金融工程的基本分析方法

第二章 金融工程的基本分析方法 金融工程实际上是利用工程技术来解决金融业的实际问题的。而 “技术 ”从广义上讲包括三个基本部分：理论、工具和工艺方法。 理论： 一种知识体系，支持金融工程的理论包括经济理论、金融 理论和其他相关理论； 工具： 技术应用的材料，支持金融工程的工具不仅有股票、债券 等传统的金融工具，还有越来越多的新兴金融产品，包括金融衍 生品。 工艺方法： 结合相关理论和工具来构造和实施一项操作过程中的 布置和过程本身。 (组合与合成 、新创、剥离（本金和利息）、 分割（风险和收益）等） 第一节 无套利定价法 一、无套利定价的思想 严格意义上的 套利 是在某项金融资产的交易过程中， 交易 者可以在不需要期初投资支出的条件下获取无风险报酬 。 在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使 得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。 换言之，如果某项金融资产的定价不合理，市场必然出现 以该项资产进行套利活动的机会，人们的套利活动会促使 该资产的价格趋向合理，并最终使套利机会消失。 例如： 期初有两项投资 A和 B可供选择。并且期末这两项投资可以获得 相同 的利润，还有这两项投资所需的 维持成本 也相同。那么根据 无套利原则，这两项投资在期初的投资成本（也就是它们期初的定 价）应该相同。 二、无套利定价的原理与应用 （一）无套利定价原理 （远期外汇定价的例子） 假定市场条件如下：目前货币市场上美元利率是 6%，马克 利率是 10%；外汇市场上美元与马克的即期汇率是 1 美元兑 换 1.8马克 (1:1.8)。 问题是一年期的远期汇率是否还是 1:1.8呢？ 如果 1:1.8是均衡的远期外汇价格，那么套利者可以 : 1.借入 1美元，一年后要归还 1.06美元； 2-1.在即期市场上，他用借来的 1美元兑换成 1.8马克存放一年，到 期可以得到 1.98马克； 2-2. 同时 按照目前的远期汇率（ 1:1.8）卖出 1.98马克，换回 1.1美 元。 在扣除掉为原先借入的 1美元支付的本息 1.06美元之外，还有一个 剩余 0.94美元（ 1.1美元 -1.06美元）。 在本例中，均衡的远期外汇价格应该是多少？套利者借入 1美元后 ： 1.如果不进行套利活动，他一年后将得到 1.06美元； 2.如果他实施了套利活动，他一年后将得到 1.98马克。 这两种情况都是从期初的 1美元现金流出开始，到期末时两个现金 流入的价值也必须相等。因此： 1.06美元 =1.98马克，即 1美元 =1.8679马克 这个价格才是无套利的均衡价格。 (远期利率的例子 )： 假设现在 6个月即期年利率为 10%， 1年期的即期利率是 12%。 如果有人把今后 6个月到 1年期的远期年利率定为 11%，试问这 样的市场行情能否产生套利活动？ 答案是肯定的，套利过程是： 第一步，交易者按 10%的利率借入一笔 6个月资金（假设 1000万元） ； 第二步，按 12%的利率贷出一笔 1年期的款项金额为 1000万元。 同时，签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以 按 11%的价格 6个月后从市场借入资金 1051万元（等于 1000e0.100.5 ）。 第三步， 1年后收回 1年期贷款，得本息 1127万元（等于 1000e0.121 ），用 1110万元（等于 1051e0.110.5）偿还 1年期的债务后。 交易者净赚 17万元（ 1127万元 -1110万元）。 例子：公司 A和 B，它们每年创造的息税前收益都是 1000万元。 A的资本全部由股本组成，为 100万股。金融市场对该企业股票的 预期收益是 10%（即资本成本）。 B公司的资本中有 4000万企业债券，年利率是 8%，即每年要支付 利息 40008%=320万元。