福建省龙岩市2017年高中毕业班教学质量数试题(理)含答案

福建省龙岩市 2017 年高中毕业班教学质量检查 数学（理科）试题 第 卷（ 选择题 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 3 | A y y x， l n ( 1 )B x y x ，则 （ ） A 1, ) B (0,1) C (1, ) D ( ,1) z 满足 (1 2 ) 1i z ，则实数 a 等于（ ） A 12B 12C D 2 知37,( ) 4 3f x x x 的两个零点，则 项和等于（ ） A B 9 C 18 D 36 行相应的程序，输出的结果为（ ） A 3 B 23C 12D 12 ） A命题“若 2 3 2 0 ，则 2x ”的逆否命题为“若 2x ，则 2 3 2 0 ”； B“ 2a ”是“函数 ( ) x x在区间 (0, ) 上为增函数 ”的充分不必要条件； C若命题 :p n N ， 2 1000n ，则 :p n N ， 2 1000n ； D命题“ ( , 0)x ， 23”是假命题 . 6. 6( 1)( 2)的展开式中 4x 的系数为（ ） A 100 B 15 C D B 的夹角为 060 ，且 | | 3， | | 2，若 O C m O A n O B，且B ，则实数 ） A 16B 14C 6 D 4 章算术中记载了公元前 344年商鞅督造一种标准量器 商鞅铜 方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取 3，其体积为 方寸），则图中的 x 为（ ） A B C D 04 ，表示的平面区域为 M ，若直线 2y 上存在 M 内的点，则实数 k 的取值范围是（ ） A 1,3 B ( ,1 3, ) C 2,5 D ( , 2 5 , ) 的四个顶点均在同一球面上，其中 是正三角形， 平面 2 2 3P A A B，则该球的表面积为（ ） A 8 B 16 C 32 D 36 2的双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a 的左、右焦点分别为12, 的一条渐近线上的点，且2F， O 为坐标原点，若2 16，则双曲线 C 的实轴长是（ ） A 32 B 16 C 8 D 4 ) ，其图象关于点 ( 1,0) 中心对称，其导函数 ()1x 时， ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) 0x f x x f x ，则不等式 ( 1) ( 0 )xf x f 的解集为（ ） A (1, ) B ( , 1) C ( 1,1) D ( , 1 ) (1, ) 第 卷（ 非选择题 共 90 分） 二、填空题（ 本大题共 4小题， 每 小 题 5分， 共 20分） 为钝角，若 3s )35 ，则 的值为 :4C y x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 , 4F ，则直 线 n 项的和为满足 1，若 的取值范围为 , ,a b c d 满足 22 l n 3 2 1a a ，则 22( ) ( )a c b d 的最小值为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知 2 3( ) 3 s i n s i n c o x x x x . （ 1）求 () （ 2）已知 中，角 ,对边分别为 , A 为锐角且 3()2 4 ，求 a 的取值范围 . 18. 如图，在梯形 ， /D ， 2A D D C C B ， 060，平面 平面 四边形 菱形， 060. （ 1）求证： 平面 （ 2）求平面 平面 成锐二面角的余弦值 . 19. 某公司有 , , , ,A B C D E 五辆汽车，其中 ,， ,， E 车的车牌尾号为 6，已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，,辆汽车每天出车的概率均为 12 ， ,3 ，且五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车限行规定如下： 车牌尾号 0和 5 1和 6 2 和 7 3和 8 4和 9 限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 （ 1）求该公司在星期一至少有 2辆汽车出车的概率； （ 2）设 X 表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求 X 的分布列及数学期望 . 20. 已知圆 22: 2 7 0M x y y 和点 (0,1)N ，动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切，圆心 . （ 1）求曲线 E 的方程； （ 2）点 A 是曲线 E 与 x 轴正半轴的交点，点 , 上，若直线 ,C 的斜率12,足124求 面积的最大值 . ( ) ( )4 xf x x e， 2( ) 4 4 l n ( 2 )g x x x m x （ ）， ()在两个极值点12,2 （ 1）求12()f x x的最小值； （ 2）若不等式12()g x 成立，求实数 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M 的直角坐标为 (1,0) ，若直线 l 的极坐标方程为 2 c o s ( ) 1 04 ，曲线 C 的参数方程是 244（ t 为参数） . （ 1）求直线 l 和曲线 C 的普通方程； （ 2）设直线 l 和曲线 C 交于 , 11B. 等式选讲 已知函数 ( ) 2 2g x x x a （ ） （ 1）当 3a 时，解不等式 ( ) 4； （ 2）令 ( ) ( 2 )f x g x，若 ( ) 1在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围 . 福建省龙岩市 2017 年高中毕业班教学质量检查 数学（理科）试题 参考答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 4 3 31014. 4315. 0 或 1 16. 110三、解答题 17. 解：（ 1）由题可知 3 1 3( ) (1 c o s 2 ) s i n 22 2 2f x x x )3x ， 令 2 2 22 3 2k x k ， kZ 可得 5 ,1 2 1 2k x k k Z 即函数 ()单调递减增区间为 5,1 2 1 2， kZ . （ 2）由 3()2 所以 3s i n ( 2 )32A ， A 为锐角 ， 223 3 3A 233A 解得3A ， 由余弦定理得 2 2 2 22 c o s ( ) 3 1 6 33a b c b c b c b c b c 2( ) 42， 当且仅当 时取等号， 2 1 6 3 1 6 3 4 4 , 2a b c a ， 又 4a b c ， a 的取值范围为 24a 18. 