2009 年高考数学试题分类汇编

2009 年高考数学试题分类汇编概率 本题考查了三角函数的值域和几何概型问题 1.(2009 山东卷理)在区间-1，1上随机取一个数 x， 的值介于 0 到 之间的概率为( ). A. B. C. D. 【解析】:在区间-1，1上随机取一个数 x,即 时,要使 的 值介于 0 到 之间,需使 或 或 ，区间长度为 ，由几何概型知 的值介于 0 到 之间的概率为 .故选 A. 答案:A 【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的 取值范围,得到函数值 的范围,再由长度型几何概型求得. 本题考查了三角函数的值域和几何概型问题 2.(2009 山东卷文)在区间 上随机取一个数 x， 的值介于 0 到 之间的概率为( ). A. B. C. D. 【解析】:在区间 上随机取一个数 x,即 时,要使 的值介于 0 到 之间,需使 或 ，区间长度为 ， 由几何概型知 的值介于 0 到 之间的概率为 .故选 A. 答案:A 【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的 取值范围,得到函数值 的范围,再由长度型几何概型求得. 考察立体几何和古典概型 3.（2009 安徽卷理）考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选 两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条 直线相互平行但不重合的概率等于 （A） （B） （C） （D） 解析 如图，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线， 乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，共有 种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有 共 12 对，所以所求概率为 ，选 D 考察立体几何和古典概型 4.（2009 安徽卷文）考察正方体 6 个面的中心，从中任意选 3 个点连成 三角形，再把剩下的 3 个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率 等于 A.1 B. C. D. 0 . 【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有 个.由正方体各 中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为 1，选 A。. 【答案】A 古典概型 5.（2009 江西卷文）甲、乙、丙、丁 个足球队参加比赛，假设每场比赛 各队取胜的概率相等，现任意将这 个队分成两个组（每组两个队）进行比赛， 胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A B C D 答案：D 【解析】所有可能的比赛分组情况共有 种，甲乙相遇的分组 情况恰好有 6 种，故选 . 、 古典概型 6.（2009 江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 种不同的精 美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐 种卡片可获奖，现购买该种食品 袋，能获奖的概率为 A B C D . 答案：D 【解析】 故选 D 几何概率 7.（2009 辽宁卷文）ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在 长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 （A） （B） （C） （D） 【解析】长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分 (半圆)面积为 因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 2 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 【答案】B 概率公式： 8.（2009 年上海卷理）若事件 与 相互独立，且 ，则 的值等于 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】 数学期望和方差 9.（ 2009 广 东 卷 理 ） 已知离散型随机变量 的分布列如右表若 ， ，则 ， 【解析】由题知 ， ， ，解得 ， . 正态分布 10.（2009 安徽卷理）若随机变量 ，则 =_. 解析 古典概率 11.（2009 安徽卷文）从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以 这三条线段为边可以构成三角形的概率是_。 【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况: 2、3、4 或 3、4、5 或 2、4、5，故 =0.75. . 【答案】0.75 古典概率 12.（2009 江苏卷）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰 好相差 0.3m 的概率为 . 【解析】 考查等可能事件的概率知识。 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰 好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8，2.6 和 2.9，所求概率为 0.2。 概率公式 13.（2009 湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分 别是 0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。 【答案】0.24 0.76 【解析】三人均达标为 0.80.60.5=0.24,三人中至 少有一人达标为 1-0.24=0.76 几何概率 14.（2009 福建卷文）点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上 随机取一点 B，则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为 。 解析解析：如图可设 ,则 ,根据几何概率可知其整体事件是其周长 ，则其概率是 。w。 古典概率 15.（2009 上海卷文）若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为 上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于 1 名的概率是 （结果用最简分数表示）。 【答案】 【解析】因为只有 2 名女生，所以选出 3 人中至少有一名男生，当选出的 学生全是男生时有： ，概率为:： ，所以，均不少于 1 名的概率为： 1 。 古典概率 16.（2009 重庆卷文）5 个人站成一排， 其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用数字作答） 【答案】72 解析可恩两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有 种， 第二步将甲乙二人插入前人形成的四个空隙中，有 种，则甲、乙两不相邻 的排法有 种。 解答题： 统计和概率，概率部分考查 N 次独立重复试验 1（ 2009 广 东 卷 理 ） （本小题满分 12 分） 根据空气质量指数 API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表： 对某城市一年（365 天）的空气质量进行监测，获得的 API 数据按照区间 ， ， ， ， ， 进行分组，得 到频率分布直方图如图 5. （1）求直方图中 的值； （2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数； （3）求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率. （结果用分数表示已知 ， ， ， ） 解：（1）由图可知 ，解得 ； （2） ； （3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为 ，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 ，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 . 古典概率，分布列和数学期望。 2.（2009 浙江卷理）（本题满分 14 分）在 这 个自然数中， 任取 个数 （I）求这 个数中恰有 个是偶数的概率； （II）设 为这 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 ， 则有两组相邻的数 和 ，此时 的值是 ）求随机变量 的分布列及其数学期望 解析：（I）记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A，则 ；. （II）随机变量 的取值为 的分布列为 0 1 2 P 所以 的数学期望为 . 考查 N 次独立重复试验 3.