误差理论及数据分析 罗清华 课件 ppt 哈工大

第四章 不确定度的估计和合成 信息与电气工程学院 罗清华 办公室：科研楼 1#南楼 603 Email: Chapter Three: Estimation and Synthesis of Uncertainty 第四章 不确定度的估计和合成 不确定度 (Uncertainty)及其表征参数 (Characterization parameter) 不确定度的估计 (Estimation) 标准差不确定度的合成 (Synthesis) 扩展不确定度 (The Expanded uncertainty)的合成 按 t分布评定扩展不确定度 误差间的相关关系及相关系数的估计 2 4.1 不确定度及其表征参数 不确定度 (Uncertainty)的基本概念 (Basic conception) u研究不确定度的必要性 (Necessity) u不确定度的由来 (Origin) u不确定度的概念 (Definition) u不确定度的分类 (Classification) u不确定度的应用领域 (Application fields) 不确定度的表征参数 (Characterization parameter) 不确定度和误差的关系 (Relationship) 3 4.1.1 不 确定度的基本概念 4 研究不确定度 (Uncertain)的必要性 (Necessity) 误差概念和误差分析在用于评定测量结果时，有时显得既 不完备，也难于操作。 需要一种完备合理、可操作性强的评定测量结果的方法 不确定度的由来 (Origin) 1927年，德国物理学家海森堡提出不确定度关系 。 1970年前后，一些学者逐渐使用不确定度一词，一些国家 计量部门也开始相继使用不确定度。 1986年， 国际标准化组织 (OSI)等组织制定 测量不确定度 表示指南。 1999年国家质量技术监督局批准发布了 JJF 1059-1999 测 量不确定度评定与表示 海森堡 ，由于他对 原子核、铁磁性、宇宙射线、基本粒子 等概念的理解作了 重大的改进，而获得 1932年诺贝尔奖金 。被公认为 20世纪创新的思想家之一 。作为一个社会活动家，第二次世界大战后他积极 促进和平利用原子能 ， 1957年领导其他德国科学家反对以核武器装备西德军队。 海森堡 1901年 12月 5日出生于德国的维尔茨堡，青年时期在慕尼黑大学攻读 物理学， 1923年他的博士论文题为 论液体流的湍流 。 1925年解决了非谐 振子的定态能量问题。不久发表 量子论对动力学和力学关系的再解释 一 文，提出量子力学基本概念的新解释。 1927年发表 “ 测不准原理 ” ，阐明由 量子力学解释的理论局限性，某些成对的物理变量，例如位置和动量，永远 是互相影响的。虽然都可以测量，但是不可能同时得出精确值。 “ 测不准原 理 ” 适用于一切宏观和微观现象，但它的有效性通常只限于微观物理学。他 和玻尔提出哲学上的并协性原理，强调物理学测量过程中，进行测量的物理 学家的积极作用，他与被观测客体产生相互作用，使得在测量中被揭示的不 是客体自身而是测量的函数。但许多物理学家包括爱因斯坦、薛定谔、德布 罗意等都不接受并协性哲学。 1927 1941年间他任莱比锡大学教授。后四年 任柏林威廉物理学研究所所长。 1976年 2月 1日，一代物理学宗师 Heisenberg在慕尼黑逝世，享年七十五岁。 4.1.1 不确定度的基本概念 7 不确定度 (Uncertain)的概念 (Concept) 经过修正的测量结果仍有一定的 误差 。误差或大或小，或 正或负，其取值具有一定的分散性，即不确定性。 在多次重复测量中，可看出测量结果将在 某一范围内波动 ，从而展示了这种不确定性。测量结果可能的取值范围越 大，测量结果的可靠性越低；测量结果可能的取值范围越 小，测量结果的可靠性越高。 测量的不确定度表示由于存在测量误差而使被测量值不能 肯定的程度， 它的大小表征测量结果的可信程度 。 4.1.1 不确定度的基本概念 8 不确定度 (Uncertain)的分类 (Classification) 按误差性质分类，分为 系统分量 的不确定度和 随机分量 的 不确定度两类。 按不确定度数值的估计方法分类，分为用 统计方法估计 的 不确定度（ A类评定）和 用其它方法估计的不确定度 （ B类 评定）两类。 其它方法估计的不确定度（ B类评定） 不是依赖于 对样本数据的统计 ，而是设法利用与被测量有关 的 其它先验信息 来进行估计。因此，如何 获取 有用的先验信 息十分重要，而且如何 利用 好这些先验信息也很重要。 