2011届数学高考复习名师精品教案：第107-110课时：第十四章 复数-复数的代数形式及其运算

第 107-110 课时：第十四章 复数复数的代数形式及其运算 课题：复数的代数形式及其运算 一教学目标： 掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表 示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。 二教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。 三教学过程： （一）主要知识： 1共轭复数规律 ， ； 2复数的代数运算规律 （1）i =1，i =i，i = 1，i = i；4n41n42n43n （3）i i i i = 1，i i i i =0；n12n3n12n3 ； 3辐角的运算规律 （1）Arg（z z ）Argz Argz1212 （3）Arg =nArgz（nN）nz ，n 1。 或 zR。 要条件是|z|a|。 （6）z z 0，则12 4根的规律：复系数一元 n 次方程有且只有 n 个根，实系数一元 n 次方程 的虚根成对共轭出现。 5求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式 |z | |z |z z |z |+|z |的运用。121212 即|z z |z |+|z |等号成立的条件是：z ，z 所对应的向量共12 线且同向。 |z z |z | |z |等号成立的条件是：z ，z 所对立的向量共线1212 12 且异向。 （二）范例分析 .2004 年高考数学题选 1.（2004 高考数学试题（浙江卷，6）已知复数 z1=3+4i, z2=t+i, 且 是12zA 实数，则实数 t=( ) A B C D43343443 2.(2004 年北京春季卷，2)当 时，复数 在复平面12mimz)1()2( 上对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.(2004 年北京卷，2）满足条件 的复数 在复平面上对应点的轨迹是|zi34z ( C ) A一条直线 B两条直线 C圆 D椭圆 .主要的思想方法和典型例题分析： 1化归思想 复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和 解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几 何问题。反之亦然。这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。 【分析】这是解答题，由于出现了复数 和 ，宜统一形式，正面求解。z 解法一、设 zxyi（x，yR），原方程即为 2313xyxi 用复数相等的定义得： = 1， = 1+3i.z2 两边取模，得： 213zz 整理得 4210 解得 或2z 代入式得原方程的解是 = 1， = 1+3i.z2 【例 2】（1993全国理）设复数 z=cosisin（0 【解】zcos+isin =cos4isin44zcos(2)sin(2)tanta2s(4)si(4) 即 ，又0，当 时， 或3tn 3tan2127 【说明】此题转化为三角问题来研究，自然、方便。 【例 3】设 a，b，x，yR+，且 （r0），22xy 求证： 分析令 =ax+byi， =bx+ayi（a，b，x，yR+），则问题化归为证明：1z2z | |+| |r（a+b）。2 证明设 =ax+byi， =bxayi（a，b，x，yR+），则1z2z =|（a+b）x+（ab）yi|=|（ab）（x+yi）|（ab）r。 解如图所示，设点 Q，P，A 所对应的复数为： 即（x 3a+y i）（ i）（x 3a+yi）00 由复数相等的定义得 而点（x ，y ）在双曲线上，可知点 P 的轨迹方程为0 【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章，而将实数、三 角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力，善 于根据题设构造恰到好处的复数，可使问题迎刃而解。 2分类讨论思想 分类讨论是一种重要的解题策略和方法。在复数中它能使复杂的问题简单 化，从而化整为零，各个击破。高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方 法。 【例 5】（1990全国理）设 a0，在复数集 C 中解方程 z 2|z|=a。