山东省青岛市2017年高三统一质量检测（一模）数学理试题含答案

青岛市高三统一质量检测 数学（ 理 科） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 50 分 20 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用 2B 铅笔和 米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上 2第 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 答案不能答在试题卷上 3第 卷必须用 米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题 卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带 不按以上要求作答的答案无效 第 卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合 | 1 | 1A x x ， | 1B x x ，则R()A 1,0 B 1,0) C ( 2, 1) D ( 2, 1 2. 设 (1 i)( i)2 ，其中 , i 为虚数单位 ，则 A 1 B 2 C 3 D 2 3. 已知 R ,向量 3 , , 1 , 2 ，则 “ 3 ”是“ / A充 分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图， 当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样， 把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示 ，中国古代的算筹数码 纵式 横式 2 3 1 4 5 6 7 8 9 以此类推例如 6613用算筹表示就是，则 8335 用算筹可表示为 A B C D 5. 已知实数 1,10x ， 执行如 右 图所示的 程序框图 ， 则输出的 x 不 大 于 63 的概率为 A 310B 13C 35D 236. 若 ,0400 ，则 2z y x 的最大值为 A 8 B 4 C 1 D 2 7. 某几何体的三视图如图所示 ， 则该几何体的体积为 A 8 83 B 16 83 C 8 163 D 16 163 8. 在 中，角 ,对的边分别为 , 1，则 A A 30 B 45 C 60 D 120 9. 已知 1x ， 1y ，且 14， 等比数列，则 A最小值 10 B最小值 10 C最大值 10 D最大值 10 10. 已知双曲线 221 : 1 ( 0 , 0 )a ,圆 2 2 22 3: 2 04C x y a x a ,若双曲线1双曲线1A 23(1, )3B 23( , )3 C (1,2) D (2, ) 2 2 2 俯视图 4 2 侧视图 主视图 开始 输入 x 结束 3?n 21 输出 x 是 否 1 1n 第 卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11. 已知变量 x ,y 具有线性相关关系 ,它们之间的一组数据如下表所示 ,若 y 关于 x 的线性回归方程为 ，则 m ； 12. 设随机变量 2 ( , )N ，且 ( 3 ) = ( ) = 0 . 2 ， 则 ( 1 ) =P ； 13. 已知函数 2 , 2 ,()( 1 ) , 2 ,x x x 则2()f ； 14. 已知 20 9 c o sm xd x ，则 1()展开式中常数项为 ； 15. 已知函数 23( ) 123x x ， 23( ) 123x x ，设函数 ( ) ( 4 ) ( 3 )F x f x g x ， 且函数 () , , , Za b a b）内，则 的最小值为 三、 解答题：本大题共 6小题 ,共 75分 ,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 16. （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) s i n ( 2 ) c o s ( 2 ) 2 s i n c o x x x x x . （ ）求函数 () （ ）将函数 ()y f x 的图象向右平移12个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 ()y g x 的图象，求 ()y g x 在 ,2 3 上的值域 . x 1 2 3 4 y m 4 17（本小题满分 12 分） 已知数列 1a,且1 21, . （ ）求数列 公式； （ ）令3221n ，记数列 n 项和为对任意 ，恒成立，求实数 的取值范围 . 