B类评定的信息来源 u 过去的测量数据 u 校准证书、检定证书、测试报告及其他证书文件 u 生产厂家的技术说明书 u 引用的手册、技术文件、研究论文和实验报告中给出的 参考数据及不确定度值等 u 测量仪器的特性和其他相关资料等； 4.1.1 不确定度的基本概念 9 4.1.1 不确定度的基本概念 10 不确定度的应用领域 (Application fields) （ 1）一些产品生产过程中的 质量检测、质量保证与控制 ，以 及商品流通领域中的商品检验等有关 质量监督、质量控制和 建立质量保证体系 的质量认证活动； （ 2）建立、保存、比较、溯源于国家标准的各级标准、仪器 和测量系统的校准、检定、封缄和标记等计量确认活动； （ 3） 基础科学和应用科学 领域中的研究、开发和试验，以及 实验室认可活动； （ 4） 科学研究与工程领域内 的测量，以及与贸易结算、医疗 卫生、安全防护、环境与资源监测等有关的其他测量活动； （ 5）用于对可以用单值和非单值表征被测量的测量结果的评 定，以及 对测量和测量器具的设计和合格评定 。 4.1.2 不确定度的表征参数 11 方差 D或者标准差 表示随机误差的分散程度。（意义） 方差 D或者标准差 可作为测量不确定性的标准参数，实 践上，使用估计的标准差 s作为表征参数，不确定度成为 标 准不确定度 ，用 u表示 ， u=s 扩展不确定度 ： U=ku ， k为包含因子，是相对于置信概率 P=1-a（ a为显著度）的置信系数。置信概率 P为测量数据包 含于区间（ -ku， +ku）的概率，通常取约定值。 当 u值可信度较高时，由选定的 P值按正态分布确定 k值（ 当被测量误差服从正态分布时） ;当 u值可信度较低时（由 小子样获得 P值），则应按 t分布确定 k值。 4.1.3 不确定度与测量误差的关系 12 相同点 ：测量不确定度和误差都是评价测量结果质量高低 的重要指标，但两者有明显的区别。 定义 ：测量误差是以 真值或约定真值 为中心，是理想概念 ，难以准确定量；而不确定度则是以 测量值 为中心，反映 对测量认识不足的程度，可以定量评定。 分类 ：测量误差分类繁多，但各误差间不存在绝对界限， 在分类和计算上不易准确掌握。而不确定可分为 A类和 B类 评定，便于计算。 4.1.3 不确定度与测量误差的关系 13 测量不确定度表示由于存在测量误差而使被测量值不能肯 定的程度，它是表征 误差对测量结果影响程度的参数 ，但 不是误差。对于某一确定的测量方法来说， 不确定度具有 确定的值 。 测量误差是指被测量的测得值与其相应的真值之差，测量 误差 取值具有不确定性并服从一定的分布 。 不确定度与误差之间的联系 ：误差是不确定度的基础，确 定不确定度首先要确定误差的性质、规律。只有这样，才 能更好地估计不确定度分量。但不确定度内容不能包括， 更不能取代误差理论，而是经典误差理论的一个补充。 4.2 不确定度的估计 不确定度的估计 (Estimation) u通常首先估计各项分量不确定度，然后在按一定 方式合成。 u标准差是不确定度的基本表征参数，我们可以用 不同的方法给出标准差。 u1. 用统计的方法估计不确定度（ A类）。 u2. 用其它方法估计不确定度（ B类）。 14 4.2.1 用统计的方法估计不确定度 u概念：指依据一定数量的测量数据，按 数理统计 的 方法给出测量的不确定度。 u基础：该方法以统计试验和统计理论为基础。所给 结果具有 明确的概率意义和一定的客观性 。 u应用范围：原则上，对于测量的随机误差的不确定 度总可以用统计的方法作出估计。 15 4.2.1用统计的方法估计不确定度 u是根据 有限次测量数据 所得的精度参数，是子样的 方差，标准差或极限误差等，是总体相应参数的估 计量。 u所依据的 数据越少 ，给出的不确定度估计的可信程 度就 越差 ，所依据的数据越多，给出的不确定度的 可信程度就越高。由于实际条件的限制，测量数据 较少，所以给出的不确定度的可信程度是有限的， 其有效数字通常只取 12位。这一差别是通过不确定 度的自由度表示。 16 4.2.1用统计的方法估计不确定度 用统计的不确定度的估计方法 u矩法 (Moments method) u贝塞尔 (Bessel)公式 u极差法 (Range method) u最大误差法 (Maximum error method) u别捷尔斯公式 17 4.2.1用统计的方法估计不确定度 矩法 按定义，方差为： 对于随机误差 ，其数学期望为： 因此，随机误差 的方差为： 在一恒定的条件下对某量 X 进行多次的重复测量，这里所 进行的测量是等精度测量，得 n个测量数据 x1, x2, , xn ， 则由方差的定义，测量的方差和标准差可估计为： 18 4.2.1用统计的方法估计不确定度 矩法 上式只适合测量数据较多时的估计。 19 4.2.1用统计的方法估计不确定度 贝塞尔公式 取方差的估计量为： 而标准差的估计量为： 其中 是 的无偏估计量，但按贝塞尔公式给出的 则是 有偏的，因为估计量 是随机变量，开方后产生系统偏差 ，即求得的 相对 有系统偏差，其值偏小。 