2016-2017学年高中数学 全册北师大版选修4-5_8

1 【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 第 2 章 几个重要的不等 式 学业分层测评 11 排序不等式 北师大版选修 4-5 (建议用时：45 分钟) 学业达标 一、选择题 1设 a1， a2， a3为正数，且 a1， a2， a3的任一排列为 a 1， a 2， a 3，则 a1a 1 的最小值为( ) a2a 2 a3a 3 A3 B6 C9 D12 【解析】 由题意，不妨设 a1 a2 a30，则 0， 1a3 1a2 1a1 a1a 1 a2a 2 a3a 3 3， a1a1 a2a2 a3a3 当且仅当 a1 a2 a3时等号成立 【答案】 A 2设 a1， a2， an都是正数， b1， b2， bn是 a1， a2， an的任一排列， P a b a b a b ， Q a1 a2 an，则 P 与 Q 的大小关系是( )21 11 2 12 2n 1n A P Q B PQ C P0， 可知 a a a ， a a a .21 2 2n 1n 1n 11 由排序不等式，得 a b a b a b a a a a a a ，21 -11 2 -12 2n -1n 21 -11 2 -12 2n -1n 即 a b a b a b a1 a2 an.21 -11 2 -12 2n -1n P Q，当且仅当 a1 a2 an0 时等号成立 【答案】 D 3某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件，5 件及 2 件，现在选择商店中 单价为 3 元，2 元和 1 元的礼品，则至少要花_元，至多花_元( ) A20,23 B19,25 C21,23 D19,24 【解析】 单价大小排列为 3,2,1，待买礼品数量排列为 5,4,2，任意交叉相乘再取和 中最大值是顺序和 35241225，最小值是逆序和 32241519. 2 【答案】 B 4设 a1， a2， a3为正数，则 与 a1 a2 a3大小关系为( ) a1a2a3 a2a3a1 a3a1a2 A B C0，于是 ， a2a3 a3a1 a1a2， 1a1 1a2 1a3 由排序不等式：顺序和乱序和，得 a2a3 a3a1 a1a2 a3 a1 a2， a1a2a3 a3a1a2 a2a3a1 1a2 1a3 1a1 即 a1 a2 a3. a1a2a3 a2a3a1 a3a1a2 【答案】 B 5 a1， a2， an都是正数， b1， b2， bn是 a1， a2， an的任一排列，则 a1b a2b anb 的最小值是( ) 11 12 1n A1 B n C n2 D无法确定 【解析】 设 a1 a2 an0. 可知 a a a ， 1n 1n 11 由排序原理，得 a1b a2b anb 11 12 1n a1a a2a ana n. 11 12 1n 【答案】 B 二、填空题 6设 a b0，则 a3 b3与 a2b ab2的大小关系是_ 【解析】 a b0， a2 b20， 因此 a3 b3 a2b ab2(排序不等式) 【答案】 a3 b3 a2b ab2 7有 4 人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要 5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为_ s. 【解析】 等候的最短时间为：3443527141(s) 【答案】 41 8若 a0， b0 且 a b1，则 的最小值是_. b2a a2b 【导学号：94910034】 3 【解析】 不妨设 a b0，则有 a2 b2，且 . 1b 1a 由排序不等式得 a2 b2 b2a a2b 1a 1b a b1， 当且仅当 a b 时，等号成立 12 的最小值为 1. b2a a2b 【答案】 1 三、解答题 9设 a， b， c 为正数，求证： a10 b10 c10. a12bc b12ca c12ab 【证明】 由对称性，不妨设 a b c0， 于是 a12 b12 c12， ， 1bc 1ca 1ab 故由排序不等式：顺序和乱序和，得 . a12bc b12ca c12ab a12ab b12bc c12ca a11b b11c c11a 又因为 a11 b11 c11， . 1a 1b 1c 再次由排序不等式：逆序和乱序和，得 . a11a b11b c11c a11b b11c c11a 所以由，得 a10 b10 c10. a12bc b12ca c12ab 10已知 0 (sin 2 sin 2 sin 2 ) 12 【证明】 0cos cos 0. 4 根据排序不等式得：乱序和逆序和 又本题中等号不可能取到， sin cos sin cos sin cos (sin 2 sin 2 sin 2 ) 12 能力提升 1已知 a， b， c 为正数，则 a2(a2 bc) b2(b2 ac) c2(c2 ab)的正负情况是( ) A大于零 B大于等于零 C小于零 D小于等于零 【解析】 设 a b c0，所以 a3 b3 c3， 根据排序原理，得 a3a b3b c3c a3b b3c c3a. 又知 ab ac bc， a2 b2 c2， 所以 a3b b3c c3a a2bc b2ca c2ab， 所以 a4 b4 c4 a2bc b2ca c2ab. 即 a2(a2 bc) b2(b2 ac) c2(c2 ab)0. 【答案】 B 2锐角三角形中，设 P ， Q acos C bcos B ccos A，则 P， Q 的关系为( ) a b c2 A P Q B P Q C P Q D不能确定 【解析】 不妨设 A B C，则 a b c，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有 Q acos C bcos B ccos A acos B bcos C ccos A R(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A) Rsin(A B)sin( B C)sin( A C) R(sin Csin Asin B) P. a b c2 【答案】 C 3设 a， b， c 是正数，则 aabbcc_(abc) . a b c3 【解析】 不妨设 a b c0， 则 lg alg blg c，据排序不等式有： alg a blg b clg c blg a clg b alg c， alg a blg b clg c clg a alg b blg c， 以上两式相加，再两边同加 alg a blg b clg c，整理得 3(alg a blg b clg c) 5 ( a b c)(lg alg blg c)，即 lg(aabbcc) lg(abc)， a b c3 故 aabbcc( abc) . a b c3 【答案】 4设 a， b， c 大于 0，求证： (1)a3 b3 ab(a b)； (2) . 1a3 b3 abc 1b3 c3 abc 1c3 a3 abc 1abc 【证明】 (1)不妨设 a b c0， 则 a2 b2 c20， a3 b3 a2a b2b a2b b2a， a3 b3 ab(a b) (2)由(1)