18（本小 题满分 12 分） 如图 ，在 四棱锥 P 中 ， 底面 边长为 3 的菱形 ， 60 ， 面 3， F 是 棱 的一个动点， E 为 中点 （ ）若 1，求证： / 面 （ ） 若 2， 求 平面 平面 所成的锐二面角的余弦值 19（本小题满分 12 分） 某科技博览会展出的智能机器人有 , , ,A B C D 四种型号，每种型号至少有 4 台 台某种型号的机器人，且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的 个人要购买机器人 . （）在会场展览台上，展出方已放好了 , , ,A B C D 四种型号的机器人各一台，现把他们排成一排表演节目，求 A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻的概率； （）设这 4 个人购买的机器人的型号种数为 ，求 的分布列和数学期望 0（本小题满分 13 分） 已知函数 21()2f x x ， ()xg x e ， 且 0a ， ， e 为自然对数的底数 （）求函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x在 1,1 上极值点的个数； （）令函数 ( ) ( ) ( )p x f x g x，若 1,3a ，函数 ()区间 , )ab a e 上均为增函数，求证： 3 7 21（本小题满分 14 分） 已知 椭圆 : 2 22 1x ( 1)a 的左焦点为 1F ， 右顶点为 1A ， 上顶点为 1B ， 过 1F 、 1A 、1圆 P 的圆心 坐标为 3 2 1 6( , )22 （） 求椭圆的方程 ； （） 若直线 :l y kx m（ ,0k ）与椭圆 交于不同的两点 M 和 N （）当直线 l 过 (1,0)E ，且 20N时，求直线 l 的方程； （）当坐标原点 O 到直线 l 的距离为 32时，求 面积的最大值 青岛市 高三 统一质量检测 数学 （理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 10 小题每小题 5 分，共 50 分 B D A B D B A C B A 二、填空 题 ：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 12. 13. 72； 14 84 ； 15 6 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16. （本小题满分 12 分） 解：（） ( ) s i n ( 2 ) c o s ( 2 ) 2 s i n c o x x x x x s i n 2 c o s c o s 2 s i n c o s 2 c o s s i n 2 s i n + s i n 23 3 6 6x x x x x ， 3 c o s 2 s i n 2 2 s i n ( 2 )3x x x ， 4 分 由 2 , k k 可得 : 1+ , 2x k k ， 函数 ()1+ , 2x k k . 6 分 （）由（）知 ( ) 2 s i n ( 2 )3f x x ，将函数 ()y f x 的图象向右平移12个单位得到函数 2 s i n ( 2 )6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 1( ) 2 s i n ( )26g x x 的图象， 10 分 23 x ， 173 2 6 6x 当 12 6 2x ，即 23x 时，m a x 2( ) 23当 172 6 6x ，即 2x 时，m i n ( 2 ) 1 函数 ()y g x 的值域为 1,2 12 分 命题意图 :本题考查三角变换 ,三角函数的对称轴的性质 ,图象平移 ,最值问题。 17（本小题满分 12 分） 解：（ ）当 2n 时，1 21，121两式相减得：112 ( ) 2n n n n na a S S a 1 3 3 分 1 1a ，2 1 12 1 2 1 3a S a ，即213 是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列 从而 13 5 分 （ ）32 21 ，2 23 1 1 1 1()2 1 2 3 4 2 1 2 3nb n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1()4 1 5 3 7 5 9 2 3 2 1 2 1 2 3nT n n n n 1 1 1 1= ( 1 )4 3 2 1 2 3 1 1 1 1= ( )3 4 2 1 2 3 10 分 由于n 的增大而增大，所以5T 所求 的取值范围为： 15 12 分 命题意图 :本题考查 ,等比数列的通项公式 ,裂项相消求和及恒成立问题。 