的无偏形式 表示成如下形式： 式中， 为修正系数，对于正态分布的情形，其值列于表 1中。见下页表 : 20 4.2.1用统计的方法估计不确定度 贝塞尔公式 21 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 1.253 1.128 1.085 1.064 1.051 1.042 1.036 1.032 1.028 1.018 n 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 1.013 1.011 1.009 1.006 1.005 1.004 1.004 1.003 1.003 1.0025 4.2.1用统计的方法估计不确定度 极差法 设按某一测量方法对量 X进行 n 次等精度测量，得测量数据 x1, x2, , xn，取其中最大值 xmax及最小值 xmin做统计量（极差 ) 测量的标准差可按下式估计 式中 为系数，对于正态分布的测量误差， 值可按 n值由 查表得到（该表见下页）。 极差法给出的结果为标准差的无偏估计，在测量数据的数目 较少时，其估计精度比贝塞尔公式给出的结果略高一些， 故适合测量数据较少的情况。 22 4.2.1用统计的方法估计不确定度 极差法 23 n dn 1/dn n dn 1/dn n dn 1/dn n dn 1/dn 2 1.128 0.8862 8 2.847 0.3512 14 3.407 0.2935 40 4.322 0.2314 3 1.693 0.5908 9 2.970 0.3367 15 3.472 0.2880 45 4.415 0.2265 4 2.059 0.4857 10 3.078 0.3249 20 3.735 0.2677 50 4.598 0.2223 5 2.326 0.4299 11 3.173 0.3152 25 3.931 0.2544 100 5.025 0.199 6 2.534 0.3946 12 3.258 0.3069 30 4.085 0.2448 200 5.495 0.182 7 2.704 0.3698 13 3.336 0.2998 35 4.213 0.2374 400 5.882 0.170 4.2.1用统计的方法估计不确定度 最大误差法 设测量误差服从正态分布，现对量 X进行多次独立的重复测量 ，得测量数据 x1, x2, , xn，若已知被测量的真值 X （或相 对真值），则可得测量数据的真误差 ，测量的标 准差可估计为： 式中： 绝对值最大的误差； 系数，其值可查表得到； 24 4.2.1用统计的方法估计不确定度 最大误差法 但被测量的真值或相对真值常是未知的，所以实际上应按残 差计算标准差，取 ，则： 式中： 绝对值最大的残余误差； 系数，其值按 n值，查表得到； 25 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 1.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58 0.56 0.55 0.53 0.49 0.46 0.44 0.43 1.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44 4.2.1用统计的方法估计不确定度 最大误差法 适用范围及特点： 用最大误差法估计标准差方法简便，所求 得的标准差 S为无偏估计量，在测得的数据较少（约 n10 ）时，这一估计量有一定精度，因而有一定使用价值。特 别是 在一次性试验中，不可能按贝塞尔公式给出标准差， 这时只能用最大误差法作出估计。这是最大误差法的突出 特点。 26 4.2.1用统计的方法估计不确定度 最大误差法 例 1: A, B对某量的测量数据分别为 5.5286 和 5.5302 ，经较为 精确的检定，其结果为 5.5298，试评定 A和 B的测量精度。 解 : 检定结果较为准确，故可认为其结果为相对真值，则所 获得结果的误差分别为 : 用最大误差法计算相应的标准差： 故 B的结果远较 A的结果精度高。 27 4.2.1用统计的方法估计不确定度 别捷尔斯公式 设测量误差服从正态分布，若对某量 X进行多次重复测量 （独立地），得 n 个测量数据 x1, x2, , xn ，求出其相应的 残差 v1, v2, , vn ，则测量的标准差可按下式估计。 这就是计算标准差的别捷尔斯公式，其简化式为 估计结果为标准差的无偏估计，其精度与贝塞尔公式相近。 28 4.2.1用统计的方法估计不确定度 例子 ：已知某测量的测量误差服从正态分布，若对某量 X进行 10次重复测量（独立地），得测量数据 x1, x2, , xn ，如下 表所示，求其标准差。 