假定该利率被市场认为是无风险利率， 并假定 B公司的股份数是 60万股。 请问： A、 B公司股票的价格分别是多少？ 当 B公司股票价格为 90元 /股时，交易者就会进行下列的套利活 动（套利的规模为任意假定）： 1.卖空 1%的 A公司股票（ 1%100万股 =1万股） 2.同时买进 B公司 1%的债券（价值为 1%4000万元）和 B公司 1%的股票（ 1%60万股 =6000股）。 套利者的现金流状况如表 2.1所示。 表 2.1 套利者的现金流（ B企业股票价格被低估为 90元的情况 ）头 寸情况 即期 现 金流 未来每年 现 金流 1%A 股票空 头 1%B 债 券多 头 1% B 股票多 头 +10000股 100元 /股 =100万元 -1% 4000万元 = -40万元 -6000股 90元 /股 = -54万元 -EBIT的 1% 1% 320万元 =3.2万元 1% （ EBIT-320万元） 净现 金流 +6万元 0 如果 B公司的股票价格为 110元，套利活动见表 2.2。 头 寸情况 即期 现 金流 未来每年 现 金流 1%A 股票多 头 1%B 债 券空 头 1% B 股票空 头 -10000股 100元 /股 = -100万元 +1% 4000万元 =+40万元 +6000股 110元 /股 =+66万元 +EBIT的 1% -1% 320万元 = -3.2万 元 1% （ EBIT-320万元 ） 净现 金流 +6万元 0 无套利定价机制的主要特征： 其一，无套利定价原则首先要求套利活动在 无风险的状态 下进行 。在实际的交易活动中，纯粹零风险的套利活动比较罕见。因此 实际的交易者在套利时往往不要求零风险，所以实际的套利活动 有相当大一部分是风险套利。 其二，无风险的套利活动从即时现金流看是 零投资组合 ，即开始 时套利者不需要任何资金的投入，在投资期间也没有任何的维持 成本。 其三，无套利定价的关键技术是所谓 “复制 ”技术，即用一组证券 来复制另外一组证券。 复制技术的要点是使复制组合的现金流特征与被复制组合的现金 流特征完全一致，复制组合的多头（空头）与被复制组合的空头 （多头）互相之间应该完全实现头寸对冲。 由此得出的推论是：在金融市场上，获取相同资产的资金成本一 定相等。 无套利定价法在衍生产品定价中的运用 该方法的主要思路是： 在一个不存在套利机会的有效市场上，投 资者可以建立起一个包含了衍生品（比如期权）头寸和基础资产 （比如股票）头寸的无风险的资产组合。 根据无套利原则， 无风险组合的收益率必须等于无风险利率 。 这个原理实际上表示了衍生证券的期望收益率，基础证券的期望 收益率和无风险利率之间的一个 均衡条件 。 假设一种不支付红利股票目前的市价为 10元， 3个月后，该股 票价格要么是 11元，要么是 9元。无风险年利率等于 10%。 一份 3个月期协议价格为 10.5元的该股票欧式看涨期权的价值 是多少？ 如何确定该期权的价值？ 可构建一个由一单位看涨期权空头和 单位的标的股票多头组 成的组合。若 3个月后： 1. 股票价格等于 11元时，该组合价值等于（ 11 0.5）元； 2. 股票价格等于 9 元时，该组合价值等于 9 元。 适当的 应该满足： 11 0.5=9 =0.25 因此，一个 无风险组合 应包括一份看涨期权空头和 0.25股标的 股票。无论 3个月后股票价格等于 11元还是 9元，该组合价值都 将等于 2.25元。 在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。则该组 合的 现值 应为： 由于该组合中有一单位看涨期权空头和 0.25单位股票多头，而目前 股票市场为 10元，因此： 该看涨期权的价值应为 0.31元，否则就会存在无风险套利机会。 （二）无套利定价法的应用 1、金融工具的模仿 金融工具的模仿是指通过构建一个金融工具 组合，使之与被模仿的金融工具具有相同或相似的盈亏状况。 例如： 我们可以通过买入一份看涨期权 ,同时卖出一份看跌期权来模仿股票 的盈亏。