数形结合法巧解函数类压轴小题

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 数形结合法巧解函数类压轴小题 四川省凉山州美姑县中学西昌校 区（西昌市西宁镇原工业技校） 615013 中国论文网 /1/view-12819063.htm 摘 要 函数类压轴小题是高考的 一种重要题型，短小精悍，具有一定的 难度.本文尝试从函数图像的角度采用数 形结合思想来解决该类问题，同时提出 在高三复习中学生应该从哪几个方面来 把握函数问题. 关键词：数形结合；分段函数； 零点；高考压轴题； 最近，笔者给高三尖子生作函数 与导数模块复习时遇到不少函数类压轴 小题，绝大部分试题要用到函数的图像 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 才能高效的突破.由于函数类压轴小题在 高考中的分值较大，通常都具有一定的 难度，如果学生能把握好这些试题的解 答，整张试卷得高分就成为可能.俗话说， 得小题者得天下.本文略取两个小题，还 原高考的思维过程，探求在复习中该如 何把握函数类问题的解法，体会数形结 合思想在解题中的魅力. 一、试题再现 例 1.（2014 成都一诊文数 ）已 知函数 ，若函数 在区间 上恰有一个 零点，则 的取值范围为（ ） 例 2.（2015 年成都一诊理数 ） 已知函数 ，若存在实数 使得函数 的 值域为 ，则实数 的取值范围是 _ 二、解法研究 例 1 试题平凡，题意清晰，以分 段函数为载体，涉及分段函数的图像、 函数的零点、直线与曲线的交点个数， 隐藏直线与曲线相切.根据“分段函数的 图像分段绘制” 的原则，分别作出两个 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 区间内的函数图像，如图 1.由函数的零 点的定义得 ，即 .此方程从函数与方程 的角度来思考，即方程的根的个数是函 数 与 的交点个数，于是，比较自然的 思路是画过原点的直线与曲线相交，此 时需要计算 与 相切时 的值.经过简单 的计算（省略） ，当直线与曲线相切时 ；当直线过点 时 .若对例 1 作一个变式 研究，自然是要讨论 对函数 零点的个 数的影响，这里留给读者研讨，不作赘 述. 例 2 试题也较常规，但难度明显 大于例 1，仍然以分段函数为载体，以 图像为突破口，不同之处是分界点未知， 且区间是动态的（即第二段区间含有参 数 ）.笔者采取分步突破的办法：一方 面，先在每一段函数解析式有意义的前 提下绘制出两个部分的函数图像；另一 方面，根据分段点 和右端点 来截取部 分图像，使得此时的图像所表示的函数 值域为 ，如图 2 所示.令 解得 ，又令 解得 ，再通过图像推算得 . -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 读者必会有一个疑问是“存在一 个分段点 使得值域为 ”中的 “存在”量 词如何理解呢？为了回答这个问题，笔 者给出原试题的两个变式，作了如下进 一步研究： 若只把试题中的分段点 划分 到第一段区间，则 若只把试题中的“存在” 量词改 为“对任意 ”，则 三、解法与学法反思 上面两例仅涉及数形结合思想在 函数、导数中的应用，然而，数形结合 思想在高考试题中的渗透却是方法面面 的.下面从解法和学法两个方面简要阐述 二者的联系： 一方面，就解法而言，数形结合 在处理函数问题时形象直观、思路清晰、 运算通常也比较简便，尤其在处理函数 类压轴小题涉及零点、交点等问题时可 减少分类讨论，受到广大师生的青睐， 具有广泛的应用.另一方面，就学法而言， 对学生学习函数时提出了更高的要求， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 希望学生能从图像的角度掌握函数的性 质，如奇偶性，周期性、单调性、凹凸 性等