解： 测量数据的算术平均值为 由此可求得残差，如表所示，则标准差按不同的公式分别计 算如下（为区分其效果，有效数字都取三位）： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 4.575 4.573 4.578 4.576 4.574 4.579 4.576 4.574 4.577 4.576 -0.8 -2.8 2.2 0.2 -1.8 3.2 0.2 -1.8 1.2 0.2 0.64 7.84 4.84 0.04 3.24 10.24 0.04 3.24 1.44 0.04 （ 1）按矩法计算 （ 2）按贝塞尔公式计算 （ 3）按别捷尔斯公式计算 4.2.1用统计的方法估计不确定度 30 （ 4）按极差法计算 （ 5）按最大误差法计算 4.2.1用统计的方法估计不确定度 31 4.2.2 用其它方法估计不确定度 用其它方法估计不确定度（ B类评定方法） u 概念：当误差因素的标准差 无法用统计的方法 给出时，就 需要借助其它的方法，在详细研究测量过程的基础上，按 误差的作用机理来确定标准差，这就是非统计的方法。 u 做法：以来某种非统计实验和对测量方法及以往实验资料 的深入分析。 u 适用范围：误差因素的标准差 无法用统计的方法给出 ，特 别是对某些系统性误差因素。 u 注意：按非统计的方法给出不确定度估计并没有固定的模 式和规则化的方法，应针对 具体的测量的问题 去研究。 32 B类评定的方法 u 若由先验信息给出测量结果的概率分布，及其 “ 置信区间 ” 和 “ 置信水平 ” 。 a为置信区间半宽度， ka为置信水平 a 的包含因子。 u 若由先验信息给出的测量不确定度 U为标准差的 k倍时 u 若由先验信息给出测量结果的 “ 置信区间 ” 及其概率分布 ， U置信区间的半宽度， k为置信水平接近 1的包含因子。 4.2.2 用其它方法估计不确定度 33 不确定度估计小结 34 用统计的不确定度估计方法（ A类标定） u矩法 (Moments method) u贝塞尔 (Bessel)公式 u极差法 (Range method) u最大误差法 (Maximum error method) u别捷尔斯公式 用其它方法估计不确定度（ B类标定） u“ 置信区间 ” 和 “ 置信水平 ” u 测量不确定度 U为标准差的 k倍时 各误差分量相应的不确定度合成为测量结果的总不确定度时 ，不应再按线性关系叠加，而是采用 方和根 的方法，并且 还考虑到各误差分量的相关关系。 标准不确定度 (Uncertainty)合成 (Synthesis)的基本关系 系统分量标准不确定度的合成 (Synthesis) 随机分量与系统分量标准不确定度的合成 35 4.3 各种不确定度的合成 4.3 标准不确定度的合成 测量结果的总误差 应为各项原始误差 的线 性和，即 若各项原始误差 均为随机误差，则总误差 也为随机误差。上式即为随机变量之和。根据随机变量方差 的性质，线性和的方差为： 式中 的方差； 分别为 的方差 分别为 的传递系数 误差 与 的协方差（相关矩）。 36 4.3.1 标准差不确定度合成的基本关系 以标准差的符号代入，得方差合成的表达式： 而标准差的合成关系式为 37 4.3.1 标准差不确定度合成的基本关系 相关项 反映了各项误差间的线性关联对标准差合成的影响 。误差间具有 正相关关系 时，其相互间的抵偿性减弱，则误 差间的相关系数为 正值 ，合成的 总标准差偏大 ；反之，误差 间具有负相关关系时，抵偿性增强，合成总标准差 偏小 。 当误差间具有最强的正相关关系时， 相关系数为 1，合成的标 准差最大。若各项误差间均满足这一条件，即 ，则式 可化为 38 4.3.1 标准差不确定度合成的基本关系 当误差间互不相关时，相关系数 ，则相关项为 0，式 变为如下形式： 以上各式中 与 都为总体参数，而实践上给出的都是子样 参数，以上各式应以子样参数带入。以标准不确定度 代 ， 估计的相关系数 代 ，即得合成标准不确定度为： 式中 的传递函数。 的子样标准不确定度 39 4.3.1 标准差不确定度合成的基本关系 其中相关项 而相关系数估计量 式中， 为估计的协方差。 当全部相关系数 ，则 当各项误差互不相关，全部相关系数 ，即 则： 在实际中，各 误差量之间互不相关的情形 是常能得到满足或 近似满足的。 40 4.3.1 标准差不确定度合成的基本关系 不确定（未定）的系统误差也以标准不确定度来评定。 由于未定系统误差的取值具有不确定性，所以多个不同的 这类误差进行叠加时具有随机误差那样的抵偿性，其相应 的不确定度分量的合成也采取像随机误差那样的方差相加 的方法。 