上 述看涨期权和看跌期权应当具有 相同的 标的资产 S、到 期日 T和执行价格（ X，假设 x=S），而且必须是欧式期权。 假定在 t时刻，上述看涨期权和看跌期权的价格分别是 c和 p， 则构造模仿股票的成本是 c-p。在期权的到期日 T，上述组合 的价值 V就是买入期权价值与卖出期权价值的差，即 MS = max(0,ST -X) - max(0,X- ST) 如果只考虑模仿股票的构造成本而不考虑利息，则该组合到 期盈亏是： max(0,ST - X) - max(0,X - ST) -（ c - p） = ST X c + p 由于投资股票的盈亏为 ST -S= ST - X，显然投资模仿股票的盈亏不 如投资股票，如图 2.1所示。 模仿股票在财务杠杆方面的巨大优势，为风险偏好型的投资者提供 了一个性质不同的投资渠道，在一定程度上弥补了这个效益差额因 素。 假设一只股票现在的市场价格是 10元，以该价格作为执行价格的看 涨期权和看跌期权的价格分别是 0.55元和 0.45元。 比如：一个投资者用 10元钱采取两种方案进行投资， 方案一是直接在股票市场上购买股票， 方案二是用同样的资金购买模仿股票 ,10元钱可以购买 100个模仿股 票 (因为一个模仿股票的构筑成本是 0.55-0.45=0.1元 )。 表 2.3 股票价格上升到 10.5元时两个方案的比较 表 2.4 股票价格下跌到 9.5元时两个方案的比较 期初投 资 净 收益 投 资 收益率 方案一 方案二 10元 10元 10.5元 -10元 =0.5元 100（ 10.5-10-0.1） =40元 5% 400% 期初投 资 净 收益 投 资 收益 率 方案一 方案二 10元 10元 9.5元 -10元 = -0.5元 100（ 9.5-10-0.1） = 60元 -5% -600% 结论： 由于可以选择 不同水平的 X ，可以创造的模仿股票远不止一个 ，而且对于不同的 X，模仿股票的盈亏特征都不相同，这就极大 地丰富了投资品种。 运用无套利的定价技术创造的金融衍生品，可以丰富投资品种 ，为不同类型的投资者提供了满足其偏好的金融工具。 2、金融工具的合成 金融工具的合成是指通过构建一个金融工具组合使之与被模仿 的金融工具具有 相同价值 。 以股票为例。模仿股票虽然可以再现股票的盈亏状况，但两者 价值毕竟有所不同。模仿股票的价值是 ST-X，股票的价值是 ST ，为消除这个差别，可以构造一个合成股票，它的价值与股票 完全相同。 合成股票的构成是： 一个看涨期权的多头，一个看跌期权的空头和无风险债券多头 。 看涨期权的价格是 c，看跌期权的价格是 p，看涨期权和看跌期 权均是欧式，它们具有相同的标的资产 S、到期日 T、执行价格 X;无风险债券的价值是 Xe-r(T-t)(r是无风险利率 )。 到期日，无风险债券的价值是 X，该组合的价值（用 SS表示） 为： SS= max(0,ST -X) - max(0,X- ST) + X = ST -X+X = ST 推论： 既然合成股票和标的股票在到期日有相同的价值，则在任意时 刻 t，它们的价值也应该相同 ,即下面的等式成立： S = c p + Xe-r(T-t) (2.1) 否则市场就会出现无风险套利活动。 第二节 风险中性定价法 在对衍生证券定价时，可以假定所有投资者都是风险中性的。 在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都 可以等于无风险利率 r，这是因为风险中性的投资者并不需要额 外的收益来吸引他们承担风险。 在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴 现求得现值。这就是风险中性定价原理。 一、风险中性定价的原理 假设一种不支付红利股票目前的市价为 10元， 3个月后，该股 票价格要么是 11元，要么是 9元。假设现在的无风险年利率等 于 10%。 现在要为一份 3个月期协议价格为 10.5元的该股票欧式看涨期 权进行定价。 