10 2000x x,+ = =于是f0 |,即|Tf| |证 ：( ), 的充要条件是 T 为线性算子并将 X 中的有界集映为 Y 中的有界集 要性显然 . 下证充分性 . 1x 是 X 中的有界集 , 依题意,0,M 使得( ), x x于是对,x 有 , x 而对于 ,x = x 自然成立 , 从而( ) x x X 即知( ),( ), ， 求证2(1) 1 (2) 1() ) ( ) ( ) ( )111f+=+ +( )1su ) 0, 1 上的一致连续性 , n, N 将 0, 1 n 等分 , 使得函数在每一等分区间上的振幅小于 :图16在第一类区间上不含有函数 ( ) 这类区间记作 ,在第二类区间上至少含有函数( )一个零点 , 这类区间记作. 因为函数 ( )区间 上必有零点 , 所以在每个区间 上有 ( ) 又 ( )( )()10010ff x y t d t 2fy t d t . ( ) ( )()1010y t y t d t 2 ! 又 ( )() ()01100f f x yt d t 2 f yt d t . ( ) 11fx x= 0, 00,x 使得( )()00001, 注意到()( )001, 于是111, =证明10, x , 使得( )11两边取倒数 , 并乘以 11 ( )( ),xy ( ) ( ),1 , . 取 1. =并设( ),1B X 中的开单位球 ; 2( )0,1 X 中的开单位球 . 下面证明 ( ) ( ),1 ,1 =( ) (),1 1 1,1xB x x ， 使得,m x x X 求证 ： U 有连续 逆1U， 并且311/ 条件 , U 是满射 ,且是单射 . 所以根据 ( )1,L ,1,=设1,Uy x= 则11 = = 111= = H 是 () 并且 0m ， 使得2|( , )| , x m x x H 求证1()L 条件 , ,2|( , )|m x Ax x x x m x 所以 A 是单射 . 4( )( )?,0 =2|( , )| ,Ax x m x x =故有 ( )( ) ?=所以( ) 设 ) 并设y= ,则由 m x x 是基本列 .( )xH = ( )闭的 . ( ) ( )A=H= 即 A 是满射 1() ,线性赋范空间 ，5D 是 X 的线性子空间 ，:是线性映射 . 求证 :(1) 如果 A 连续 ， D 是闭集 ，则A 是闭算子 ;(2) 如果 A 是连续且是闭算子 ，则Y 完备蕴含 D 闭;(3) 如果 A 是一一的闭算子 ，则1A也是闭算子 ;(4) 如果 X 完备 ， A 是一一的闭算子 ， () Y 中稠密 ， 并且1A连续 ， 那末 ()= .(1) 如果 是闭的 ，则 设( ),x y ( ), =6A 闭算子(2) 如果 A 连续 ，又 Y 完备 , 那么根据定理 A 能一地延拓到D 上成为连续线性算子 ,| , = 本题还有一个条件 A 是闭算子 ,下面证明 D 闭 . 设,x x 则有 , x 于是因为 所以,x x7, 且 ) 如果 则1A也是闭算子 ) ( )1,y y x x y= = 因为 A 是闭算子 , 所以( ), ), 1A是闭算子 .(4) 如果 X 完备 ，A 是单射的闭算子 , () Y 中稠密 , 并且1A连续 ， 那末( ) 是单射的闭算子(3)1A也是闭算子 (2)( )1()A=)()() () A =等价范数定理证明1(0,1, )C 不是 其中10|()| 0,1! 反证法 . 假如 ( )10, 1 ,C 是B 空间 , ( ) ( ) (1001 01ma x . ma x ,t f t d t f t = !9 是比1强的范数 , 用等价范数定理 , 与1等价 , 即 0,M 即( ) ( )1001 ! ( )0,1 令()( )()11211010 1t = =矛盾 设 X 是1: 满足(1) () 0px x X ;(2) () () 0,px px = ;(3) 101 21212()()(),px x px px x x X+ + ;(4) 当时， () () 0M ， 使得() x x X ()11=+1x 是 X 上的完备范数 ,然后用等价范数定理 4), 有两处发挥作用 ) 0:p =( ) ( ) (110000, 0 %& =其二是证明( )1, 备时 , 从11( )100,X,nm xx x完备 , ,x X )0,1 , ,N N( )21, ( ) ( ) ( )22n n xx xx %( ) ( )11p (=( ) ()11x (=1x( =( ) x ,X 1x =12() () () ()111py py = =( ) ( )11=() ()()pe e x ( (= =()11y(=( ) ( )11=( ) ( )1000, 0 & ( ) ( )10 p%= =下面证明( )1X, x 完备 )100,X,n xx x完备 , X,x )0,1 , ,N N( )21, ( )() ()()()2222% %( )11xx = + 14( )221nn x x x x + =+ 32 2根据等价范数定理 , 0,M 使得 ( )x p x 注 : 存在某个线性空间上的强 、弱两个范数 ，使弱范数完备而强范数不完备 见反例 p 3 6 , 1 2 3 . 7 设 , B a n a c h 空间 . (, ) ( 1 , 2 , ) n = L . 又对 ， Y 中收敛 . 求证 (, ) L ， 使得收敛到 A ，且 ,x x A x$%= 在Y 中收敛 , 即( )1x ( ). 于是 x A x M x A% %= ( ),并且 li m 2 . 3 . 8 设 1 k(=( )11,1,n =一方面( )11,ik e(= *111; (= =*另一方面 ,() ()()()1111,f x f f( = =/0/01212*11111( (= =/0/01212*18又 x x f( (= 联合 ( = 1,= 令1,;)%=*1,)=*( ) ( )11L, k 且 ,由习题 ( )下面证明 %= 19设1e 0, 0,1,0,0, , 则( )=() k f(= = = 且 又11111, s up s k k k ( ) ( =% *由习题 2 . 3 . 7 ,% p (% = )x$=( )x x( )W , (,) 是满射 . 求证如果在Y 中0，则 0c 与0使y= ，且 ) | 0,NA x X 考虑映射:A X ( ),Y x X ( ), ,x= 证明 满射 2,x A x A 有界 算子定理 ，()( )1L, X 不妨假设00,y = 0, 记1,4567 = 4567于是 , 取 ,使得2,4567便有,y 其中12. 220,3 且 4567定义 ,设0,& 记 1100,=45 4567 67 11 1000 = 45456767取00,满足002,4567,x 45456767于是00 0 0nn nx x x x Cy y + +y +23再想办法将0y 折合到0,& 0,N 0120 00 y y y y y 于是对 0, 0, 取 ,足 2,4567则有122nn n x y C = 4567 =4567 ( )00 x x x= = ( ) x =A 单24射条件 A 满射 ， y Y ,X , 使得 y A x Ax =A 满射 ( )2,x A x A 有界 由 算子定理 ，()( )1L, X 设 0, 记1,4567 = 4567注意到这个结论与要证的结果十分类似 ， 其中1A相当于 , 去掉 ， 过河拆桥 取 ,使得122nn 45670,3 且 4567定义 ,n 设0,& 记 1100,=45 4567 67 11 1000nn nx x y A y y = 45456767取00,满足26002,4567,x 45456767于是10000, 33 =000,=00 0 0nn nx x x x Cy y + +y +再想办法将0y 折合到0,& 0,N 07120 00 y y y y y 于是对 0, 0, 取 ,足 2,4567则有122nn n x y C = 4567 =45672 . 3 . 1 2 设 , B a n a c h 空间 ， () , () R T Y ， 求证( 1 ) ( ) 的闭线性子空间;( 2 ) ( ) 0 ， () Y 中闭的充分必要条件是 0a ，使28() (3) () Y 中闭的充分必要条件是 0a ，( )( , ) ( ( )a T x 其中 (, )示 x 到 X 的子集 C 的距离 ) ( )00 = ()x N T = 即得( ) ( ) ( ) 是 B 空间 , ( ) ( ):T单射 、 满射 , 由逆算子定理知29( )( )1,L 0,( ( )( )y 于是 x X ,令 ,即有 x ( )8( )y y ( ) , s . t . ,x y= 由所给的不等式 ,nm n x T x x( X, s . t . 