若给定这类误差分量相应的各标准不确定度，应按下式合 成总的标准不确定度 。 41 4.3.2 系统分量标准不确定度的合成 考虑到不确定系统误差的不确定性，不确定系统误差的标 准不确定度与随机误差的标准不确定度也应按 方和根 的方 法进行合成，一般可认为不确定系统误差与随机误差是不 相关的，则合成的标准不确定度应为： 式中 随机误差的总标准不确定度； 系统误差的总标准不确定度。 通用的方法：有 n 项随机误差分量，其标准不确定度分别 为 。有 m项系统误差分量，其标准不确定度 分别为 ，则合成的标准差应为： 42 4.3.3 随机分量与系统分量标准不确定度的合成 式中 相应于各随机误差的传递系数； 相应于各系统误差的传递系数； 随机误差相关项； 系统误差相关项。 当各项误差因素都互不相关时，则有 43 4.3.3 随机分量与系统分量标准不确定度的合成 例 3 启动或止动秒表的标准不确定度 。求由于秒表 启、止误差引起的计时标准不确定度。 解 设启动和制动的误差互不相关，则所计时段的标准不确 定度按下式 合成 可得： 44 4.3.3 随机分量与系统分量标准不确定度的合成 例 4 如图所示，为确定孔心的坐标位置 x ，在万能工具显微镜 上，分别测量孔的二切线位置 和 ，则孔心坐标按下式计算 若 与 的测量瞄准不确定度 求所给坐标 x的 标准不确定度。 解 ：由测量方程 可知： 设两个瞄准误差互不相关，则坐标 x的标准不确定度为： 4.3.3 随机分量与系统分量标准不确定度的合成 例 4某测量方法的各项标 准不确定度分量及的传递 参数、相关系数列 于表中 计算测量的总标准不确定 度（单位略） 解：按合成公式计算测量 的总标准不确定度，将表 中数据带入式中，可得 4.3.3 随机分量与系统分量标准不确定度的合成 1 0.08 2.1 2 0.05 1 3 0.02 1.5 4 0.04 2 5 0.10 1 扩展不确定度的合成法则 系统分量扩展不确定度的合成 随机分量与系统分量扩展不确定度的合成 47 4.4 扩展不确定度的合成 测量的各项误差相应的不确定度分量若表达为 扩展不确定度 ，则将各扩展不确定度分量合成可得总扩展不确定度。 设合成的 总标准不确定度 为 u，若选定了相应于一定置信概率 的置信系数 k，则测量的 总扩展不确定度应为 U，若将合成的标准 不确定度 U=ku 的表达式代入合成公式，则 若给定各项误差 的扩展不确定度 及相应的包含因子 （置信系数） ，则相应的标准不确定度可表示为： 48 4.4.1 扩展不确定度的合成法则 将其代入总扩展不确定度的表达式，则有： 上式中，相关项 以扩展不确定度的形式表示 49 4.4.1 扩展不确定度的合成法则 一般来说，影响测量结果的 各项误差分量 可能 具有不同的分 布 ，因此相应的 置信系数 也各不相同。由这些不同 分布的误差分量综合所得的测量总误差则 不服从 正态分布，很 难准确地确定其置信系数。 而按标准差合成不确定度 时， 不需 考虑误差的分布 。 在实际计算中，在误差数目较大时，总误差也接近正态分布 ，置信系数也可按 正态分布确定 。 50 4.4.1 扩展不确定度的合成法则 当各项误差 都服从正态分布 时，合成的总误差 也服从正态分布，所以总误差的置信系数 和各误 差分量的置信系数都相同，即 扩展不确定度合成公式可化为 51 4.4.1 扩展不确定度的合成法则 在各项误差服从正态分布情况下，特别当 时，公式可 化为： 当各项误差分量服从正态分布，互不相关，即 时，公 式可化为 52 4.4.1 扩展不确定度的合成法则 若将各原始误差的扩展不确定度乘以传递系数折合至最后结果， 即 ，讨论分以下三种情况 当各项误差都服从正态分布（ ）时，有 当各项误差都服从正态分布，且有强正相关关系时（ ） ，有 当各项误差都服从正态分布，且互不相关 时，有 53 4.4.1 扩展不确定度的合成法则 对于不确定的系统误差，其扩展不确定度的合成可直接用 “ 方和根 ” 法。在合成过程中，也要考虑不确定度的相关性。 考虑到不确定的系统误差因素间也有像随机误差间那种不确 定的关系，相互间有一定的抵偿性，某些文献上也提出 “ 绝对 和 ” 法合成极限误差。 “ 绝对和 ” 法 : 设有 m项不确定的系统误差因素，其极限误差 分别为 ，折合到最后结果的极限误差为： 则按下式合成总的极限误差 概率意义含混不清，得到的结果往往偏大。 