在风险中性世界中，假定该股票上升的概率为 P，下跌的概率为 1-P 。这种概率被称为风险中性概率，它与现实世界中的真实概率是不 同的。 风险中性概率已经由股票价格的变动情况和利率所决定： P=0.6266 这样，根据风险中性定价原理，就可以求出该期权的价值： 二、无套利定价法与风险中性定价法的关系 假设一个无红利支付的股票，当前时刻 t 股票价格为 S，基于该股 票的某个期权的价值是 f，期权的有效期是 T。 在有效期内，股票价格或者上升到 Su，或者下降到 。当股票价格上升到 Su时，假设期权的收益为 fu ， 如果股票的价格下降到 Sd时，期权的收益为 fd 。 如图 .2.2所示。 图 2.2 股票价格和期权价格 （一）无套利定价法的思路 首先，构造一个由 股股票多头和一个期权空头组成的证券组合， 并计算出该组合为无风险时的 值。 如果股票价值上升，该组合在期权末期的价值是 Su-fu,如果股票 价格下降，组合的价值是 Sd-fd。 为了求 值，令 Su- fu = Sd- fd。得： （ 2.2） 如果无风险利率用 r表示，则该无风险组合的现值一定是 （ Su- fu） e-r（ T-t） ,而构造该组合的成本是 S- f 在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即 S- f =（ Su- fu） e-r(T-t), 将方程（ 2.2）代入上式化简得： （ 2.3） 其中 （二）风险中性定价的思路 假定风险中性世界中股票的上升概率为 P，由于股票未来期望值按无 风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通 过下式求得： ，即： 期权价格就可以通过下式来求： 上式与公式（ 2.3）是完全相同的。可见无套利定价法与风险中 性定价法可谓殊途同归。 第三节 状态价格定价技术 状态价格指的是在特定的状态发生时回报为 1，否则回报为 0 的资产在当前的价格。 如果未来时刻有 N 种状态，而这 N 种状态的都知道，那么只要 知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利 率水平，就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术 。 状态价格定价技术是无套利原则以及证券复制技术的具体运用 。 一、状态价格定价技术的原理 A是有 风险证券 ，其目前的价格是 PA，一年后其价格要么上升到 uPA，要么下降到 dPA。这就是市场的两种状态：上升状态（概率 是 q）和下降状态（概率是 1-q），如图 2.3所示。 图 2.3 证券 A的价格变化图 记 r为无风险利率， RA=1+rA,其中 rA是证券 A的收益率。它的预期收 益率是： 收益率的方差和标准差分别是 假设存在两个基本证券。 基本证券 1：在证券市场上升时价值为 1，下跌时价值为 0，现在的 市场价格是 u 。 基本证券 2：在市场上升时价值为 0，在下跌时价值为 1，现在的市 场价格是 d 。 这两个基本证券的特征是，它们可以用来复制有风险的 A证券。 复制过程是： 购买 uPA 份基本证券 1和 dPA 份基本证券 2组成一个假想的证券组 合。 该组合在 T 时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券 A一样的现 金流，可以看作是证券 A的复制品。 根据无套利原理，复制品和被复制对象现在的市场价格应该相等： PA=uuPA+ddPA （ 2.4） 即 uu+dd = 1 （ 2.5） 意味着：单位基本证券组成的组合在 T时刻无论出现什么状态，其 回报都是 1元，是一个无风险的投资组合，其收益率应该是无风险 收益率 r,于是便有： （ 2.6） 联立方程（ 2.5）和（ 2.6）可解得： 从上式可以发现，决定基本证券价格的实际上就是 3个因素： 无风险利率 r, 金融工具价格上升的速度 u 和其价格下降的速度 d 。 