2 分析一般的思路是设 z=xyi（x，yR），或 z=r（cosisin），若 由 z 2|z|=a 转化为 z =a 2|z|，则 z R。从而 z 为实数或为纯虚数，这222 样再分别求解就方便了。 总之，是一个需要讨论的问题。 【解】解法一z =a 2|z|R，z 为实数或纯虚数。2 问题可分为两种情况： （1）若 zR，则原方程即为|z| +2|z| a=0，2 （2）若 z 为纯虚数，设 z=yi（yR 且 y0），则原方程即为 |y| 2|y|a=0 当 a=0 时，|y|=2 即 z=2i。 当 0a1 时， 当 a1 时，方程无实数解，即此时原方程无纯虚数解。 综上所述，原方程： 当 a=0 时，解为 z0 或 z=2i 解法二设 z=xyi，x，yR，将原方程转化为 3数形结合思想 数与形是数学主要研究内容，两者之间有着紧密的联系和互相渗透、互相 转化的广阔前景，复平面的有关试题正是它的具体表现。运用数形结合思想与 方法解题是高考考查的热点之一，应引起注意。 【例 6】已知|z|=1，且 z +z1，求 z。5 【解】由 z +z=1 联想复数加法的几何性质，不难发现 z，z ，1 所对应的5 5 三点 A，B，C 及原点 O 构成平行四边形的四个顶点，如图所示， 【说明】这样巧妙地运用联想思维，以数构形，以形思数，提炼和强化数 形结合的思想方法，有利于培养学生思维的深刻性。 【例 7】复平面内点 A 对应复数 z，点 B 对应复数为 ， O 为原点， AOB 35z_ 是面积为 的直角三角形，arg z(0， )，求复数 z 的值 65 2 f(3) 【分析】哪一个角为直角，不清楚，需要讨论 【解】因| OA|=|z| | |=|OB|，故 A 不可能是直角，因 35z_ x O A B y 图 1 而可能 AOB=90 或 ABO=90 若 AOB=90，示意图如图 1 所示因 z 与 所对应的点关于实轴对称，故z _ argz=45, S AOB= |OA|OB|= |z| | |= |z|2= 于是， 12 12 35z_ 310 65 |z|=2， 从而， z=2(cos45+isin45)= + i2 2 若 ABO=90，示意图如图 2 所示因 z 与 所对应的z _ 点关于实轴对称，且 AOB90，故 argz=45 令 z=r(cos+ isin)，则 cos2= = ，sin2= ， S AOB= |OA|OB|sin2 |OB|OA|35 45 12 = r r = r2= 12 35 45625 65 于是， r= 又 cos= = ，5 1+cos22 2 55 sin= = ， 故 z= ( + i)=2+i1-cos2 55 52 55 55 综上所述， z= + i 或 z=2+i2 2 【说明】解题关键点：正确地对直角的情况进行分类讨论，正确地理解 复数的几何意义，作出满足条件的示意图 解题规律：复数的几何意义来源于复数 z=a+bi(a、bR)与复平面上的点 (a，b)之间的一一对应，它沟通了复数与解析几何之间的联系，是数形结合思 想的典型表示 解题技巧：复数 z 与它的共轭复数 在复平面内对应的向量关于实轴对z _ 称 这样巧妙地以形译数，数形结合，不需要计算就解决了问题，充分显示 了数形结合的思想方法在解题中的作用。 4集合对应思想 【例 8】如图所示，在复平面内有三点 P ，P ，P 对应的复数123 x O A B y 图 2 应的复数为 a，2a，3a，且它们有相同的辐角主值 （如图所示），即 A，P ，P ，P 共线。123 从而 2sin2 因此有 a=2i。 5整体处理思想 解复数问题中，学生往往不加分析地用复数的代数形式或三角形式解题。 这样常常给解题带来繁琐的运算，导致解题思路受阻。因此在复数学习中，有 必要提炼和强化整体处理的思想方法，居高临下地把握问题的全局，完善认识 结构，获得解题的捷径，从而提高解题的灵活性及变通性。 【例 9】已知 z=2 i，求 z 3z z +5z 2 的值。6543 【分析】如果直接代入，显然比较困难，将 z 用三角式表示也有一定的难度。 从整体角度思考，可将条件转化为（z 2） =（ i） = 1，即2 z 4z+4= 1，即 z 4z+5=0，再将结论转化为22 z 3z z +5z 2=（ z 4z5）（z z ） +2，然后代入就不困难了。6543 43 【解】z=2 i，（z 2） =（ i） = 12 即 z 4z+5=02 z 3z z +5z 2=（z 4z+5）（z z ）+2=2。6543243 【例 10】已知 ，求 。421logxix 【解】解由条件得 【说明】把题中一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接 代入另一个式子，可避免由局部运算带来的麻烦。 