（2009 北京卷文）（本小题共 13 分） 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独 立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 2min. （）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率. 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础 知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力. （）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因 为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个 路口遇到红灯”，所以事件 A 的概率为 . （）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事 件 B，这名学生在上学路上遇到 次红灯的事件 . 则由题意，得 ， . 由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”， 事件 B 的概率为 . 考查 N 次独立重复试验和数学期望 4.（2009 北京卷理）（本小题共 13 分） 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独 立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 2min. （）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望. 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、 考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识 解决实际问题的能力. （）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因 为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个 路口遇到红灯”，所以事件 A 的概率为 . （）由题意，可得 可能取的值为 0，2，4，6，8（单位： min）. 事件“ ”等价于事件“该学生在路上遇到 次红灯” （ 0，1，2，3，4）， ， 即 的分布列是 0 2 4 6 8 的期望是 . 概率公式和互斥事件的概率,相互独立事件的概率及数学期望 5.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次，某同学在 A 处的命中率 q 为 0.25，在 B 处 的命中率为 q ，该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用 表示该 同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 （1） 求 q 的值； （2） 求随机变量 的数学期望 E ; （3） 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得 分超过 3 分的概率的大小。 解:（1）设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.25, , P(B)= q , . 根据分布列知: =0 时 =0.03,所以 ，q =0.8. （2）当 =2 时, P 1= =0.75 q ( )2=1.5 q ( )=0.24 当 =3 时, P 2 = =0.01, 当 =4 时, P 3= =0.48, 当 =5 时, P 4= =0.24 所以随机变量 的分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.4 8 0.24 随机变量 的数学期望 （3）该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 ; 该同学选择（1）中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大. 【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数 学期望,以及运用概率知识解决问题的能力. 本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概 率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答. 6.(2009 山东卷文)（本小题满分 12 分） 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号, 某月的产量如下表(单位:辆): 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. （1） 求 z 的值. （2） 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样 本看成一个总体,从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; （3） 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得 分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的 得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超 过 0.5 的概率. 解: (1).设该厂本月生产轿车为 n 辆,由题意得, ,所以 n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 (2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车 中抽取一个容量为 5 的样本,所以 ,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适 型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本 事件为(S 1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本 事件有 7 个基本事件: (S 1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆舒适型轿车的概率为 . (3)样本的平均数为 , 那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个数,总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对 值不超过 0.5 的概率为 . 【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概 型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用 公式解答. 古典概率概率公式 7.（2009 全国卷文）（本小题满分 12 分） 某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 10 名工人，其中有 6 名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组 中共抽取 4 名工人进行技术考核。 （）求从甲、乙两组各抽取的人数； （）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率； （）求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率。. 解析：本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分 类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第 二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有 2 名 男工人的具体含义，从而正确分类求概率。 解：（I）由于甲、乙两组各有 10 名工人，根据分层抽样原理，要从甲、 乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核，则从每组各抽取 2 名工人。 （II）记 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人，则 （III） 表示事件：从甲组抽取的 2 名工人中恰有 名男工人， 表示事件：从乙组抽取的 2 名工人中恰有 名男工人， 表示事件：抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人。. 与 独立， ，且 故 N 次独立重复试验分布列和数学期望 8.