需要注意两点： 第一， 只要有具备上述性质的一对基本证券存在，就能够通过复制 技术，为金融市场上的任何有价证券定价。 因为，只要是某一证券的价格在一段时间后出现两种价格状态，它 的两个基本证券就是唯一确定的。 当确定了一个风险证券的基本证券价格后，就可以用它来为别的有 风险证券定价。（例子） 假如有价证券 A的市场情况如下： PA=100， r = 2%， u =1.07, d=0.98， T-t =1, 可以算出： 假设另外有一个证券 B，它在一年后的价格可能上升到 103元，也 可能下降到 98.5元。那么，根据（ 2.4）式，它当前的价格应该是 : PB=uuPB+ddPB =0.4378103+0.542498.5=98.52 这就相当于用基本证券 1和 2来复制证券 B，复制过程是购买 uPB份 基本证券 1和 dPB 份基本证券 2。 实务中，我们是用现实中的证券 A和无风险证券来复制证券 B。 复制过程是：用 份证券 A和当前市场价值为 L 的无风险证券构成 市场价值为 I的组合，其成本是 I = 100+ L。 一年后，该组合无论市场价格上升还是下降，都必须与证券 B的价 格相同。于是有 由该方程组可解出 =0.5， 。 于是 B现在市场的价值是 I = 100+ L = 1000.5 + 48.52 = 98.52 。 这说明前面用状态价格为证券 B定价的结果是正确的，否则就会出 现无风险套利的机会。 把上面的例子扩大到两期。 假定证券 A和 B的价格变动结构如图 2.4所示，市场无风险利率仍为 2%。 从上面的右图，我们看到 B 在第 2期期末有 3种价格状态，要求出 B现在的均衡价格。 使用倒推法，我们先从 B 的图形中右上部分开始。在第 1年末，假 设市场处于上升状态，此时我们用 u 份证券 A 和市场价值为 Lu 的无风险证券来复制证券 B 的组合，见图 2.5。 用联立方程组 解出 U=0.49， Lu=50.76, 因此有 PBU=107U+Lu=102.99。 用同样的办法处理右下方的二叉树，同理解出 u=0.51， Ld=48.62, 因此有 PBd=98d+Ld=98.50。 最后，我们用 份证券 A和价值为 L的无风险证券的组合复制证券 B ，如图（ 2.6） 解出 =0.5, L=48.53, 证券 B的价值 PB=98.52 第二， 关于有价证券的价格上升的概率 p，它依赖于人们作出的主 观判断。乐观的投资者认为 p 比较大，悲观的投资者认为 p 比较 小，所以关于 p 并没有统一的看法。 在上述公式推导的以及其结论中，并没有用上 p。这意味着人们对 p认识的分歧不影响为有价证券定价的结论。 因此，无套利分析（包括其应用状态价格定价技术）的过程与结果 同市场参与者的风险偏好无关。 二、状态价格定价法的应用 假设某股票符合两种市场状态，即期初价值是 S0 ，期末价值是 S1，这里 S1只可能取两个值： 一是 S1 = Su = uS0,u 1, 二是 S1 = Sd = dS0,d 1。 我们现在想要确定的是依附于该股票的看涨期权的价值是多少？ 构造这样一个投资组合，以便使它与看涨期权的 价值特征 完全相同 ： 以无风险利率 r 借入一部分资金 B（相当于做空无风险债券），同 时在股票市场上购入 N 股标的股票。 注意到上述组合的成本是 N S0-B，到了期末，该组合的价值 V 是 N S1-RB， R 是利率因子。对应于 S1 的两种可能， V 有两个取值 ： 如果 S1=Su, 则 V=Vu= N Su-RB， 如果 S1=Sd, 则 V=Vd= N Sd-RB。 令到期日组合的价值与看涨期权的价值相同，我们有： 由该方程组可以解出 N 和 B， 由于期初的组合应该等于看涨期权的价值，即有 N S0-B=c0,把 N和 B 代入本式中，得到看涨期权的价值公式 c0=pcu+(1-p)cde-r(T-t) (2.7) 其中 p=(er(T-t)S0-Sd)/(Su-Sd)=(er(T-t)-d)/(u-d)。 