2017届高考数学一轮复习 不等式选讲 理选修4-5_1

1 【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 不等式选讲 第二节 不等 式证明的基本方法课后作业 理 选修 4-5 1在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边的长分别为 a， b， c，证明： (1) abc2 ； 1a3 1b3 1c3 3 (2) 9. A B C 2(2016云南模拟)已知 a 是常数，对任意实数 x，不等式 |x1|2 x| a| x1|2 x|都成立 (1)求 a 的值； (2)设 mn0，求证：2 m 2 n a. 1m2 2mn n2 3设函数 f(x)| x4| x3|， f(x)的最小值为 m. (1)求 m 的值； (2)当 a2 b3 c m(a， b， cR)时，求 a2 b2 c2的最小值 4设 a， b， c 均为正数，且 a b c1.证明： (1) ab bc ac ； 13 (2) 1. a2b b2c c2a 5(2016长春质检)(1)已知 a， b 都是正数，且 a b，求证： a3 b3a2b ab2； (2)已知 a， b， c 都是正数，求证： abc. a2b2 b2c2 c2a2a b c 2 6设 a， b， c 为正数且 a b c1，求证： 2 2 2 .(a 1a) (b 1b) (c 1c) 1003 答 案 1证明：(1)因为 a， b， c 为正实数， 由基本(均值)不等式可得 3 ， 1a3 1b3 1c3 31a31b31c3 即 ， 1a3 1b3 1c3 3abc 所以 abc abc， 1a3 1b3 1c3 3abc 而 abc2 2 ， 3abc 3abcabc 3 所以 abc2 . 1a3 1b3 1c3 3 当且仅当 a b c 时取等号63 (2) 3 ， 1A 1B 1C 31ABC 33ABC 3A B C3 9 所以 9， A B C 当且仅当 A B C 时取等号 3 2解：(1)设 f(x)| x1|2 x|， 则 f(x)Error! f(x)的最大值为 3. 对任意实数 x，| x1|2 x| a 都成立，即 f(x) a， a3. 设 h(x)| x1|2 x|Error! 则 h(x)的最小值为 3. 对任意实数 x，| x1|2 x| a 都成立，即 h(x) a， a3. a3. (2)由(1)知 a3. 2 m 2 n( m n)( m n) ，且 mn0， 1m2 2mn n2 1 m n 2 3 ( m n)( m n) 1 m n 2 3 3， 3 m n m n 1 m n 2 2 m 2 n a. 1m2 2mn n2 3解：(1)法一： f(x)| x4| x3|( x4)( x3)|1，故函数 f(x)的最 小值为 1，即 m1. 法二： f(x)Error! 当 x4 时， f(x)1；当 x1；当 3 x4 时， f(x)1，故函数 f(x)的 最小值为 1，即 m1. (2)(a2 b2 c2)(122 23 2)( a2 b3 c)21， 故 a2 b2 c2 ， 114 当且仅当 a ， b ， c 时取等号 114 17 314 故 a2 b2 c2的最小值为 . 114 4证明：(1)由 a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ca 得 a2 b2 c2 ab bc ca. 由题设得( a b c)21，即 a2 b2 c22 ab2 bc2 ca1. 所以 3(ab bc ca)1，即 ab bc ca . 13 (2)因为 b2 a， c2 b， a2 c， a2b b2c c2a 故 ( a b c)2( a b c)，即 a b c.所以 a2b b2c c2a a2b b2c c2a 1. a2b b2c c2a 5证明：(1)( a3 b3)( a2b ab2)( a b)(a b)2. 因为 a， b 都是正数，所以 a b0. 又因为 a b，所以( a b)20. 于是( a b)(a b)20，即( a3 b3)( a2b ab2)0， 所以 a3 b3a2b ab2. (2)因为 b2 c22 bc， a20，所以 a2(b2 c2)2 a2bc. 同理， b2(a2 c2)2 ab2c. c2(a2 b2)2 abc2. 相加得 2(a2b2 b2c2 c2a2)2 a2bc2 ab2c2 abc2，从而 4 a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c)由 a， b， c 都是正数，得 a b c0，因此 abc. a2b2 b2c2 c2a2a b c 6证明： 2 2 c 2(a 1a) (b 1b) 1c (121 21 2) 13 2 2 2 1 1 b 1 2 1