2010年高考天津卷理科word及答案全解析

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 （理工类解析） 本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟，第 I 卷 1 至 3 页，第 卷 4 至 11 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 注意事项： 1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴 考试用条形码。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无 效。 3. 本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。 参考公式： 如果时间 A，B 互斥，那么 如果时间 A，B 相互独立，那么 P（A B） =P（A）+P（B ）. P(AB)=P(A)P(B). 棱柱的体积公式 V=Sh. 凌锥的体积公式 V= Sh.13 其中 S 表示棱柱的底面积， 其中 S 表示棱锥的底面积. H 表示棱柱的高 h 表示棱锥的高.来源:学.科.网 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）i 是虚数单位，复数 =132i （A）1+i （B ）5+5i （C ）-5-5i （D）-1-i 【答案】A 【解析】 ，故选 A。312i()5i51i 【命题意图】本小题考查复数的基本运算，属保分题。 (2)函数 的零点所在的一个区间是()xf （A） （-2，-1 ） （B） （-1，0） （C） （0，1） （D） （1，2） 【答案】B 【解析】因为 ， ，所以选 B。1()23f()2f 【命题意图】本小题考查函数根的存在性定理，属基础题。 （3）命题“若 是奇函数，则 是奇 函数”的否命题是fxfx （A）若 是偶函数，则 是偶函数来源:Z*xx*k.Com （B）若 是奇数，则 不是奇函数fxfx 2 （C）若 是奇函数，则 是奇函数fxfx （D）若 是奇函数，则 不是奇函数 【答案】B 【解析】因为一个命题的否命题是只对其结论进行否定，所以选 B。 【命题意图】本小题考查简易逻辑中的否命题的写法，属基础题。 （4）阅读右边的程序框图，若输出 S 的值为-7 ，则叛断框内可 填写。 （A）if(-a),则实数 a 的取值范围是 21logx0, （A） （-1，0）（0，1） （B） （-，-1）（1,+） （C） （-1，0）（1,+） （D） （-，-1）（0,1） 【答案】C 【解析】当 时，由 f(a)f(-a)得： ，即 ，即 ，a212logla221loglaa 4 解得 ；当 时，由 f(a)f(-a)得： ，即1a012log()a2()l21log()a ，2()log 即 ，解得 ，故选 C。1a10a 【命题意图】本小题考查函数求值、不等式求解、对数函数的单调性等基础知识，考查同 学们分类讨论的数学思想。 （9）设 集合 A ，B 。若 ,则实数,xxR2,xbxRAB 必满足,ab （A） （B）33a （C） （D）b 【答案】D 【解析】由题意可得： ，对集合 B 有 或 ，因|1Axa2xb 为 ，所以有 或 ，解得 或 ，即AB2b2b3a ，选 D。3ab 【命题意图】本小题考查绝对值不等式的解法、集合之间的关系等基础知识，考查同学们 数形结合的数学思想。 （10）如图，用四种不同颜色给图中的 A、B、C、D、E、F 六个点涂色， 要求每个点涂一种颜色 ，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。则不同的 涂色方法共有 （A） 288 种 （B）264 种 （C） 24 0 种 （D）168 种 【答案】B 【解析】分三类：（1）B、D、E、F 用四种颜色，则有 种方412A 法； （2）B、D、E、F 用三种颜色，则有 种方法；342A349 （3）B、D、E、F 用二种颜色，则有 ，所以共有不同的涂色方法8 24+192+48=264 种。 【命题意图】本小题考查排列组合的基础知识，考查分类讨论的数学思想，有点难度。 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上。 （11）甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示下图，中间一列的数字表示 零件个数，两边的数字表示零件个数的位数。则这 10 天甲、乙两人日加工零件的平均数分 别为 和 。 【答案】24，23 【解析】甲加工零件的平均数为 =24；1(892012315) 乙加工零件的平均数为 。(7402)3 【命题意图】本题考查茎叶图的基础知识，属容易题。 12. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。 【答案】 103 【解析】由三视图知：该几何体是一个底面边长为 1、高为 2 的正四棱柱与一个底面边长 为 2、高为 1 的正四棱锥组成的组合体.因为正四棱柱的体积为 2, 正四棱锥的体积为 ,故该几何体的体积为 .44023 【命题意图】本题考查立体几何中的三视图以及棱柱与棱锥体积的求解,考查空间想象能力、 识图能力。 （13）已知圆 C 的圆心是直线 （ 为参数）与 轴的交点，且圆 C 与直线1t 相切。则圆 C 的方程为 。30 【答案】 2(1)xy 6 【解析】令 y=0 得 t=-1，所以直线 （ 为参数）与 轴的交点为（-1，0） ，因为1t 直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，故圆 C 的方|13|2r 程为 。2(1)xy 【命题意图】本题考查直线的参数方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识。 （14）如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P。若 ， ，则 的值为 。