数学教学模拟题案例

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 数学教学模拟题案例 摘要：高等数学的一些内容可以 通过初等数学的方法和手段解决，用来 考查学生进一步学习数学的潜能起着很 好的作用；二是随着高考命题改革的进 一步深入，自主命题的省市越来越多。 命题组的成员以高等数学的角度分析初 等数学的命题，代数推理、比较重要不 等式、分段函数的构造、递推数列、极 限方法的应用、导数的应用、不动点的 研究问题、函数图象的凸凹性、求极限 的洛必达法则、中值定理等具有高等数 学倾向的问题逐渐走进高考，虽然它们 对解题方法的逻辑依据要求不高，但通 过直观化，却可以成为命题和解题的基 础。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 中国论文网 /2/view-12894872.htm 关键词：数学教学; 案例 Abstract: some content of higher mathematics elementary mathematics can be through the methods and means of solving, used to test students further study mathematics potential plays a very good function; 2 it is with the proposition of the reform in college entrance examination, independent proposition provinces and cities more and more. Members of the group in higher proposition the view of mathematics elementary mathematics analysis of proposition, algebra reasoning, more important, inequality of section function the structure, the recursive sequence, limit the application of the method, and the application of the derivative of fixed point to study the problem and function image and convexity-concavity of the limit for los will reach law of the mean value theorem, -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 has the tendency of higher mathematics problem gradually came into the university entrance exam, although they to the problem solving method of logic based on demand is not high, but through the direct, but can be the foundation of the proposition and problem solving. Keywords: mathematics teaching; case 中图分类号：G623.5 文献标识 码：A 文章编号： 笔者拟结合近年各地的高考题 及模拟题，谈谈高等数学思想方法在解 题中的应用。 函数的凸凹性 凸函数定义：设函数定义在 区间及任意的都有 ，则称是上的凸函数。特别地， 时，式即为。 定理 1 若函数是定义在区间上 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 的凸函数，则对于任意，及实数，且， 都有 。 凹函数定义：设函数定义在区 间上，若对于任意的两点及任意的，都 有则称是上的凹函数，特别地，时，式 即为。 定理 2 若函数是定义在区间上 的凸函数，则对于任意 ，及实数，且，都有 。 函数凸凹性的判定方法：设函数 在区间内二阶导数存在，则 1）为凸函 数的充要条件为， 。2）为凹函数的充要 条件为， 。 例 1 （2005 年湖北卷）在这四 个函数中，当时，使恒成立的函数的个 数是（） A0 B1 C 2 D3 解析根据上述函数凸凹性的定 义及判断方法可得，本题就是考察所给 的四个函数为凹函数的有几个，显然利 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 用二阶导数判断可得，只有为凹函数， 故选（B ） 例 2 （2008 年江苏省滨海县高 三第三次数学联考） 已知函数, （1）若在上单调递增，求的取 值范围； （2）若定义在区间 D 上的函数 对于区间 D 上的任意两个值总有以下不 等式成立，则称函数为区间 D 上的“凹 函数”。试证当时，为 “凹函数 ” 解：（1）由，得，若函数为上 单调增函数，则在上恒成立。即不等式 在上恒成立. 也即在上恒成立。令，上 述问题等价于，而为在上的减函数，则， 于是为所求 （2）证明：由 得 即，从而由凹函数的定义可知 此函数为凹函数 解析此题改编于 2006 年四川卷 压轴题 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 已知函数，的导函数是，对任意 两个不相等的正数，证明：（）当时， ， （）当时， 。 08 年江苏模拟题在命题思路上 改变方向,以即时定义的方式来考察学生 对题目的理解、解答能力。而 2006 年 的四川高考题更重视于对学生解题能力 的考查。 贝努利（Jac.Bernoulli）不等式 定理 设，则 当时， ； 当时， ，其中等号成立的充要 条件为。 例 3（2007 年湖北卷）已知为 正整数， （I）用数学归纳法证明：当时， ； （II）对于，已知，求证， ； 解析： （）证：用数学归纳 法证明： （。笔保 原不等式成立； -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 当时，左边， 右边，因为，所以左边右边， 原不等式成立； （）假设当时，不等式成 立，即，则当时， ， ，于是在不等式两边同乘以得 ， 所以即当时，不等式也成 立 综合（。 （）知，对 一切正整数，不等式都成立 （）证：当时，由（）得， 于是。 本题主要考查数学归纳法、不 等式等基础知识和基本的运算技能，考 查分析问题能力和推理能力。第一问使 用数学归纳法进行证明贝努利不等式， 第二问利用高等数学中的不等式解决初 等数学问题。可见此不等式在高中数学 解题中起到了事半功倍的作用。 例 4（2007 年湖北十校） -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 定义函数，其导函数记为。求 证：。 解析： 令当时，令此时 当时，有 当时， ，当时， ， 在上递减，在上递增。故在处取 得极（最）小值， 即（当且仅当时取等号） 。 综上，可知。 此题的解题过程无形中反映出 初等数学与高等数学知识间的内在关系。 取整函数 定义对于任意实数，符号表示 的整数部分，即是不超过的最大整数， 这个函数叫做“ 取整函数”，也叫高斯 （Gauss）函数 例 5 （2008 年湖南卷） 设表 示不超过 x 的最大整数（如2=2, ，对于给定的 nN*，定义，则当时，函 数的值域是() -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 A. B. C. D. 解析当时，当时， 所以; 当时，当时， ，故函数 的值域是。 选 D. 例 6 （2008 年全国高中数学联 合竞赛湖北初赛） 设表示不超过的最大整数， 则= 解析 当时，且在区间中的正整 数有 设，注意到， 所以= = 记 S= 则 2S= 两式相减得: S=，所以 S= 。 因此= 取整函数在高考题型中以多种 姿态出现，那么在高中讲授函数知识的 同时，以取整函数为例，讲述其性质， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 以便于学生在学习中能更好的应用。 拉格朗日中值定理 定理若函数满足下列条件：在 上连续；在内可导，在开区间内至少存 在一点，使得 (1) 我们称为拉格朗日公 式。 例 7 (2006 年北京理工卷 )在下 列四个函数中，满足性质：“对于区间 上的任意O OOO 恒成立”的只 有( ) (A)(B) OO(C) (D) 解析 不妨设，利用拉格朗日定 理可以得，且 ，则 O| = |，而根据题 意只需要求所给函数满足|1， 即O O1，当时，四个选项 的导数， ， ， ，故选（A） 排列（逆序定义） 定义在一个排列中，如果一对 数的前后位置与大小顺序相反，即前面 的数大于后面的数，那么它们就称为一 个逆序，一个排列中逆序的总数就称为 这个排列的逆序数。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 例 8 （2006 年湖南卷） 在个 不同的排列中，若时（即前面某数大于 后面某数） ，则称与构成一个逆序，一 个排列的全部逆序的总数称为该排列的 逆序数。记排列的逆序数为，如排列 21 的逆序数，排列 321 的逆序数，排列 4321 的逆序数。(1)求、 ，并写出的表达 式； 解析由已知条件， ，则。本题为 一道即时定义题。通过高等数学中概念 的给定，考察学生理解及应用初等数学 解答的能力. 高等数学下放题“数学探究” 是 新课程改革竭力倡导的一种研究性学习 方式，近年来，高考明显加大了对学生 直觉猜想、观察发现、归纳类比等重要 的科学发现和科学研究方法的考查力度， 由归纳得到猜想，由类比发现新知等试 题都有较高的能力要求，对阅渎理解能 力、抽象思维能力和代数推理能力及归 纳猜想、类比发现等创新意识均有较高 -精选财经经济类资