【例 11】复平面上动点 z 的轨迹方程为：|z z |z |，z 0，另一11010 动点 z 满足 z z= 1，求点 z 的轨迹。1 解由|z z |z |，知点 z 的轨迹为连结原点 O 和定点 z 的线段的垂直01 0 平分线。 将此式整体代入点 z1 的方程，得 的圆（除去原点）。 【例 12】设 zc，a0，解方程 z|z|azi=0。 边取模，得 【说明】解复数方程，可通过整体取模，化为实数方程求解。 综上所述，解答复数问题，应注意从整体上去观察分析题设的结构特征， 挖掘问题潜在的特殊性和简单性，充分利用复数的有关概念、共轭复数与模的 性质、复数的几何意义以及一些变形技巧，对问题进行整体化处理，可进一步 提高灵活、综合应用知识的能力。 6有关最值问题的多角度思考 【例 13】复数 z 满足条件|z|=1，求|2z z+1|的最大值和最小值。2 解法一|z|=1，z=cosisin |2z z+1|=|2（cosisin） （cosisin）1|22 =|（2cos2 cos1）（2sin2 sin）i| |2z z+1| =|2z z+ |22z2 设 z 的实部为 a，则 1a1 |2z z+1|=|2az 1|22 ， |2z z+1| =42max 解法三：设 =x+yi（x，yR），z=abi（a，br）且 a +b =1，2 这说明 对应的点是如图所示的椭圆，问题转化为求该椭圆上各点中与原 点距离的最大值和最小值。 时的圆的半径。 得 8x 2x8 9r 0， 由相内切条件知 =0,22 解法四由模不等式： |2z z+1|2|z| |z|+1=4，等号成立的条件是 2z ， z，1 所对应的22 2 向量共线且同向，可知 z 是负实数，在|z|=1 的条件下，z=-1 当 z= 1 时|2z z+1| =4。2max 但另一方面：|2z z+1|2|z| |z| 1=0，这是显然成立的，可是这2 不能由此确定|2z z+1| =0，实际上等号成立的条件应为 2z ， z，1 表示2in 2 的向量共线且异向，由 2z 与 1 对应的向量共线且异向知 z=i，但是当2 z=i 时，2z 与 z 不共线，这表明|2z z+1|的最小值不是 0。2 2 以上这种求最小值的错误想法和解法是学生易犯的错误，此部分内容既为 重点也为难点，应向学生强调说明，并举例，切记取等号的条件。 【例 14】2001 年普通高等学校招生全国统一考试(理 18) 已知复数 z1 i(1i)3 ()求 argz1及| z|； ()当复数 z 满足| z|1，求| zz1|的最大值 【分析】本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问 题的能力 【解】() )47(2)(31 isncoiiz ，| z1| 47arg ()设 ，则sincoz iz)2(sin)(cos14i29)()2(s| 221 z 当 时， 取得最大值 ，从而得到 的最大值为4sin1|z |1z 21 四课后作业： 1、下列命题中正确的是 A方程|z+5| |z 5i| =8 的图形是双曲线22 B方程|z+5| =8 的图形是双曲线 C方程|z+5i| |z 5i|=8 的图形是双曲线的两支 D方程|z+5i| |z 5i|=8 的图形是双曲线靠近焦点 F(0，5)的一支 2、方程 的图形是 22zizi A圆 B椭圆 C双曲线 D直线 3、在复平面上绘出下列图形： 4、已知 是虚数， 是实数。z4z (1)求 z 对应复平面内动点 A 的轨迹； (2)设 u=3iz+1，求 u 对应复平面内动点 B 的轨迹； （3）设 ，求 对应复平面内动点 C 的轨迹。1vv 5、设 A，B，C 三点对应的复数分别为 z ，z ，z 满足123 (1)证明：ABC 是内接于单位圆的正三角形； (2)求 S ABC； 6、若 ，求 所对应的点 A 的集合表示的图形，并求其面积12z1uzi 7设 z1， z2是两个虚数，且 z1+z2=-3，| z1|+|z2|=4若 1=argz1， 2=argz2，求 cos( 1- 2)的最大值 8（2003 年普通高等学校招生全国统一考试（上海理 17） 已知复数 z1=cos i， z2=sin+ i，求| z1z2|的最大值和最小值. 四、专题训练参考答案 1、解：DA 的图形是直线，B 的图形是圆，C 是图形是双曲线的一去故选 D|z+5i|-|z-5i|=8 才是双曲线的两支 2、解：A 原方程即|z (2+i)| =7故选 A2 3、解： 4、解：（1） 因为 z 是虚数，所以2 4440zzRz ，于是 ，即 ，且 ，因此动点 A 轨迹是中心在原点，0z22z 半径等于 2 的圆，但去掉两个点(2，0)与( 2，0) (2)由 u=3iz+1 得 u 1=3iz由(