2PBA3CDBA 【答案】 6 【解析】因为 ABCD 四点共圆，所以 PCB，DB CDA=PBC，因为P 为公共角，所以 ，所PCA 以 ，设 PC=x，PB=y，则有 ，即 ，所以 =PBDCA32xy62yxBCAD3xy 。6 【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。 （15）如图，在 中， ， ，则 = ABC:DAB3,|1CDACAD: 。 【答案】 3 【解析】 =ACD:|cosADC|cosAC|sinABC = .|sinB|sinB3 【命题意图】本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识,考查化归与转化的数学思想, 有点难度. （16）设函数 ，对任 意 , 2()1fx)2x2(4()1)4(xfmfxfm 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 【答案】 3(,)2 【解析】由题意知： 在 上恒成222214()(14(1)xxm3,)x 立， 在 上恒成立，当 时，函数 取2134mx3,)32x21yx 得最小值 ，所以 ，即 解得 或52154m2(1)4)0,m3 。32 【命题意图】本题考查函数中的恒成立问题，考查化归与转化的数学思想。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 已知函数 =2 。(fx23sincos1()xxR (1)求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值：)f 0, (2)若 ， ，求 的值。06()5fx0,420cosx 【命题意图】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基sin()yA 本运算能力。 【解析】 （1）由 ，得2()23sincos1fxxx2()3sinco)3incos2in()6fx x 所以函数 的最小正周期为f 因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又()2sin6fxx0,6,62 ，所以函数 在区间 上的最大值为 2，最小值(0)1,1fff()fx0, 为-1 8 （2）解：由（1）可知 00()2sin6fxx 又因为 ，所以06()5fx03i5 由 ，得0,42027,6 从而 2004cos1sin65xx 所以 000034cos2cos2cosin2sin66610xxxx 。 (18)(本小题满分 12 分) 某射手每次射击击中目标的概率是 ，且各次射击的结果互不影响。23 ()假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率： ()假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标的概率： ()假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在 3 次射 击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分，记 为射手射击 3 次后的总得分数，求 的分布列。 【命题意图】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互 斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。 【解析】 （1）解：设 为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 .在 5 次射XX2,3B 击中，恰有 2 次击中目标的概率 22540()133PXC （）解：设“第 次射击击中目标”为事件 ；“射手在 5 次射击中，i (1,2345)iA 有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”为事件 ,则 123451234512345()()()PAAPP = 2 = 81 （）解：由题意可知， 的所有可能取值为0,1236 3123(0)()7PA123123123()()PA = 912324()()7PA123123()PA221837123(6)()PA87 所以 的分布列是 0 1 2 3 6 P 1272947827827 (19)(本小题满分 12 分) 如图，在长方体 中， 分别是棱 ， 上的点，1ABCD,EFBC1 ， 。2CFE:24 ()求异面直线 与 所成角的余弦值：1 ()证明 平面 ：() 求二面角 的正弦值。AD1AEDF 【命题意图】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面 角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力 和推理论证能力。 【解析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系， 点 A 为坐标原点，设 ,依题意得 ,1AB(02)D , ,(12)F1(04)3,2E 10 （1） 解：易得 ,102EF1(0,24)AD 于是 113cos, 5A: 所以异面直线 与 所成角的余弦值为EF1 （2） 证明：已知 , ,(2)A13,42E1,02ED 于是 =0， =0.因此， , ,又AF1ED1AF1AE 所以 平面 (3)解：设平面 的法向量 ，则 ,即EF(,)uxyz0uED:021yzx 不妨令 X=1,可得 。由（2）可知， 为平面 的一个法向量。(1,） AF1 于是 ，从而cos,=3|Au5sin,=3u 所以二面角 的正弦值为1-EDF5 方法二：（1）解：设 AB=1，可得 AD=2,AA1=4,CF=1.CE= 2 链接 B1C,BC1，设 B1C 与 BC1交于点 M,易知 A1DB 1C，由 ,可知 EFBC 1.