假设一份看涨期权，到期日为 1年，执行价格 X是 112元；标的股票 当前的价格是 100元，无风险利率（单利）是 8%。 1年后，股票的 价格或是上升到 180元，或是下降到 60元。这样，期权的到期价值 c1也有两种可能：或是 68元，或是零，见图 2.7。 根据公式代入有关参数，得到： N=（ 68-0） /（ 180-60） =0.57（股） B=（ 0.5760-0） e-0.08=31.57（元） 也就是说，只要买入了 0.57 股标的股票，同时以 8% 的利率借入 31.57元，则相应的组合完全可以复制上述看涨期权到期日的价值 特征。 通过 c0=NS0-B 可以得到： c0=0.57100-31.57=25.43 第四节 积木分析法 在金融工程 分析的过程中，主要运用无套利分析法 。但从应用的角度 ，在 为金融资产定价时，金融工程主要运用积木分析法 。积木分析法 也叫模块分析法，指将各种金融工具进行分解和组合，以解决金融问 题。 “积木 ”是一种比喻的说法，就象儿童拿着不同的积木或者用不同的摆 法创造出神奇的 “建筑物 ”一样，金融工程师运用他的 “金融积木箱 ”中 的积木 各种金融工具（主要是衍生金融工具），来解决金融现实 问题。 积木分析法主要以图形来分析收益 /风险关系 ,以及金融工具之间的 组合 /分解关系。如图 2.8和图 2.9就反映了两类价格风险和收益关系 。 图 2.8多头金融价格风险 图 2.9 空头金融价格风险 如果金融价格风险为多头风险，可以用空头远期交易来保值；如果 面临的是空头风险，可以多头远期交易来保值。图 2.10描绘了利用 多头远期交易规避空头金融风险的情况。 多头看涨的情况（买入看涨期权）。 当市场现货价格上升并超过协议价格时，看涨期权的价值随之上涨 。反之，当现货价格下降时，中心点左面的图形与横轴重合，说明 买入看涨期权的一方的价值没有任何变化（注意这里没有计算期权 费），这同交易者持有无风险收益证券的情况相同。 因此，从积木分析的角度看，期权交易无非是看跌期权交易和基础 资产交易的组合。 期权交易对多头金融价格风险的反应可通过图 2.12来表示。 这里多头金融价格风险是一块积木，多头看跌期权是另一块积木。 两者相结合，就形成了一块新的派生的积木。 空头金融价格风险时的情况。当面临这类风险时，可以买入看涨期 权合约来保值。保值的结果形成了多头看跌期权的情况。同样，可 以把空头金融价格风险看作一块积木，把多头看涨期权看作另一块 ，两块积木的组合形成多头看跌期权的结果，如图 2.13所示。 期权交易和远期（期货）交易的关系。 从图 2.14我们看到，当把多头看涨期权这块积木与空头看跌期权组 合在一起时，可以得到远期合约的多头交易； 当把空头看涨期权这块积木与多头看跌这块期权组成一起时，可以 得到远期合约的空头交易。 远期交易完全可以用期权交易来复制。 图 2.14 期权与远期的关系 金融工程师常用以下六种积木进行分解、组合，创造新的金融产品 ，见图 2.15。 在横线上面部分，左面图形表示资产多头交易，右面表示资产多头 看涨期权（上面的线段）和空头看跌期权（下面的线段）。这一部 分图形表明的是，当人们把某种资产的看涨期权和看跌期权组合在 一起时，可以形成该资产的多头交易。 与此类似，不难看出横线以下积木的含义。处在横线以下左面的图 形表示资产的空头交易，它可以运用多头看跌期权和空头看涨期权 来组合 。 将横线上面的资产多头交易与横线下面的期权交易中的多头看跌期 权交易组合在一起，结果发现它就是看涨期权的多头交易，见图 2.16。 图 2.16 资产多头加看跌期权多头 =看涨期权多头 当资产多头交易同看涨期权的空头交易结合时，形成看跌期权空头 交易，见图 2.17。 图 2.17资产多头加看涨期权空头 =看跌期权空头 横线下面的资产空头交易和横线上面期权交易结合的情况。资产空 头交易同多头看涨期权结合后形成多头看跌期权，见图 2.18。 图 2.18资产空头加看涨期权多头 =看跌期