18（本小题满分 12 分） 解：（ ） 证明： 过 E 作 /D 交 G ,连接 连接 O ,连接 /D ,面 面 / 2 分 底面 菱形 ， O 是 中点， E 为 中点， G 为 中点， 1， 3 F 为 中点， /G 面 面 / 4 分 又 G G ， ,G 面 面 / 又 面 / 5 分 （ ） 底面 边长为 3 的菱形 ， D 以 O 为原点， 在的直线为 x 轴，建立坐标系如图所示， 底面 边长为 3 的菱形 ， 60 3， 33 又 3， 33( , 0, 0)2B， 33( , 0 , 0 )2D ， 3(0, ,0)2C， 3(0, , 3)2P 2， 3(0, , 2)2F ， 7 分 设平面 法向量为1 1 1 1( , , )n x y z( 3 3 , 0 , 0 ) ， 3 3 3( , , 2 )22 11 1 1 13 3 03 3 3 2022n B D F x y z 11 1 103 3 322xx y z 令1 2y ，则1 32z ，取1 3(0, 2, )2n 9 分 设平面 法向量为2 2 2 2( , , )n x y z(0 , 3, 3)， 3 3 3( , , 3 )22 由 2 2 22 2 2 23 3 03 3 3 3022n P C y D x y z 222 2 23 2 0y z 令2 3x ，则223 ，取2 ( 3 , 3, 3 )n 11 分 设平面 平面 成 锐 二 面 角 的 平 面 角 为 ，则12121296212c o s c o s ,5 5| | | | 212 12 分 命题意图 :本题考查线面平行的判定定理 ,面面平行的性质定理 , 用向量求二面角。 19（本小题满分 12 分） 解：（） 4 台机器人排成一排的情况有 44 A 型与 B 型相邻且 C 型与 D 型不相邻的情况有 22所求的概率为 22224416 4 分 （）由题意： 1, 2,3, 4 1441( 1 ) 4 6 4 3 1 1 2 1 14 4 3 4 4 341212( 2 )4 6 4C C C C C 2 1 24 4 349( 3 ) 4 1 6C C 4443( 4 ) 4 3 2 所以 的分布列为： 10 分 1 2 3 4 P 1642164916332所以 1 2 1 9 3 1 7 5( ) 1 2 3 46 4 6 4 1 6 3 2 6 4E 12 分 命题意图 :本题考查排列组合的邻与不邻、分组问题 ,随机变量的分布列及期望问题。 20（本小题满分 13 分） 解 :（） 21( ) ( ) ( ) ( )2 xh x f x g x x a x e 则 2211( ) ( ) ( ) 2 ( 1 ) 2 22x x xh x x a e x a x e x a x a e 1 分 令 ( ) 0 ，得 2 2 ( 1 ) 2 0x a x a 因为 224 ( 1 ) 8 4 4 0a a a 所以 2212( 1 ) 1 , ( 1 ) 1x a a x a a 令 2( ) 2 ( 1 ) 2v x x a x a ，则 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 2 1 0v a a 所以 2( ) 2 ( 1 ) 2 0v x x a x a 的两个根121, 1 3 分 因为 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 2 4 3v a a a 所以当 4 3 0a ，即 34a时，2 1x ， 在 ( 1,1) 上 ( ) 0， ( ) 0 ， () 1,1) 单调递减，不存在极值点 4 分 当 4 3 0a ，即 34a 时，2 1x ，在2( 1, )x上 ( ) 0， ( ) 0 ， ()1, )x上单调递减，在2( ,1) ) 0， ( ) 0 ， (),1)以 () 6 分 综上可知，当 34a时， () ； 当 34a时， () 7 分 （）由题意 ( ) ( ) ( ) ( ) xp x f x g x x a e 则 ( ) ( ) ( 1 )x x xp x e x a e x a e 所以 ( 1) 0xx a e 在 , )ab a e 上恒成立 9 分 化简得 10 即 1 在 , )ab a e 上恒成立 所以 1ab a e a 即 21ab e a 11 分 令 ( ) 2 1au a e a ，则 ( ) 2au a e 因为 1,3a ，所以 ( ) 0 ， ()1,3 上 单调递增 所以 3( ) ( 3 ) 7u a u e ，所以 3 7 13 分 命题意图 :本题考查函数的极值 ,二次函数图象 ,恒成立 ,分类讨论问题。 21（本小题满分 14 分） 解：（ ）1( ,0)(0,1)B， 11( , )22a，11a11 ()22ay a x 2 分 圆 P 过点1F、1A、1 圆心 P 在11 1 6 1 3 2()2 2 2 2 ， 解得 3a 或 2a （舍） 椭圆的方程为： 2 2 13x y