2010年第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教案-《“杨辉三角”与二项式系数的性质》(湖

“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学说明 湖北省黄冈市浠水实验高级中学 周少雄 1内容和内容解析 “杨辉三角”与二项式系数的性质是全日制普通高级中学教科书人教 A 版选修 2-3 第 1 章第 3 节第 2 课时.教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为 “杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质， “杨辉三角”是我国古 代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生 进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础， 由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系 数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，可以画出 它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规 律，形成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实 践能力；也有利于学生理解数学知识，培养其数学应用意识. 研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的 联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方 程等也具有重要地位. 根据以上对教材及学情的分析，特制定教学重点如下： 体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质. 2教学目标分析 “杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显示了我国古代人民 的卓越智慧和才能，了解我国古代数学成就之一的“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角” ，运用函数的知识深化对二项式系数性质的理解，联系函数图象和性质、赋值法、两个计 数原理等知识探究证明二项式系数的性质，体会用函数知识研究问题的方法，体验数形结 合、特殊到一般进行归纳等数学思想的渗透和运用，体现教师引导、学生探究的教学方式， 培养学生问题意识，提高数学思维能力，培育学生理性精神. 根据以上分析特制定教学目标如下： 1通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活 动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感. 2通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数 知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力. 3通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生掌握二 项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想 方法解决问题的“ 再创造” 过程 . 4通过恰时恰点的问题引入、引申，采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延 伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学 生探索、研究我国古代数学的热情. 3教学问题诊断分析 教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，不仅是因为“杨辉三角”是我 国古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能， 对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感，而且“杨辉三角”与二项式系数的性质 紧密相联，由它可以直观的看出二项式系数的性质，同时课程体系在本节课后编排了关于 探究与发现“杨辉三角” 中的奥妙的阅读材料，为了凸现数学史教学，更好的掌握本节知识， 促进学生发展，在高中学生学习的各个领域渗透研究性学习，因此对教材内容进行了精心 加工，合理调整，课前开展了探究与发现“杨辉三角”的一些规律的学习活动，课上进行展 示. 学生不难发现和概括二项式系数的对称性和增减性与最大值，如何证明呢？这就需要 适当引导学生联系函数知识，画出 和 7 的函数图象，讨论函数的性质，让学生经历再6n 发现、再提炼、深入探究的学习过程，培育理性思维.在证明各二项式系数的和的过程中， 教材中运用赋值法，求证很简略，但是让学生记住这个结论并不难，难的是在这个学习过 程中如何遵循学生的认知规律，提高学生的思维能力？基于此，让学生自己归纳、猜想各 二项式系数的和，运用多种方法予以求证，如： （1）利用赋值法：在 中，令 可得；.012(1)CCn rnnnxxx 1x （2）利用模型化思想：引入 元集合子集的个数的问题，利用分类计数原理和分步计 数原理进行说明，很好的解决了上面的问题. 根据以上分析，制定教学难点如下： （1）结合函数图象，理解二项式系数的增减性与最大值时，根据 n 的奇偶性确定相应 的分界点； （2）利用赋值法证明二项式系数的性质. 4、教法特点及预期效果分析 数学是思维的科学，数学学习不是简单的“告诉”，而应是学生个性化的“体验”. 在本节课的学习中，采用问 题 引 导 、 合 作 探 究 的教学方法，设计六大教学环节：展 示成果话杨辉、感知规律悟性质、联系旧知探新知、合作交流议方法、反馈升华拨思路、 悬念小结再求索.倡导自主探索、独立思考、动手实践、合作交流，为学生开展数学体验， 丰富学习方式，形成积极主动的、多样的学习方式创造了有利的条件和广阔的空间. 在探究二项式系数的性质中，设计为探究“三部曲”： 第一步是数形结合、概括性质. 通过学生画出 =6 和 =7 时函数图象，并观察分析其n 对称性和增减性与最大值，引导学生概括性质，学生有目的地动手实践，亲身参与探究活 动远比目睹幻灯播放更能体验数学蕴含的规律，使抽象的数学知识直观生成. 第二步是分组讨论、证明性质. 在学生初步认识“ 杨辉三角”包含的规律及“杨辉三角”与 二项式系数的关系的基础上，在画出 =6 和 =7 时函数图象并观察分析其对称性和增减性n 与最大值的情境下，采取分组讨论、交流展示的学习方式，诱发学生内在的认知冲突，激 发学生沉淀的知识，培养学生解决问题的能力，让知识经历一个再发现、再创造的过程， 体验到探究过程中涉及的思维策略，促进学生对内容的深刻理解，把课堂教学的“话语权”、 “生成权”、 “展示权 ”、 “交流权”交给学生，用学生的“ 亮点”，点亮学生的智慧. 第三步是师生合作、再探性质. 在探究各二项式系数的和的教学中，设计探究性的问 题串，运用特殊到一般的归纳思想，猜想结论，再运用赋值法证明这一性质，培养学生思 维的严谨性和深刻性，引导学生挖掘问题的本质特征，同时呈现用分类和分步计数原理说 明 的展开式的各二项式系数的和，引发学生的认知冲突，培养学生思维的灵活性和()nab 独创性，激发学生的探索兴趣. 学生经历课前初探、课中深探、变式细探的探究过程，对“杨辉三角”及二项式系数的 性质有比较深刻的认识，不断提高学生探究和解决问题的能力，促进学生数学思维发展. 5教后反思 通过本节课的教学实践，认识到多一点精心设计，就能融一份直观生成，体会到什么 是由“关注知识 ”转向“ 关注学生 ”.在教学过程中，注意到了由 “给出知识”转向“引起活动”， 由“完成教学任务” 转向“ 促进学生发展 ”，学生成为课堂上的真正主人.开展数学体验，丰富 学习方式，师生会有共同的、积极的情感体验. 成功之处：一是教学设计独到而又新颖，打破常规，不走寻常路，通过三步探究实现 本节课的教学目标，突出以学生为主体，教师以引导者的身份参与其中；二是教态自然得 体，亲和力强，能很好的驾驭课堂，积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃. 改进之处：