54 4.4.2 系统分量扩展不确定度的合成 设合成的 总系统分量不确定度 为 u，若选定了相应于一定置信 概率的置信系数 k，则测量的 总系统分量扩展不确定度应为 U，若 将合成的系统分量不确定度 U=ku 的表达式代入合成公式，则 若给定各项误差 的扩展不确定度 及相应的包含因 子（置信系数） ，则相应的系统分量扩展不确定度可 表示为： 4.4.2 系统分量扩展不确定度的合成 设有随机误差分量 ，相应的扩展不确定度为 ，不确定度 的系统误差分量 ，相应的扩展不确定度为 ，则总误差 的扩展不确定度应为 若认为 与 都服从正态分布或接近正态分布，设有随机误 差分量，则 有 一般式中 与 由相应的分量合成而得，故上式又可写成 56 4.4.3 随机分量与系统分量扩展不确定度的合成 在式中， 随机误差分量的扩展不确定度及其传递系数 不确定的系统误差分量的扩展不确定度及其传递系数 ， 反映误差间的相关关系的相关项。 当各误差因素间互不相关时，有 ，于是，简化为 或是 式中 随机的或系统的扩展不确定度， 的传递系数， 4.4.2 随机分量与系统分量扩展不确定度的合成 57 4.4.2 随机分量与系统分量扩展不确定度的合成 58 当将各扩展不确定度折合至测量结果时，即 ，则有 对于单次测量结果，当测量误差服从正态分布，且互不相关 时，不论是随机误差还是系统误差其扩展不确定度一律按同一 方式合成。 例 三块量块研合在一起，求组合尺寸的扩展不确定度，已 知第一块与第二块的扩展不确定度为 ，第三块的扩展不 确定度为 。 解 分析： 组合尺寸的误差应是三块量块检定误差的叠加结果。 量块的中心长度误差是由检定方法带来的，一般用扩展不确 定度表征。 以量块的扩展不确定度的大小来划分量块的等别。 按等别使用时，量块组合尺寸的扩展不确定度应是三块量块 中心长度检定扩展不确定度的合成结果。显然，它们的传递 系数都为 1 。 4.4.2 随机分量与系统分量扩展不确定度的合成 例 用万能工具显微镜测量 1m 长的丝杠螺距，采用分段累积 法测量。试分析万能工具显微镜刻尺误差的影响。万能工具 显微镜毫米刻尺长 l=200mm， 扩展不确定度为 解 需累积测量 5次，丝杆长度应为 显然，测量结果 L 引入 5次刻尺误差，即 而刻尺误差是不确定的系统误差，在 5次累积测量中其值应固 定不变，即所有测量误差 间具有强正相关关系，相关系数 。丝杠螺距测量的累积扩展不确定度为 其值较大，应考虑修正，或者改变测量方法 4.4.2 随机分量与系统分量扩展不确定度的合成 例 如左图所示，测得 a 与 l ，可按图示 几何关系求得 h值。设测得 ， L=48.62m， 测量的扩展不确定度分别为 ， ，求 h值及其扩展不确定度 解 由几何关系得 根据测量的实际情况，可认为 a与 l的测量误差服 从正态分布且互不相关，故 h 的扩展不确定度计 算如下： 4.4.2 随机分量与系统分量扩展不确定度的合成 4.5 按 t分布评定扩展不确定度 理论上，对于确定分布按 U=ku计算扩展不确定度来确定置信 概率是可行，但在实践上，由子样获得标准差的估计值 s可信 度较低，置信概率与置信系数 k和 s的可信度有关。小样本情况 下 s的可信度很低。 估计量 的可信度越低，相应于同一 值，所得的扩展不确定度 的置信概率就越小。反之，因估计的 值的可信度低，为获得 约定的置信概率应取较大的 值，即对确定的置信概率，扩展 不确定度的估计值应较大。 按正态分布确定置信系数 k时， k值与置信概率有固定的关系 ，不能反映子样标准差的上述影响。 引入 t分布，借助自由度可有效地反映 子样标准差可靠性 对 置 信概率的影响 ，从而恰当地确定 值，给出扩展不确定度。 分布 u被测量 x服从正态分布，其数学期望为 ，标准差为 ， 即服从 。 u x的 n个测量值 xi的平均值 服从正态分布 ， 即 u若以有限的 n次测量的标准差 s代替总体分布的 ，则变量 服从自由度 的 t 分布。 4.5.1 t分布 63 自由度为 r =n-1的 t分布概率分布密度函数为： 式中 为伽玛函数。 64 4.5.1 t分布 t分布有如下特征 ： u以 0为中心，左右对称的单峰分 布； ut分布是一簇曲线，其形态变化 与 n（确切地说与自由度 v）大小 有关。 自由度 v越小 ， t分布曲线 越低平 ； 自由度 v越大 ， t分布曲 线越接近标准正态分布曲线 。 4.5.1 t分布 65 扩展不确定度用于评定被测参数的优点： 直观，便于使用 ， 精密测量中常用这个参数。 当各不确定度分量有 较大子样获得时 ，有 较高可靠性 ，将 以扩展不确定度表示的各分量直接合成得到总扩展不确定度 。扩展不确定度的 包含因子 k按正态分布 取约定的固定值。 4.5.2 t分布由标准不确定度计算扩展 不确定度 对于小子样估计的不确定度分量，其可靠性差，若仍按正态 分布取固定的 k值，会使扩展不确定度引入较大的误差，给出 的扩展不确定度的可信程度降低，对于小子样估计的不确定 度，合成为总扩展不确定度时，应按 t分布确定 k值。 t变量落于区间 的概率可写为积分式 按给定的 值，可由通常的 t分布数表查得临界值 。 4.5.2 由标准不确定度计算扩展不确定度 67 扩展不确定度的计算 由 可得： 对于单次测量值 x可相应有： 式中 为测量结果 的标准差。 