解：（ 1）证法一：在梯形 /D ， 2A D D C C B ， 60 001 2 0 , 3 0A D C D C B D C A D A C 090A C B D C B D C A ， C 又 平面 平面 A， 平面 面 C ， 平面 证法二：梯形 0 3 2 2 2 c o s 6 0 4 23 2 2 2 0, 9 0A C B C A B A C B （下同） （ 2）取 G 为 点 G 四边形 菱形 ， 60， F 即 C 与（ 1）同理可知 平面 如图所示，以 C 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则有 ( 2 3 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 3 , 1 , 0 ) , ( 3 , 0 , 3 )A B D F， ( 2 3 , 2 , 0 ) ， ( 3 , 0 , 3 ) ， (0,1, 3) 设1 1 1( , , )m x y z是平面 一个法向量， 则 00AB m ， 即 1111303 3 0 ， 取 ( 3 , 3,1)m 设2 2 2( , , )n x y z是平面 一个法向量， 则 00AF n ，即 22223 3 030 ， 取 ( 3 , 3,1)n . 设平面 平面 成锐二面角为 ， 则 55c o 1 3 ， 即平面 平面 成锐二面角的余弦值为 513 19. 解：（ 1）记事件 a “该公司在星期一至少有 2辆车出车” , 则3 2 1 3 2 1 3321 1 1 1 1 1 2( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3 3p A C C 1 3 41 7 2 7 2 7 2 （ 3分） 89 （ 2） X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， 4， 5， 231 1 10 3 2 7 2 ； 312 2 1 11 3 3 2P X C 23131 1 73 2 7 2C ； 2 3 311232 1 2 1 12 3 2 3 3 2P X C C 23231 1 1 93 2 7 2C ； 2313213 32P X C 3 2 312232 1 1 1 1 2 53 3 2 3 2 7 2 ； 2 3 321322 1 2 1 1 1 64 3 2 3 3 2 7 2P X C C ； 232 1 45 3 2 7 2 ； X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 172 772 1972 2572 1672 472 1 7 1 9 2 5 1 6 4 1 70 1 2 3 4 57 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 6 20. 解：（ 1）圆 22: 2 7 0M x y y 的圆心为 01M （ ， ） ，半径为 22 点 (0,1)N 在圆 M 内，因为动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切， 所以动圆 P 与圆 M 内切 半径为 r ，则 22r . 因为动圆 P 经过点 N ，所以 , 22P M P N, 所以曲线 E 是 M , N 为焦点，长轴长为 22的椭圆 . 由 2, 1，得 2 2 1 1b , 所以曲线 E 的方程为 22 12. （ 2）直线 率为 0时，不合题意 设1 1 2 2( , ) , ( , )B x y C x y，直线 ： x ty m， 联立方程组 22,1,2x ty 得 2 2 2( 1 2 ) 4 2 2 0t y m t y m ， 21 2 1 2224 2 2,1 2 1 2m t my y y 又124,1 2 1 2 1 24 ( 1 ) ( 1 ) 4 ( 1 ) ( 1 )y y x x t y m t y m = 221 2 1 24 4 ( 1 ) t ( ) 4 ( 1 )t y y m y y m . 代入得 22222 2 4( 1 4 ) 4 ( 1 ) 4 ( 1 )1 2 1 2m m tt m 又 1m ，化简得 2 2 21 ( 1 4 ) 2 4 2 ( 1 ) ( 1 2m t m t m t （ ） （ ） ）， 解得 3m ，故直线 定点 (3,0) 由 0 ，解得 2 4t ， 221 21 4 422 1 2y 222 224 4 499 2 ( 4 ) 244tt 23 （当且仅当 2 172t 时取等号） . 综上， 面积的最大值为 23. 21. 解：（ 1） 284( ) 8 4 ( 0 )m x x mg x x ， 令 ( ) 0 得 28 4 0x x m ， 因为 () 2 1 2, ( )x x x x ， 所以方程 在 (0, ) 上有两个不等实根12, 所以 1 6 3 2 008 解得 10,2m且1 2 111,024x x x ， 所以1 2 1 1 11 1 1( ) 2 , 02 2 2x x x x x 1( ) ( ) ,4 xf x x e 当 11,24x 时， ( ) 0, 当 1,04x 时， ( ) 0, 所以12()f x x的最小值为 141()4 （ 2）由（ 1）可知，1 2 1 2 1 21 1 1 1 10 , , ( 0 , )2 2 8 4 4 2mm x x x x x x ， 由12()g x 12()x ， 所以 21 1 1 12 1( ) 4 4 l n ( 2 )12g x x x m xx x112112121)2844 111112121)2)21(844 )21(21)2)21)(2(21)12(111121 )2)2(221 1)21(2 1111 )(x )1(2（210 x）， 则 )(x xx ( 112 2因为 10,2x所以 2111 1 , ( 1 ) 124 , ( ) 0x ,即 ()x 在 10,2递减， 1( ) ( ) 3 2 l n 22x ， 综上，实数 a 的取值范围为 , 3 2 22. 解：（ 1）因为 2 c o s ( ) 1 04 ， 所以 c o s s i n 1 0 由 c o s , s i ， 得 10 因为 244，消去 t 得 2 4 所以直线 l 和曲线 C 的普通方程分别为 10 和 2 4. （ 2）点 M 的直角坐标为 (1,0) ，点 M 在直线 l 上， 设直线 l 的参数方程：21222 ，（ t 为参数）， ,2 4 2 8 0 1 2 1 24 2 , 8t t t t 212 1 2 1 21 2 1 2( ) 411 tt t t t M B t t t t 3 2 3 2 1823 解：（ 1）依题意得 ( ) 2 1 4g x x x 当 1x 时，原不等式化为： 2 ( 1) 4 ，解得 12x 当 01x时，原不等式化为： 2