（2009 全国卷理）（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无 效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利， 比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局 比赛结果相互独立，已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （I）求甲获得这次比赛胜利的概率； （II）设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列及 数学期望。 分析：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。 需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而 导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。 另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。 概率公式，分布列及数学期望 9（2009 安徽卷理）（本小题满分 12 分） 某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有 A 到过疫区. B 肯定是受 A 感染的.对于 C，因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的，于是 假定他受 A 和受 B 感染的概率都是 .同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率 都是 .在这种假定之下，B、C、D 中直接受 A 感染的人数 X 就是一个随机变 量.写出 X 的分布列(不要求写出计算过程),并求 X 的均值（即数学期望）. 本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变 量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率 思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分 12 分。 解：随机变量 X 的分布列是 X 1 2 3 P X 的均值为 附：X 的分布列的一种求法 共有如下 6 种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是 ： A BCD A BC D A BC D A BD C A CD B 在情形和之下，A 直接感染了一个人；在情形、之下，A 直 接感染了两个人；在情形之下，A 直接感染了三个人。 N 次独立重复试验 10.（2009 江西卷文）（本小题满分 12 分） 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学 生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个 “支持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助求： (1) 该公司的资助总额为零的概率； （2）该公司的资助总额超过 15 万元的概率. 解：（1）设 表示资助总额为零这个事件，则 （2）设 表示资助总额超过 15 万元这个事件，则 N 次独立重复试验和数学期望 11.（2009 江西卷理）（本小题满分 12 分） 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学 生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个 “支持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令 表示 该公司的资助总额 (1) 写出 的分布列； (2) 求数学期望 解：（1） 的所有取值为 （2） . 统计和古典概率 12.（2009 天津卷文）（本小题满分 12 分） 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从 A，B,C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查，已知 A,B，C 区中分别有 18，27，18 个工厂 （）求从 A,B,C 区中分别抽取的工厂个数； （）若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比，用列举 法计算这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率。 【答案】(1) 2，3，2(2) 【解析】 （1）解： 工厂总数为 18+27+18=63，样本容量与总体中的个 体数比为 ，所以从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2，3，2. （2）设 为在 A 区中抽得的 2 个工厂， 为在 B 区中抽得的 3 个工厂， 为在 C 区中抽得的 2 个工厂，这 7 个工厂中随机的抽取 2 个， 全部的可能结果有： 种，随机的抽取的 2 个工厂至少有一个来自 A 区的结 果有 ， ,同理 还能组合 5 种， 一共有 11 种。所以所求的概率为 【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基 本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际 问题的能力。 概率公式分布列和数学期望 13.(2009 湖北卷理)（本小题满分 10 分）（注意：在试题卷上作答无效） 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 2，3，4，5；另一个盒子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为 x；再从另一盒 子里任取一张卡片，其上面的数记为 y，记随机变量 ，求 的分布列 和数学期望。 解析：依题意，可分别取 、6、 11 取，则有 . 的分布列为 5 6 7 8 9 10 11 . 古典概率 14.（2009 四川卷文）（本小题满分 12 分） 为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠 卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫 银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜 旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有 持金卡，在省 内游客中有 持银卡。 . （I）在该团中随机采访 2 名游客，求恰有 1 人持银卡的概率； （II）在该团中随机采访 2 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概 率. 【解析】I）由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银卡. 设事件 A 为“采访该团 2 人,恰有 1 人持银卡”,则 所以采访该团 2 人，恰有 1 人持银卡的概率是 . 6 分 （II）设事件 B 为“采访该团 2 人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以 分为： 事件 B1为“采访该团 2 人,持金卡 0 人，持银卡 0 人”,或事件 B2为“采访 该团 2 人,持金卡 1 人，持银卡 1 人”两种情况，则 所以采访该团 2 人，持金卡与持银卡人数相等的概率是 . 12 分 古典概率分布列和数学期望 15.（2009 全国卷理）（本小题满分 12 分） 某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙 两组中共抽取 3 名工人进行技术考核。 （I）求从甲、乙两组各抽取的人数； （II）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率； （III）记 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。 分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。 另外要注意此分层抽样与性别无关。 （II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。. 从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率 （III） 的可能取值为 0，1，2，3 ， ， ， 分布列及期望略。 评析：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。在计算 时， 采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。 几何概率概率公式 16.（2009 辽宁卷理）（本小题满分 12 分） 某人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为。该目标分为 3 个不同的部 分，第一、二、三部分面积之比为 1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的 概率与其面积成正比。 （）设 X 表示目标被击中的次数，求 X 的分布列； （）若目标被击中 2 次， A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二 部分被击中 2 次”，求 P（ A） 解：（）依题意 X 的分列为. （）设 A1表示事件“第一次击中目标时，击中第 i 部分”，i=1，2. B1表示事件“第二次击中目标时，击中第 i 部分”，i=1，2. 依题意知 P（A 1）=P(B 1)=0.1，P（A 2）=P(B 2)=0.3， , 所求的概率为 12 分 概率公式 17.（2009 湖南卷文）（本小题满分 12 分） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民 生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的 、 、 .现有 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求： （I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率； . （II）至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率. 解: 记第 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程 分别为事件 i=1，2，3.由题意知 相互独立， 相互独立， 相互独立， （i，j，k=1，2，3，且 i，j，k 互不相同）相互独立， 且 （）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P= . （）至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率 P= 概率公式 18.（2009 全国卷文）（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答 无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比 赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比 赛结果相互独立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （）求甲获得这次比赛胜利的概率。 【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率， 综合题。 解：记“第 局甲获胜”为事件 ，“第 局甲获胜”为事件 。 （）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则 ，由于各局比赛结果相互独立，故 。 （）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而 ，由于各局比赛结果相互独立，故 . 古典概率 19.（2009 四川卷文）（本小题满分 12 分） 为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠 卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫 银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜 旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有 持金卡，在省 内游客中有 持银卡。 . （I）在该团中随机采访 2 名游客，求恰有 1 人持银卡的概率； （II）在该团中随机采访 2 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概 率. 【解析】I）由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银卡. 设事件 A 为“采访该团 2 人,恰有 1 人持银卡”,则 所以采访该团 2 人，恰有 1 人持银卡的概率是 . 6 分 （II）设事件 B 为“采访该团 2 人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以 分为： 事件 B1为“采访该团 2 人,持金卡 0 人，持银卡 0 人”,或事件 B2为“采 访该团 2 人,持金卡 1 人，持银卡 1 人”两种情况，则 所以采访该团 2 人，持金卡与持银卡人数相等的概率是 . 12 分 对分布列的理解及数学期望的求法 20.(本小题满分 12 分) 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 表 示，. 椐统计，随机变量 的概率分布如下： 0 1 2 3 p 0.1 0.3 2a a ()求 a 的值和 的数学期望； （）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两 个月内共被消费者投诉 2 次的概率。 解析:()由概率分布的性质知, 则 的分布 列为 0 1 2 3 p 0.1 0.3 0.4 0.2 （）设事件 表示”2 个月内共被投诉 2 次“ 事件 表示”2 个月内 有一个月被投诉 2 次,另一个月被投诉 0 次“ ,事件 表示”2 个月内每个月 均被投诉 1 次“ 则由事件的独立性可得 故该企业在这两个月共被投诉 2 次 的概率为 0.17. . 概率公式 21.（2009 陕西卷文）（本小题满分 12 分） 椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 0,1,2 的概率分别为 0.4,0.5,0.1 () 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过 1 次的概率； （）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共 被消费者投诉 2 次的概率。 解析:解答 1（）设事件 A 表示“一个月内被投诉的次数为 0”事件 B 表 示“一个月内被投诉的次数为 1” 所以 （）设事件 表示“第 个月被投诉的次数为 0”事件 表示“第 个月 被投诉的次数为 1”事件 表示“第 个月被投诉的次数为 2”事件 D 表示 “两个月内被投诉 2 次” 所以 所以两个月中，一个月被投诉 2 次，另一个月被投诉 0 次的概率为 一、二月份均被投诉 1 次的概率为 所以 由事件的独立性的 解答 2（）设事件 A 表示“一个月内被投诉 2 次”设事件 B 表示 “一个月内被投诉的次数不超过 1 次” 所以 ()同解答 1（） 概率公式，N 次独立重复试验及分布列和数学期望 22.(2009 湖南卷理)（本小题满分 12 分）. 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民 生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的. 、 、 ，现在 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）记 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设 工程的人数，求 的分布列及数学期望。 解:记第 1 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工 程分别为事件 , , ，i=1，2，3.由题意知 相互独立， 相互独立， 相互独立， , , （i，j，k=1，2，3，且 i，j，k 互不相同）相互独立，且 P（ ）=，P（ ）= ，P（ ）= （1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3！P（ ）=6P（ ）P（ ）P（ ）=6 = (2) 解法 1 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ，由己已 知， -B（3， ），且 =3 。 所以 P（ =0）=P（ =3）= = ，. P（ =1）=P（ =2）= = P（ =2）=P（ =1）= = P（ =3）=P（ =0）= = 故 的分布是 0 1 2 3 P 的数学期望 E =0 +1 +2 +3 =2 解法 2 第 i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件 ， i=1,2,3 ，由此已知， D， 相互独立，且 P（ ）-（ ， ）= P（ ）+P（ ）= + = . 所以 - ,既 ， 故 的分布列是 1 2 3 古典概率分布列和数学期望 23.（2009 四川卷理）（本小题满分 12 分） 为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠 卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫 银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜 旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有 持金卡，在省 内游客中有 持银卡。. （I）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者