令 ，则 应视为相应于置信概率 的扩展 不确定度 ，有： 当已知标准差 ，并按选定的置信概率 查得 值，就可按上式求得相应置信概率的扩展不确定度 4.5.2 由标准不确定度计算扩展不确定度 68 按 t分布评定扩展不确定度的优点 u按此种方法给出的扩展不确定度具有确定的置信概率， 而与估计标准 的可靠性无关，与按正态分布给出的扩展 不确定度不同，即这种方法克服了估计标准差 可靠性的 影响。 u按这种方法给出的结果具有确定的概率意义，其数值具 有一致性、可比性。 4.5.2 由标准不确定度计算扩展不确定度 69 例 已知测量标准差 ，其自由度为 ，试给出置 信概率为 的扩展不确定度 。 解 按自由度 及显著度 由附录 一表 2查 分布临界值，得： 取 ，由 扩展不确定度为： 4.5.2 由标准不确定度计算扩展不确定度 70 4.6 不确定度的自由度及其估计 自由度的概念 统计方法估计的不确定度的自由度。 非统计方法估计的不确定度的自由度 总不确定度的自由度 71 定义：在数理统计中，定义统计量所包含的 独立变量的数目 为该统计量的自由度，数值为该统计量所包含的变量数目与 约束条件之差。 自由度表示不确定度估计量所含信息的大小，反映了不确定 度估计量的可信程度，是不确定度小子样估计的重要参数。 按 t 分布确定包含因子 k就要根据相应的自由度，由小子样标 准差计算扩展不确定度时，自由度是关键参数。 4.6.1 自由度的概念 残差平方和自由度的计算 ： 由等精度测量数据按贝塞尔公式估计的标准差 残差平方和 中所包含的变量 的数目为 n，残差为： 计算式中的约束条件为 约束条件数的个数为 1 所以残差平方和的自由度为： 4.6.2 统计方法估计的不确定度的自由度 73 在最小二乘法处理中，用残差平方和估计测量数据的不确定 度。 若等精度测量数据数目为 n，待求量数目为 t，则 残差平方和为： 包含变量数目为 n 。 为获得 n个残差所列出的 t个求解方程就是 的约束条件 ，即约束条件的数目为 t 。 所以， 的自由度应为： 4.6.2 统计方法估计的不确定度的自由度 74 4.7 误差间的相关系数及相关系数的估计 不确定度的合成与误差间的相关性有密切的关系，误差间的相 关性影响到误差间的抵消性，也影响不确定度的合成结果。误 差间的线性相关是否常见。 误差间的线性相关关系及其表述 u 相关关系的概念 u 协方差和相关系数 相关系数的估计方法 u 相关关系的的直接判断 u 相关系数的近似估计 75 4.7.1 误差间的线性相关关系及其表述 概念：误差量之间的线性相关关系是指它们的线性 依赖关系。 u 这种依赖关系具有不确定性。 u 这是一种平均意义上的依赖关系。 u 线性相关关系是表示误差量之间的线性依赖关 系的趋势，并不是确定的线性关系。 u 相关性加强，线性联系的倾向增强，相互间联 系的随机性减小。相关性减弱，线性联系的趋 势变弱，相互联系的随机性增强。 76 4.7.1 误差间的线性相关关系及其表述 协方差 两个误差间的相关关系的强弱由协方差或相关系数来反映。 u 协方差 :按定义，误差量 与 的协方差为： 式中 测量误差 的数学期望， 对称分布 时 ； 测量误差 的数学期望， 对称分布 时 ； 误差 与 的联合分布密度； 77 相关系数 误差量 与 的相关系数按定义应为 式中 误差 的标准差； 误差 的标准差。 u当误差 与 互不相关时，有 ， u当误差 与 有最强的线性关系，即有 时（ a ， c为常数）则： ， 78 4.7.1 误差间的线性相关关系及其表述 相关系数的取值范围及含义 u相关系数的取值范围为： 或 。 u含义 : 当 时，为正相关， 与 取值符号趋于一 致；当 时，为负相关， 与 取值符号趋于相 反。 4.7.1 误差间的线性相关关系及其表述 79 例 已知测量方程 ，式中 ， 测量数据 的标准不确定度都相同，为 ， 的标准不确 定度为 ，试求 的标准不确定度。 解 方程式 中， 与 有相关关系，就需要计算 相关项，为简化计算，要将上式化为不相关项之和，即 所得表达式中，各项都是互不相关的，计算 的标准不确定 度，得 4.7.1 误差间的线性相关关系及其表述 80 4.7.2 相关系数的估计方法 为了确定相关系数，需做出相应的统计试验，对一定 数量的试验数据的处理，获得相关系数。 相关系数的直观判断 相关系数的近似估计 相关系数的矩法估计 根据已知的函数关系计算相关系数 81 相关系数的直观判断 u 使用场合：各误差间关系明显 u若误差分别为 与 的数据 与 有确定的线性关系 则表明 与 有最强的线性联系， 。若 为正，则 ；若 为负，则 。 u若 与 没有相关关系，或相关关系比较弱，则 。 u介于上述两个情形之间时， ，具体取值可根据 实际测量数据作出直观估计。