故1EF=B4 是异面直线 EF 与 A1D 所成的角，易知 BM=CM=M ,所以 ,所1=52223cos 5MB: 以异面直线 FE 与 A1D 所成角的余弦值为 35 （2）证明：连接 AC，设 AC 与 DE 交点 N 因为 ，所以 ，从而CEBRtCEtBA: ，又由于 ,所以 ，故CDEBA90CDE90BCAED ACDE,又因为 CC1DE 且 ，所以 DE平面 ACF，从而 AFDE.1A 连接 BF，同理可证 B1C平面 ABF,从而 AFB 1C,所以 AFA 1D 因为 ，1 所以 AF平面 A1ED (3)解：连接 A1N.FN,由（2）可知 DE平面 ACF,又 NF 平面 ACF, A1N 平面 ACF，所以 DENF,DEA 1N,故 为二面角 A1-ED-F 的平面角1NF 易知 ，所以 ，又 所以 ，在RtCEtB:CE55C21305tNFNRtAN:中 ， 在 中 21430AN 连接 A1C1,A1F 在 21114RtFC中 ， 。所以 2111cos 3t AN在 中 ， 15sin3F 所以二面角 A1-DE-F 正弦值为 。53 (20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 ( 0)的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 2xyab32e 积为 4。 ()求椭圆的方程： ()设直线 与椭圆相交于不 同的两点 。已知点 的坐标为(- ，0)，点 (0， )l ,ABaQ0y 在线段 的垂直平分线上，且 =4。求 的值。ABQ:0y 【命题意图】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础 知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。 【解析】 （1）解：由 ，得 ，再由 ，得3e2ca24ac22ab 由题意可知， 4,2b即 解方程组 得 a=2,b=1a 12 所以椭圆的方程为 214xy (2)解：由（1）可知 A（-2,0） 。设 B 点的坐标为（x 1,y1）,直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y=k(x+2), 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 2 ()14ykx 由方程组消去 Y 并整理，得 222(1)6(4)0kk 由 得 2164,kx21128,kyk从 而 设线段 AB 是中点为 M，则 M 的坐标为 228(,)14k 以下分两种情况： （1）当 k=0 时，点 B 的坐标为（2,0） 。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是000(2,y)(2,=2QAyQABy:） 由 4， 得 （2）当 K 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 2218()44kkYx 令 x=0，解得 02614ky 由 010(,)(,QABxy ） 210 222(8)6462()411kkx:） =42(65)4k= 整理得 2 012147, =75y故 所 以 综上 。00214=5yy或 （21） （本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)=xe-x（x R）. () 求函数 f(x)的单调区间和极值； ()已知函数 y=g(x)的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称，证明当 x1 时，f(x) g(x) ()如果 且 证明12,x12(),fxf12x 【命题意图】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识， 考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。 【解析】 （）解：f ()xxe 令 f(x)=0,解得 x=1 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表 X ( ),11 ( )1, f(x) + 0 - f(x) :极大值 : 所以 f(x)在( )内是增函数，在( )内是减函数。,11, 函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)=e （）证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) 2x 令 F(x)=f(x)-g(x),即 ()()xF 于是 2()1xFxe 当 x1 时，2x-20,从而 (x)0,从而函数 F（x）在-0,Fxe又 所 以 1,+)是增函数。 又 F(1)= F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x).-1e0， 所 以 1时 ， 有 )证明：（1） 若 2 1212(),),.x xx12由 （ ） 及 f(xf则 与 矛 盾 。 （2）若 1()0)x由 （ ） 及 (得 与 矛 盾 。 14 根据（1） （2）得 1212()0,.xx不 妨 设 由（）可知， ,则 = ，所以 ,从而fg)2()f-)2f(x)2- .因为 ，所以 ，又由（）可知函数 f(x)在区间（-)1f(x)2-2xx ，1）内事增函数，所以 ,即 2.1212 （22） （本小题满分 14 分） 在数列 中， ，且对任意 ， 成等差数列，其公差na10*kN2121,kka 为 。kd ()若 =2k，证明 成等比数列（ ） ；212,kkak ()若对任意 ， 成等比数列，其公比为 .*N, kq （i）设 1.证明 是等差数列；1q1k (ii)若 ，证明2a23()kna 【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前 n 项和公式、等比数列的定 义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及 分类讨论的思想方法。 【解析】 （）证明：由题设，可得 。*4,21akNk 所以 1 31()().()222aaaakk =4().4 =2k(k+1) 由 =0，得1a 222(1), ,(1).21kakakk从 而 于是 。2,ak所 以 所以 成