于是()x y R y = 即证得 ( ) 注意到 ( )是B 空间 . 考虑:T X ( ) Y .( ) ( ) ( ) |,DT x NT x X x=显然( ) ,=( )( )T=如果T 是闭算子 , 用 (2)的结果 , 即得结论 是闭算子 . 就看31( )x y45674567 ( ), 9()0,2 x y4567= 4567T( ),2( )( )闭 ( T 单射 ) (2)0,(: 0, 即( )( ),x( (,) 的一个共轭双线性形式 ， 满足(1) 0M ， 使得|(,)| x y ;(2) 0 ， 使得2|(,)| x 求证 : ， ! ，使得(, ) () ,fx x H= 33而且续依赖于 f 据 必存在唯一的有连续逆的连续线性算子 ( ), ) ( ),又根据 对 , 1,使得 ( )( ),对此 ,解方程( )(11,z y A z f x x z x Ay a x y= = =再证所产生的唯一的 . 设( )( ), ,x 则有( ) ( ) ( )0, , , ,f = 34,取 , 便有( )(2)20, .f ff yy 3 33= = ; 是2R 中边界光滑的有界开区域 , 1:( ;R 有界可测并满足00,( ( ) =( )li m t p x=( ) ( )li y x y+= +( ) ( )li m p x p y += +2 . 4 . 3 令 ( ) ( )() ()100 0 0 0 0100,f x f p x=3( ) ( ) ( ) ( )00000 0|fx f x fx =( ) ( )0px =于是根据 理 )1, (1) ( ) ( ) ( )1fx px (2) ( ) ( )( )10 0fx fx 再令( )( )()10,即有(1) ( )( )()( )()( )()10 00 00001;fx fx px =(2) ( )( )()( )()100fx 即得结论 )X,K, =,n =4() () f= ， 求证 : 为了存在 ， 满足 ，() , 1,2,c j n= ， 必须且仅须对12,n K , 有11| x=( )6若满足所说条件的 存在 , 则()11 1nn k k =! 若所说的不等式成立 ，设 ,1, =定义()01,=特别是( )0,= 并由充分性假设 , 7()001 Mx f M 再根据 理 , X,f 使得( ) ( )00,fx x = #= $12,x 是线性赋范空间 X 中线性无关元 ， 求证12,f X ， 使得() , 1,2,ij n%=求证1()= , 但1()& ()1,&=由推论 对 ,8X, 使得()()()()()100,fx = = &#=$=极大线性子空间的充分且必要条件是 ， M 是线性真子空间 , 并且0 有 10X | R.=(思路 : 对照命题 24 10 证 如果 M 是线性真子空间 , 并且0 有 10X | R.=( 那么9 X, ,1,1R, 使得01+ 01 =+=+,-. 0x+,) 如果 ( ) 1,M = 那么0X, X,1R, x =0x+,-. 0 0xx x M = +,-. 从而 10X | (), ) | ( ) )x| /10( )x=( )x 理 , 存在实线性连续泛函 ( ) 00 使得( )!则有11( ) ( ) ( )0fx 使得( )1,便与1的假设矛盾 . 0x ,C0,%3 使得( )0,% 这样 , y ( )0,都有( )=+ ( )()1 20211xx y =+#=+$( )( )101zx = ( ) ( )11zx % = 那么 ，实数值( ) ( )su f z便是由点 x 到平行于直线0M 的支撑直线 r 是某个实常数 ) 的距离( ), 由此可见 ， 本题的结果17说明 ：当 X,f 1,f =使得点 x 在 M 的支撑直线00的投影0y 恰好是 对点 x 的最佳逼近元时 , 这个距离( )00, 达到最