可进行多次成组测量，得误 差对应值 ， i=1, 2, 3, , n ，观察这些点在坐标图 中的分布，估计相关系数的值。 4.7.2 相关系数的估计方法 82 相关系数的近似估计 对 与 进行多次成组测量，得一系列对应值 标在直角坐标平面内，按下面的公式计算 与 的相关系 数估计值 n1、 n2 、 n3 、 n4 分别为 落入 1、 2 、 3 、 4 象限的成组数据 的数目。 4.7.2 相关系数的估计方法 83 当对被测量 x 与 y进行成组测量时，应分别计算 x 与 y的 算术平均值，即 以 为纵轴，以 为横轴把坐标平面分成四个象限将成组 数据 在这四个象限内的分布数目 n1、 n2 、 n3 、 n4代入下式 4.7.2 相关系数的估计方法 84 4.7.2 相关系数的估计方法 例 对 与 进行成组测量，得 20组测量数据 ，列 于上表中，试计算 与 的相关系数 。 解 计算算术平均值 10.32 10.38 10.36 10.42 10.28 10.30 10.39 10.34 10.37 10.31 2.54 2.59 2.54 2.64 2.49 2.58 2.63 2.53 2.58 2.52 10.29 10.30 10.40 10.33 10.41 10.29 10.39 10.37 10.35 10.39 2.48 2.58 2.62 2.52 2.65 2.48 2.52 2.58 2.57 2.60 85 以 为纵轴，以 为横轴将坐标平面划分 为四个象限，如下图： 以成组测量数据 为坐标 在坐标面内点出各点。计数各 象限内的坐标点数，按公式计 算得： 86 4.7.2 相关系数的估计方法 相关系数的矩法估计 按定义，随机变量 与 之间的相关系数的估计量可按标准不 确定度的估计量代入求得 可利用 n组数据 ，按下式估计相关系数 注： 测量数据越多，上式计算的相关系数就越可靠 4.7.2 相关系数的估计方法 例 设量 x 与 y的误差分别为 与 ，为求 与 的相关 系数，对 x 与 y进行成对测量，得测量数据 共 10组， 如下页表所示，试求 与 的相关系数。 4.7.2 相关系数的估计方法 4.7.2 相关系数的估计方法 解 按公式的计算要求列出表格，并按表格计算，将计算 结果代入下式 计算得 与 的相关系数 4.7.2 相关系数的估计方法 误差间的相关系数及相关系数的估计 -小结 误差间的相关性影响到误差间的抵消性，也影响不确定度 的合成结果。误差间的线性相关是否常见。 误差间的线性相关关系及其表述 u相关关系的概念 u 协方差和相关系数 相关系数的估计方法 u相关关系的的直接判断 u 相关系数的近似估计 91 本章小结：不确定度的估计和合成 不确定度及其表征参数 不确定度的估计 标准差不确定度的合成 扩展不确定度的合成 按 t分布评定扩展不确定度 误差间的相关关系及相关系数的估计 92 4.8 测量总不确定度的计算 完整测量结果报告 u 被测量数值 u 不确定度 (Uncertainty) 不确定度 (Uncertainty)的形式 (Form) u 标准不确定度 (Standard uncertainty) u 扩展 (extended)不确定度（包含因子，置信系数，置信 概率） u 相对不确定度 (Relative uncertainty) 重要的测量结果 (Approach) u 不确定度各分量估计方法及数值 u 相应的自由度 (Degree of freedom)vi u 相关各项间的相关系数 (Correlation index) 93 例 为分析转台速率精度，测量时段 T内的转角 则可得角速度 ，设测得 ， 分析其相对扩展不确定度。 解 由测量方程 可得其误差表达式 式中，转角测量误差 包括两部分：测量仪器光 栅盘刻线误差 ，角度伺服系统的跟踪误差 。 4.8 测量总不确定度的计算 94 于是，误差表达式可写为 设 ， ， ，得 相应的标准不确定度合成表达式为 式中， 4.8 测量总不确定度的计算 95 光栅刻线不确定度 光栅刻线不确定度由其刻划工艺决定，为 ， 该值的可靠性估计为 ，即 由式 可得 的自由度为 4.8 测量总不确定度的计算 96 按置信概率 ，自由度 查 分布表 得临界值： 取包含因子 ，则标准不确定度应为 4.8 测量总不确定度的计算 97 伺服系统跟踪不确定度 伺服系统跟踪相应的扩展不确定度经分析为 估计该值的不确定范围为 ，即 的 不确定度为： 由式 可得， 的自由度为： 4.8 测量总不确定度的计算 98 按 ， ，查 t分布表，得 则标准不确定度为 基准源不确定度 用作时段计量的基准相对误差 ，该值可 变动范围可估计为 ，相应的扩展不确定度 为 4.8 测量总不确定度的计算 99 由式 其自由度为： 按 ， ，查